[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む35 [無断転載禁止]©2ch.net (667ﾚｽ)
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276(5): 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む 2017/06/30(金)21:03 ID:INb7Gqhx(3/26)調 AAS
>>275 つづき
http://www.ma.noda.tus.A^c.jp/u/sh/
講義ノート 平場 誠示
http://www.ma.noda.tus.A^c.jp/u/sh/pdfdvi/ana1.pdf
（上記>>203Lebesgue 積分論に同じ）解析学 1 （3年通年）37p ルベーグ積分論 ana1.pdf 419kb ('16/12/01)
（抜粋）
1.1 測度とは何か？
高校までに1 点の長さは0 として, 区間[0, 1] の長さは1 として習って来たであろう.
では次の計算はどこがおかしいのだろうか？(ここでは長さを| ・ | を用いて表す.)
1 = |[0, 1]| = Σ {x∈[0,1]} |{x}| = 0.
区間[a, b] (a < b) の長さをb ? a と定義するのは問題ないであろう.
では1 点の長さを0 とするのがまずいのであろうか？
しかしこれを正とすると, 場所に寄って長さが変わるというのは考えにくいので, 全て同じ値として, それを無限にたすと無限大になり, 1 = ∞ となってしまう.
それに|{x}| ? |[x, x + 1/n]| = 1/n → 0 (n → ∞) から|{x}| = 0 とするのも妥当であろう.
答えは, 実は, 上の足し算がまずいのである.
我々に許される足し算は有限和の極限としての無限和, 即ち, 可算までなのである.
無限和＝可算無限和＝有限和の極限.
では長さの測れ
る集合(可測集合) とはどのようなものであろうか？それがLebesgue 可測集合と呼ばれるもので,
測度とはこのように測れる集合や許される演算などを明確にし, 長さというものをより厳密にし,
さらに一般化したものを表すのである.
大事なことは, 全ての演算が可算無限までしか許されないということである.
つづく
277(6): 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む 2017/06/30(金)21:03 ID:INb7Gqhx(4/26)調 AAS
>>276 つづき
2 可測集合と測度(Measurable sets and Measures)
以下では, X を集合として, その全部分集合族を2^X で表す.
2.1 σ-加法族
定義2.1 X の部分集合族F, i.e., F ⊂ 2^X が
(1) Φ ∈ F
(2) A ∈ F =⇒ A^c ∈ F
(3) A1,A2, ・ ・ ・ ∈ F =⇒∪{n=1〜∞}An ∈ F
をみたすときσ-加法族(σ-additive class) またはσ-集合体(σ-field) という.
問2.2 次の集合族A は集合体であるがσ-集合体ではないことを示せ.
(1) X が無限集合のとき{A ⊂ X : A かA^c が有限集合(Φ も含む)}
(2) X = R,-∞ ? a ? b ? ∞ に対し, (a, b] の形の区間の有限和で表される集合
∪{k=1〜n} (ak, bk]
全体, 但しb = ∞ なら(a,∞), a = b ならΦ とみなす.
2.3 測度空間
R~ = R∪{±∞} として, +∞ = ∞ と表し, 便宜上, 次のように定める: a ∈ R (有限値) に対して
a ±∞ = ±∞, a ×∞ = ∞ (a > 0),= -∞ (a < 0), 0 ×∞ = ∞× 0 = 0, a/∞ = 0.
∞ を-∞ に変えても同様である. また∞-∞ や∞/∞ などは定義しない(できない).
注意 ここで注意して欲しいのは∞=∞ = ∞× 1=∞ = ∞× 0 = 0 などという計算をしてはいけない！
ということである. 上の無限大はあくまで, 有限な値からの極限として考えるべきものである.
つづく
287(2): 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む 2017/06/30(金)21:17 ID:INb7Gqhx(14/26)調 AAS
>>286 つづき
さて、上記を踏まえて、本題
>>244-245
>改めてあなたが>>141で考えた確率空間について以下の質問に答えてください。
>>276 まず、平場先生
「我々に許される足し算は有限和の極限としての無限和, 即ち, 可算までなのである.
無限和＝可算無限和＝有限和の極限.」（σ-集合体）
を押さえておきましょう。
そして、この視点から見ると
１）箱が１つ、箱に任意の実数 r ∈ (0,1] が入り、箱を開けずに数を的中する確率は？ 当然、直感的には０であるし、非加算無限分の１だ。が、σ-集合体（可算）をベースとする確率空間は、構築できない。
２）箱が１つ、箱に任意の有理数 q ∈ (0,1] が入り、箱を開けずに数を的中する確率は？ 当然、直感的には０であるし、加算無限分の１だ。が、σ-集合体をベースとする確率空間は、構築できない。
（ここは、>>277 の平場先生 「 問2.2 次の集合族A は集合体であるがσ-集合体ではないことを示せ.(1) X が無限集合のとき{A ⊂ X : A かA^c が有限集合(Φ も含む)}」から、”σ-集合体ではない”が言える思う。・・が、実はよく理解できなかった（証明は下記OKWAVEにあるようだ。ご参照 ）（＾＾ ）
https://okwave.jp/qa/q5924861.html aiaiai21 OKWAVE 2010-05-27
Q.σ-集合体について
(1)Ωは無限集合であるとする。
A＝{A⊂Ω:AまたはA^cが有限集合か空集合}
この集合族Aは集合体であるがσ-集合体ではないことを示せ。
略
質問者が選んだベストアンサー muturajcp 2010-05-31
略
つづく
309(4): 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む 2017/07/02(日)07:58 ID:Tk8xp2li(2/10)調 AAS
>>300-302
どうも。スレ主です。
ID:LpadDnPhさんと、ID:J95VrfaFさんと、同一人物でしょうかね？
同一人物として、扱わせて頂きます。もし、違っていれば、言って下さい
で、まず最初に回答>>288で、書き漏らしていることを追記しておきます。
回答>>288では、「まず、１つの数列における、しっぽの同値類と商集合、および代表元と決定番号を考えて、確率空間 (Ω,F, P) がどうなるかをかんがえた」と。これを追加しておきます。
次に、議論をすっきりさせるために、少し確認をさせて頂きたい
Q1.時枝記事の解法>>12-13「めでたく確率99/100で勝てる」は、確率論として正当化できるという立場ですか？ Y or N
Q2.>>276（>>287） 平場 誠示 ”測度とは何か？”の「1 点の長さは0 として, 区間[0, 1] の長さは1 」を認めますか？ Y or N
Q3.>>33 Sergiu Hart氏のPDF で P2の最後 ”When the number of boxes is finite Player 1 can guarantee a win with probability 1 in game1, by choosing the xi independently and uniformly on [0, 1] ”
（つまり、Player 2の勝つ確率は0）を認めますか？ Y or N
311(2): 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む 2017/07/02(日)08:05 ID:Tk8xp2li(4/10)調 AAS
>>310 つづき
補足：
>この時点であなたはただひとつの類T＝[r]に属するR^Nの元たちを標本に選びました。
>この問題設定は誰も考えたことがないと思います。あなたのオリジナルですね。
ええ、問題に則して考えると、そうなるべきと思います。というか、この時枝記事の問題は、普通の確率論のテキストにありませんから、そこはオリジナルです
そもそも、問題に則して考える以外にないでしょ？ （貴方は別の設定ですか？）
問題の流れとして、商集合の構成→各代表元選定→問題の数列構成→問題の数列の属する商集合特定（しっぽの確認）→代表番号決定 ですからね
代表番号の決定は、問題の数列 vs 代表元 との比較で、しっぽの一致する位置で決まりますから。
（補足：札があって、１が１枚、２が１枚、３が１枚 計３枚なら、１の確率は1/3。１が１枚、２が２枚、３が３枚 計６枚なら、１の確率は1/6。札の重複がある場合と均一な場合とでは、確率計算が異なる）
普通ここ、重複がある場合という意識が、ないだろうと（錯覚その１）
> ２．Fとしてボレル集合B(R)を取れば任意の点s∈Rについて{s}∈B(R)。
> ３．確率測度として例えば正規分布Pを取る。
まず、上記>>309 Q1に記したように、平場 誠示先生は、「1 点の長さは0」だと。「1 点の長さ」が、0以外の値を取り得るという主張ですか？
次に、ボレル集合B(R)のベースは、例えば、どんな確率論のテキストでも書いてあると思いますが、
例えば>>276 平場 誠示先生テキスト ルベーグ積分論 P5 「2.2 Borel 集合体」にあるように
「X が位相空間のとき, 開集合の全体Ｏ から生成されるσ-field σ(Ｏ) をBorel field と呼び, B(X) で表す」ですよ
開集合について、時枝問題においては、どうお考えですか？
最後に、正規分布は→-∞および+∞ で、０（ゼロ）に収束しますよ。
（-∞、+∞）の区間を考えたとき（＝定義される関数で）、→-∞および+∞ で、０（ゼロ）に収束しない関数は、全区間で積分すれば、発散しますよ
なので、あなたが考えている分布が、「→-∞および+∞ で、０（ゼロ）に収束」することを証明しないといけません。あなたは、そこはスルーですか？
つづく
460: 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む 2017/07/06(木)08:20 ID:qgJA+Zd6(8/32)調 AAS
>>434
おっちゃん、どうも、スレ主です。
>半開区間 (0,0]、(1,1] の2つはどっちも空集合だったな。
あーあ、ド素人にミスリードされた？（「全部空集合」>>429）（＾＾
１．もう一度、下記Riemann 積分の定義の復習を請う。「全部空集合」なら、Riemann 積分 定義できないぜ！（＾＾
http://www.ma.noda.tus.A^c.jp/u/sh/pdfdvi/ana1.pdf
（上記>>203Lebesgue 積分論に同じ）解析学 1 （3年通年）37p ルベーグ積分論 ana1.pdf 419kb ('16/12/01) 平場 誠示>>276
(抜粋)
1.2 Riemann 積分からLebesgue 積分へ
測度の概念を用いてLebesgue 積分が定義されるのだが, まずRiemann 積分について復習しよう.
(引用終り)
２．y=1/xのグラフが、下記にあるよ。「ｘ＝０は、定義できない」を思いだそう！ いまの場合、x=εでy=nだよ
http://mtf.z-abc.com/?eid=415437
反比例のグラフ 中学から数学だいすき！ 2007.06.19
３．大学数学で、εはデフォルトで、”0<ε<=1 の微小な実数”をイメージすべし。これでほぼ、問題ない。もちろん、”0<ε の 実数”って場合もある（もちろん、デフォルト以外もある）
４．ε→0 は考えて良いが、ε＝0は普通考えない。理由は、２の通り
５．これ、わざわざご親切に”1/n＝ε >0”と書き換えた>>427こころだよ
６．これを踏まえて、もう一度、>>427と>>361を読んでみて！（＾＾
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