現代数学の系譜古典ガロア理論を読む35 [無断転載禁止]©2ch.net

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286: 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む [sage] 2017/06/30(金) 21:11:24.54 ID:INb7Gqhx

>>285 つづき

1.2 幾つかの例
測度の例を幾つか挙げる．大抵の非自明な測度は，情報のすべてを明示的に書き下すことは期待
できず，普通は5 節で論じる構成定理を通じて，存在を保証したり間接的に情報を得るのみである
ことに注意する．以下の例のうち最初の3 つは，すべての可測集合の測度を具体的に与えていると
いう意味で大変単純なものである．

1.2.1 数え上げ測度
(X, M) を任意の可測空間とする．A 2 Mに対して，μ(A) を集合A の元の個数(∈ N∪{0,+∞})
と定めると，μ は(X, M) 上の測度となる．μ を数え上げ測度(counting measure) という．

1.2.2 可算集合上の測度
X を高々可算集合，M = 2^X とし，φ をX 上の[0,+1]-値関数とする．A ∈ Mに対し，
μ(A) =Σx∈A φ(x) と定めると，μ は(X, M) 上の測度である．
・ 問. 高々可算集合X とM= 2^X に対して，(X, M) 上の測度はこのようなものに限られることを示せ．

1.2.3 Dirac 測度
略

1.2.4 1 次元Lebesgue 測度
X = R とし，F= {(a, b], -∞ <= a <= b <= +∞の形の集合の有限和の全体} とおく．
・ 問. Fは有限加法族であることを示せ．
略
注意. 上記で，半開区間(a, b] を基準に測度を構成するのは一見不自然に見えるかもしれない．
閉区間の有限和全体は有限加法族にならず，閉区間をすべて含むような有限加法族
はFを含むので（確認せよ），結局最初からFを考えた方が話が早い．「空間R を分割する」とい
う見地に立てば，区間の端点の片方のみ含む集合（半開区間）を基礎とすることは自然であると考
えることもできる．右端点を含んでいるというのは全く便宜上のことであり，代わりに[a, b) の形
の半開区間を用いても構わない．
数学的には対等なのでどちらを選択しても本質的な違
いはないが，(a, b] の方を用いるのが多数派のようである．

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1497848835/286

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