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現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む35 [無断転載禁止]©2ch.net (667ﾚｽ)
現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む35 [無断転載禁止]©2ch.net http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1497848835/
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276: 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む [sage] 2017/06/30(金) 21:03:07.29 ID:INb7Gqhx >>275 つづき http://www.ma.noda.tus.A^c.jp/u/sh/ 講義ノート 平場 誠示 http://www.ma.noda.tus.A^c.jp/u/sh/pdfdvi/ana1.pdf （上記>>203Lebesgue 積分論に同じ）解析学 1 （3年通年）37p ルベーグ積分論 ana1.pdf 419kb ('16/12/01) （抜粋） 1.1 測度とは何か？ 高校までに1 点の長さは0 として, 区間[0, 1] の長さは1 として習って来たであろう. では次の計算はどこがおかしいのだろうか？(ここでは長さを| ・ | を用いて表す.) 1 = |[0, 1]| = Σ {x∈[0,1]} |{x}| = 0. 区間[a, b] (a < b) の長さをb ? a と定義するのは問題ないであろう. では1 点の長さを0 とするのがまずいのであろうか？ しかしこれを正とすると, 場所に寄って長さが変わるというのは考えにくいので, 全て同じ値として, それを無限にたすと無限大になり, 1 = ∞ となってしまう. それに|{x}| ? |[x, x + 1/n]| = 1/n → 0 (n → ∞) から|{x}| = 0 とするのも妥当であろう. 答えは, 実は, 上の足し算がまずいのである. 我々に許される足し算は有限和の極限としての無限和, 即ち, 可算までなのである. 無限和＝可算無限和＝有限和の極限. では長さの測れ る集合(可測集合) とはどのようなものであろうか？それがLebesgue 可測集合と呼ばれるもので, 測度とはこのように測れる集合や許される演算などを明確にし, 長さというものをより厳密にし, さらに一般化したものを表すのである. 大事なことは, 全ての演算が可算無限までしか許されないということである. つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1497848835/276
277: 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む [sage] 2017/06/30(金) 21:03:43.41 ID:INb7Gqhx >>276 つづき 2 可測集合と測度(Measurable sets and Measures) 以下では, X を集合として, その全部分集合族を2^X で表す. 2.1 σ-加法族 定義2.1 X の部分集合族F, i.e., F ⊂ 2^X が (1) Φ ∈ F (2) A ∈ F =⇒ A^c ∈ F (3) A1,A2, ・ ・ ・ ∈ F =⇒∪{n=1〜∞}An ∈ F をみたすときσ-加法族(σ-additive class) またはσ-集合体(σ-field) という. 問2.2 次の集合族A は集合体であるがσ-集合体ではないことを示せ. (1) X が無限集合のとき{A ⊂ X : A かA^c が有限集合(Φ も含む)} (2) X = R,-∞ ? a ? b ? ∞ に対し, (a, b] の形の区間の有限和で表される集合 ∪{k=1〜n} (ak, bk] 全体, 但しb = ∞ なら(a,∞), a = b ならΦ とみなす. 2.3 測度空間 R~ = R∪{±∞} として, +∞ = ∞ と表し, 便宜上, 次のように定める: a ∈ R (有限値) に対して a ±∞ = ±∞, a ×∞ = ∞ (a > 0),= -∞ (a < 0), 0 ×∞ = ∞× 0 = 0, a/∞ = 0. ∞ を-∞ に変えても同様である. また∞-∞ や∞/∞ などは定義しない(できない). 注意 ここで注意して欲しいのは∞=∞ = ∞× 1=∞ = ∞× 0 = 0 などという計算をしてはいけない！ ということである. 上の無限大はあくまで, 有限な値からの極限として考えるべきものである. つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1497848835/277
287: 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む [sage] 2017/06/30(金) 21:17:38.64 ID:INb7Gqhx >>286 つづき さて、上記を踏まえて、本題 >>244-245 >改めてあなたが>>141で考えた確率空間について以下の質問に答えてください。 >>276 まず、平場先生 「我々に許される足し算は有限和の極限としての無限和, 即ち, 可算までなのである. 無限和＝可算無限和＝有限和の極限.」（σ-集合体） を押さえておきましょう。 そして、この視点から見ると １）箱が１つ、箱に任意の実数 r ∈ (0,1] が入り、箱を開けずに数を的中する確率は？ 当然、直感的には０であるし、非加算無限分の１だ。が、σ-集合体（可算）をベースとする確率空間は、構築できない。 ２）箱が１つ、箱に任意の有理数 q ∈ (0,1] が入り、箱を開けずに数を的中する確率は？ 当然、直感的には０であるし、加算無限分の１だ。が、σ-集合体をベースとする確率空間は、構築できない。 （ここは、>>277 の平場先生 「 問2.2 次の集合族A は集合体であるがσ-集合体ではないことを示せ.(1) X が無限集合のとき{A ⊂ X : A かA^c が有限集合(Φ も含む)}」から、”σ-集合体ではない”が言える思う。・・が、実はよく理解できなかった（証明は下記OKWAVEにあるようだ。ご参照 ）（＾＾ ） https://okwave.jp/qa/q5924861.html aiaiai21 OKWAVE 2010-05-27 Q.σ-集合体について (1)Ωは無限集合であるとする。 A＝{A⊂Ω:AまたはA^cが有限集合か空集合} この集合族Aは集合体であるがσ-集合体ではないことを示せ。 略 質問者が選んだベストアンサー muturajcp 2010-05-31 略 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1497848835/287
309: 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む [sage] 2017/07/02(日) 07:58:30.10 ID:Tk8xp2li >>300-302 どうも。スレ主です。 ID:LpadDnPhさんと、ID:J95VrfaFさんと、同一人物でしょうかね？ 同一人物として、扱わせて頂きます。もし、違っていれば、言って下さい で、まず最初に回答>>288で、書き漏らしていることを追記しておきます。 回答>>288では、「まず、１つの数列における、しっぽの同値類と商集合、および代表元と決定番号を考えて、確率空間 (Ω,F, P) がどうなるかをかんがえた」と。これを追加しておきます。 次に、議論をすっきりさせるために、少し確認をさせて頂きたい Q1.時枝記事の解法>>12-13「めでたく確率99/100で勝てる」は、確率論として正当化できるという立場ですか？ Y or N Q2.>>276（>>287） 平場 誠示 ”測度とは何か？”の「1 点の長さは0 として, 区間[0, 1] の長さは1 」を認めますか？ Y or N Q3.>>33 Sergiu Hart氏のPDF で P2の最後 ”When the number of boxes is finite Player 1 can guarantee a win with probability 1 in game1, by choosing the xi independently and uniformly on [0, 1] ” （つまり、Player 2の勝つ確率は0）を認めますか？ Y or N http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1497848835/309
311: 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む [sage] 2017/07/02(日) 08:05:18.84 ID:Tk8xp2li >>310 つづき 補足： >この時点であなたはただひとつの類T＝[r]に属するR^Nの元たちを標本に選びました。 >この問題設定は誰も考えたことがないと思います。あなたのオリジナルですね。 ええ、問題に則して考えると、そうなるべきと思います。というか、この時枝記事の問題は、普通の確率論のテキストにありませんから、そこはオリジナルです そもそも、問題に則して考える以外にないでしょ？ （貴方は別の設定ですか？） 問題の流れとして、商集合の構成→各代表元選定→問題の数列構成→問題の数列の属する商集合特定（しっぽの確認）→代表番号決定 ですからね 代表番号の決定は、問題の数列 vs 代表元 との比較で、しっぽの一致する位置で決まりますから。 （補足：札があって、１が１枚、２が１枚、３が１枚 計３枚なら、１の確率は1/3。１が１枚、２が２枚、３が３枚 計６枚なら、１の確率は1/6。札の重複がある場合と均一な場合とでは、確率計算が異なる） 普通ここ、重複がある場合という意識が、ないだろうと（錯覚その１） > ２．Fとしてボレル集合B(R)を取れば任意の点s∈Rについて{s}∈B(R)。 > ３．確率測度として例えば正規分布Pを取る。 まず、上記>>309 Q1に記したように、平場 誠示先生は、「1 点の長さは0」だと。「1 点の長さ」が、0以外の値を取り得るという主張ですか？ 次に、ボレル集合B(R)のベースは、例えば、どんな確率論のテキストでも書いてあると思いますが、 例えば>>276 平場 誠示先生テキスト ルベーグ積分論 P5 「2.2 Borel 集合体」にあるように 「X が位相空間のとき, 開集合の全体Ｏ から生成されるσ-field σ(Ｏ) をBorel field と呼び, B(X) で表す」ですよ 開集合について、時枝問題においては、どうお考えですか？ 最後に、正規分布は→-∞および+∞ で、０（ゼロ）に収束しますよ。 （-∞、+∞）の区間を考えたとき（＝定義される関数で）、→-∞および+∞ で、０（ゼロ）に収束しない関数は、全区間で積分すれば、発散しますよ なので、あなたが考えている分布が、「→-∞および+∞ で、０（ゼロ）に収束」することを証明しないといけません。あなたは、そこはスルーですか？ つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1497848835/311
460: 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む [sage] 2017/07/06(木) 08:20:22.30 ID:qgJA+Zd6 >>434 おっちゃん、どうも、スレ主です。 >半開区間 (0,0]、(1,1] の2つはどっちも空集合だったな。 あーあ、ド素人にミスリードされた？（「全部空集合」>>429）（＾＾ １．もう一度、下記Riemann 積分の定義の復習を請う。「全部空集合」なら、Riemann 積分 定義できないぜ！（＾＾ http://www.ma.noda.tus.A^c.jp/u/sh/pdfdvi/ana1.pdf （上記>>203Lebesgue 積分論に同じ）解析学 1 （3年通年）37p ルベーグ積分論 ana1.pdf 419kb ('16/12/01) 平場 誠示>>276 (抜粋) 1.2 Riemann 積分からLebesgue 積分へ 測度の概念を用いてLebesgue 積分が定義されるのだが, まずRiemann 積分について復習しよう. (引用終り) ２．y=1/xのグラフが、下記にあるよ。「ｘ＝０は、定義できない」を思いだそう！ いまの場合、x=εでy=nだよ http://mtf.z-abc.com/?eid=415437 反比例のグラフ 中学から数学だいすき！ 2007.06.19 ３．大学数学で、εはデフォルトで、”0<ε<=1 の微小な実数”をイメージすべし。これでほぼ、問題ない。もちろん、”0<ε の 実数”って場合もある（もちろん、デフォルト以外もある） ４．ε→0 は考えて良いが、ε＝0は普通考えない。理由は、２の通り ５．これ、わざわざご親切に”1/n＝ε >0”と書き換えた>>427こころだよ ６．これを踏まえて、もう一度、>>427と>>361を読んでみて！（＾＾ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1497848835/460
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