現代数学の系譜古典ガロア理論を読む35 [無断転載禁止]©2ch.net

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454: 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む [sage] 2017/07/06(木) 08:14:30.01 ID:qgJA+Zd6

>>453 つづき

”エルゴード理論”（「エルゴード仮説との直接の関係は薄い」とか）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%82%B4%E3%83%BC%E3%83%89%E7%90%86%E8%AB%96
エルゴード理論
(抜粋)
エルゴード理論は、ある力学系がエルゴード的（ある物理量に対して、長時間平均とある不変測度による位相平均が等しい）であることを示す、すなわちエルゴード仮説の立証を目的とする理論。
この仮説は、SinaiらのDynamical billiardsの例などで正しいという証明が与えられているが、統計力学の基礎とは無関係である。また、物理学でのエルゴード性を抽象化した、数学における保測変換の理論をそう呼ぶこともある。

エルゴード仮説
エルゴード仮説とは、長い時間尺度 (time scale) でみると、微小状態からなる位相空間内で同じエネルギーをもった領域に費やされる時間は位相空間でしめる体積に比例するというもの。
すなわち、そのようなすべての実現可能な微小状態は長い目で見ると等しい確率で起こるということ。さらに言いかえれば、時間平均と、統計力学でいうアンサンブル（起こりうる微小状態の数だけある系のレプリカの集まり）内での平均は等しくなるということ。
証明されていないため仮説の域は出ないものの、この仮説を採用してシミュレーションを行うと現実を非常にうまく説明できることを疑うものはいない。その意味で特に工学分野において、証明を必要とする「仮説」の字を避けエルゴード仮設と呼ぶことがある。
問題点
エルゴード仮説は統計力学の基礎としては的を外しているという主張も専門家によってなされている[1]。

数学におけるエルゴード理論
エルゴード理論は確率論にもとづいた力学系の一つの分野である。 物理へのみならず数論など数学の他分野への応用も多い。 上記のエルゴード仮説との直接の関係は薄い。

物理学におけるエルゴード理論
物理学、特に量子力学において、エルゴード理論をパイを作るときの混合で説明している[2]

引用[編集]
1^ 田崎晴明による解説 統計力学 I, II（培風館、新物理学シリーズ） http://www.gakushuin.ac.jp/~881791/statbook/
2^ 伏見康治「確率論及統計論」第 VIII 章 エルゴード理論 72節. 或る今後の問題 p.413 http://ebsa.ism.ac.jp/ebooks/ebook/204
(引用終り)

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1497848835/454

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