[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む35 [無断転載禁止]©2ch.net (667ﾚｽ)
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95(2): 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む 2017/06/22(木)11:48 ID:MHGinDmi(1/20)調 AAS
>>90-94
みなさん、どうも。スレ主です。
昨日のID:17miKOtAさん＝今日の ID:su9ryMmmさんと見ると
昨日のID:4pLWwsgZさんと
計２人かな？
えーと、こちらの質問>>87は都合が悪いのでスルーですか？ まあ、良いでしょう。また、後でやりましょう
つづく
96(3): 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む 2017/06/22(木)11:52 ID:MHGinDmi(2/20)調 AAS
>>95 つづき
それでは、順番に行きましょうか
>>90
Q1
・”無限公理は∞が自然数だと主張する公理ではありませんよ”
A1
・無限公理は現代数学において、可算無限集合である自然数の集合を構成するための公理ですね
（下記および>>88のジョン・フォン・ノイマンの構成法ご参照）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AC%E7%90%86%E7%9A%84%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
公理的集合論
(抜粋)
無限公理 空集合を要素とし、任意の要素 x に対して x ∪ {x} を要素に持つ集合が存在する
Q2
・”「nの取り得る範囲が1<= n <∞である場合
nが∞になる確率P(∞)は存在せず、
したがってその値が１になることもない」
この単純(simple)かつ素朴(naive,innocent)な事実が理解できますか？ Y or N”
A2
・ええ、理解できますよ。Yです。そして、普通の自然数では∞という元は、自然数の集合Nや、実数の集合Rには含まれません。
が、現代数学では、拡張実数という立場もあります
拡張実数を使った確率論が可能かどうかは、よく知りません。が、たぶん学部の確率論の外（簡単ではない）でしょうね。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8B%A1%E5%A4%A7%E5%AE%9F%E6%95%B0
拡大実数
(抜粋)
数学における拡張実数（かくちょうじっすう、英: extended real number; 拡大実数）あるいはより精確にアフィン拡張実数 (affinely extended real number) は、通常の実数に正の無限大 +∞ と負の無限大 ?∞ の二つを加えた体系を言う。
新しく付け加えられた元（無限大、無限遠点）は（通常の）実数ではないが、文脈によってはこれらを含めた全ての拡張実数を指して便宜的に「実数」と呼ぶこともあり、その場合通常の実数は有限実数と呼んで区別する[1]。
つづく
97(1): 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む 2017/06/22(木)11:54 ID:MHGinDmi(3/20)調 AAS
>>96 つづき
>>91
Q
・前段は主張がよく分からないので、無視させて貰って、下記後段
>2chｽﾚ:math
>ちなみに過去のスレ主の解答は(決定番号を求めるための)無限数列の構成には(可算)選択公理を使うだったから
>無限数列に対する決定番号は数学的帰納法(ペアノの公理)では求められないとスレ主は自分で書いているわけだ
A
・「無限数列に対する決定番号は数学的帰納法(ペアノの公理)では求められないとスレ主は自分で書いている」と言われますが、読み違いでは？
私は、2chｽﾚ:math の引用の中で、肯定（できる）の言葉しか使っていない。（決定番号は）”求められない”と読んだのは、貴方の読み違いでは？
つづく
98(6): 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む 2017/06/22(木)11:58 ID:MHGinDmi(4/20)調 AAS
>>97 つづき
>>92
Q
・>正しくは非可算選択公理 なぜなら同値類の数が非可算個だから
A
・ああ、そうかも知れないですね。ほぼ同意です。
>>93
Q
・”また「∞番目までの項が1で、その後の全部の項が0の無限数列」もない
０＜∞ で、自然数ｎについて ｎ＜∞ならばｎ＋１＜∞になるような
（到達不能な）自然数∞というものも存在しないから”
A
・いま、問題になっているのは決定番号ですよね。それは良い例ですね
「ｎ番目までの項が1で、その後の全部の項が0の無限数列」で、仮に代表元は「最初から全部の項が0の無限数列」とします
（つまり、しっぽの箱が全て0の無限数列の同値類を考える）
そうすると、この場合決定番号はｎです。でも同様の構成で、決定番号ｎ＋１の数列ができます。
従って、これを続けると、決定番号は全ての自然数について、上記の条件を満たす数列を構成できます。
なお、ここらは、無限が19世紀末から20世紀初めに数学界を混乱に落とし入れた嵌まりどころですよ。下記ご参照
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90
(抜粋)
無限（むげん、infinity）とは、限りの無いことである。
直感的には「限界を持たない」というだけの単純に理解できそうな概念である一方で、直感的には有限な世界しか知りえないと思われる人間にとって、無限というものが一体どういうことであるのかを厳密に理解することは非常に難しい問題を含んでいる。
デデキント無限
ある集合が自身と対等な（すなわち同じ濃度を持つ）真部分集合が存在するとき、その集合はデデキント無限であるという。
デデキント無限集合は常に無限集合であるが、その逆を証明するには弱い形の選択公理が必要である。
(引用終り)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E9%9B%86%E5%90%88
(抜粋)
順序集合
直積集合上の順序
ふたつの半順序集合（の台集合）の直積集合上の半順序としては次の三種類が考えられる。
・辞書式順序: (a,b)＜＝ (c,d)←→ a＜c ∨（a＝c ∧ b＜＝ d)
・積順序:(a,b)＜＝ (c,d)←→ a＜＝ c ∧ b＜＝ d
・ (a,b)＜＝ (c,d)←→ (a<c ∧ b<d) ∨ (a＝c ∧ b＝d)}
つづく
99(2): 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む 2017/06/22(木)12:02 ID:MHGinDmi(5/20)調 AAS
>>98 つづき
>>94
Q
・”「全部の項が0の無限数列を、列の頭から順々に１に置き換えて
ｎ番目までの項が1で、その後の全部の項が0の無限数列をつくっていけば、
最後には全部の項が1の無限数列になる」
と心の底から思い込んでる文系の方も多々いらっしゃるとのことですが
そんなことは数学では全然認めてませんよ”
A
・単純な話で、ペアノの公理（下記）から、任意の自然数 a にはその後者a + 1が存在する
従って、上記>>98のように、ある決定番号nの数列が存在するとして、かならずその後者 決定番号n+1の数列が構成可能です
従って、決定番号は任意の自然数を取ることができます！
（以上は、>>98に書いたこととかなり重複しますが、ご容赦！）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
ペアノの公理
(抜粋)
任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する（suc(a) は a + 1 の "意味"）。
以上です
102: 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む 2017/06/22(木)12:32 ID:MHGinDmi(6/20)調 AAS
>>96 訂正
・ええ、理解できますよ。Yです。
↓
・ええ、理解できますよ。”はい”です。
補足
否定文
「nの取り得る範囲が1<= n <∞である場合
nが∞になる確率P(∞)は存在せず、
したがってその値が１になることもない」
に対して、日本語で、”はい”＝”同意”という意味です。
英語のYで回答すると、訳がわからなくなるので
107(1): 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む 2017/06/22(木)15:02 ID:MHGinDmi(7/20)調 AAS
>>104-106
おっちゃん、どうも、スレ主です。
お久しぶりですね（＾＾
>>Rock54: Caution(BBR-MD5:0f403478eb164e360cc51f287148ded6)
>が付いていたけど、これって何だ。
それは、なにかNGワードを書いたというコーションだね
おれ、コピペが多いから結構でるよ
”ツーン” or "ドシドシ"あたりかな（＾＾
108(1): 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む 2017/06/22(木)15:08 ID:MHGinDmi(8/20)調 AAS
>>104
おっちゃん、どうも、スレ主です。
ところでな、おっちゃん解析に詳しそうだから聞くが
変数 x∈R(実数)でな
積分範囲 ０〜＋∞とか
積分範囲 −∞〜＋∞とか
それ普通だよな
R(実数)が、その集合内に、元として∞を持たないとしても
範囲として、[０,＋∞) あるいは(−∞,＋∞) を考えることは
同意するよね（＾＾
109(1): 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む 2017/06/22(木)15:19 ID:MHGinDmi(9/20)調 AAS
>>107 補足
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q11148594791
heysey_gakuenさん2015/8/221:43:44
２ちゃんねるで書き込みの下にたまに表示される「Rock54: Caution(BBR-MD5:405b7f1af0f5a85b432d79fa769e9aeb)」ってなんですか？
ベストアンサーに選ばれた回答
neon777_777さん 2015/8/509:15:12
あなたの書き込みがNGワードに引っかかっていますよということです
http://info.2ch.net/index.php/Rock54
Rock54
115(2): 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む 2017/06/22(木)19:16 ID:MHGinDmi(10/20)調 AAS
>>110
おっちゃん、どうも、スレ主です。
> 12時間以上背もたれをしないで座ってマジメに考えるような将棋のプロ棋士の体力は半端じゃないね。
ああ、プロ棋士は生活かかっているから（＾＾
>それで決定番号も有限になって可算無限個のときの確率モデルの存在性が示せないから、
>極限を取って箱の中の実数を当てる確率を1とすることは出来ないと。
>記事の書き方が滅茶苦茶じゃないか。
ああ、あの記事は、Sergiu Hart氏>>28では、”Some nice puzzles” ”Choice Games”なんだ
mathoverflow >>23 では、”Riddle”＝なぞなぞ（⇒PUZZLE【類語】）だと
それを時枝先生が、まともな数学の話として書くから>>12、おかしくなる
勘違いする人が出てきたわけだ
https://dictionary.goo.ne.jp/ej/71517/meaning/m0u/
riddle goo辞書 ランダムハウス英和大辞典
(抜粋)
１．なぞ，判じ物；なぞめいた文句［話］.⇒PUZZLE【類語】
116: 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む 2017/06/22(木)19:21 ID:MHGinDmi(11/20)調 AAS
>>111
>実(変)数が開区間 (-∞,+∞) の空でない部分集合に属すると仮定することは、
例えば、下記の正規分布。これ普通に積分は開区間 (-∞,+∞)ですよね
で、変数 x∈R(実数) で、xは有限だ。でも、”任意のｘに対してかならずｘ＋ｘ’∈R(実数) ｜ ｘ’＞０”とできる。自然数ならｘ’＝１だ
http://mathtrain.jp/gaussdistribution
正規分布の基礎的な知識まとめ 高校数学の美しい物語 2015/11/19
117: 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む 2017/06/22(木)19:22 ID:MHGinDmi(12/20)調 AAS
>>112
NGワードを書いたとされてしまったんだろうね。
チェックロジックがバグっている気がするが（＾＾
118(3): 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む 2017/06/22(木)19:27 ID:MHGinDmi(13/20)調 AAS
>>115 補足
いま思うと>>33より
「Sergiu Hart氏のPDF で P2の最後に下記がある
”Remark.
When the number of boxes is finite Player 1 can guarantee a win with probability 1 in game1,
and with probability 9/10 in game2,
by choosing the xi independently and uniformly on [0, 1] and {0, 1, ..., 9}, respectively.”
（google翻訳より）
"リマーク。
ボックスの数が有限であれば、プレイヤー1はgame1の確率1で勝利を保証することができ、
ゲーム2では確率9/10で、
[0、1]と{0、1、...、9}上でxiを独立して一様に選択することによって、”
これ意味分かりますよね？ ボックスの数が有限の場合と、無限の場合で、全く違うと」
これ、Sergiu Hart氏のPDFの落語でいえば”落ち”だったんじゃないかな
（解説するのもやぼだが、列長さ有限の場合には一切成り立たないよ。だから、極限を考えて、列長さ無限の場合も同じだと）
で、おそらく時枝先生は、”落ち”を書き忘れてしまったんだろうね
123(2): 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む 2017/06/22(木)22:35 ID:MHGinDmi(14/20)調 AAS
>>119-120
どうも。スレ主です。
良い質問ですね >>118より
"by choosing the xi independently and uniformly on [0, 1] and {0, 1, ..., 9}, respectively.”
これ意味分かりますよね？
１．
まず、”by choosing the xi independently and uniformly”という二つの要素が効いていることにご注目です
プレイヤー1はgame1の確率1で勝利を保証することができ、ゲーム2では確率9/10だと
（時枝流に言えば、プレイヤー2ではgame1の勝率0、ゲーム2では勝率1/10だと)
"uniformly on [0, 1] and {0, 1, ..., 9}"から、勝率0と勝率1/10がそれぞれ出るのです
では、” xi independently”はどうか？ それは、確率変数xiが独立で、他の変数の影響を受けないということ。
なので独立確率変数xi はそれ単独で確率計算してよろしいということで、"uniformly on [0, 1] and {0, 1, ..., 9}"から計算される結果になんら手を加える必要がないですと。で、繰り返しですが、プレイヤー2ではgame1の勝率0、ゲーム2では勝率1/10だと
以上が、有限長さ列の場合です
つづく
124(3): 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む 2017/06/22(木)22:37 ID:MHGinDmi(15/20)調 AAS
>>123 つづき
２．
で、無限列でも、"by choosing the xi independently and uniformly on [0, 1] and {0, 1, ..., 9}, respectively.”が言えれば、数学的には、有限長さ列の場合と同じことが言えますね。
（時枝）>>15より
”扱えるとすると私たちの戦略は頓挫してしまう.
n番目の箱にXnのランダムな値を入れられて，ある箱の中身を当てようとしたって，
その箱のX と他のX1，X2，X3，・・・がまるまる無限族として独立なら，
当てられっこないではないか−−他の箱から情報は一切もらえないのだから.
勝つ戦略なんかある筈ない”
そこで、前スレでも書きましたが、下記確率の専門家さんの証明を引用します
スレ20より 2chｽﾚ:math 2016/07/03
うーん，正直時枝氏が確率論に対してあまり詳しくないと結論せざるを得ないな
>確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立，と定義されるから，(2)の扱いだ.
の認識が少しまずい．
任意有限部分族が独立とは
P(∀i=1,…n,X_i∈A_i)=Π[i=1,n]P(X_i∈A_i)ということだけど
これからP(∀i∈N,X_i∈A_i)=Π[i=1,∞]P(X_i)が成立する（∵n→∞とすればよい）
これがきっと時枝氏のいう無限族が直接独立ということだろう．
ということは(2)から(1)が導かれてしまったので，
「(1)という強い仮定をしたら勝つ戦略なんてあるはずがない」時枝氏の主張ははっきり言ってナンセンス
確率変数の独立性というのは，可算族に対しては(1)も(2)も同値となるの
(引用終り)
つまり、確率の専門家さんの証明は、”independently and uniformly”のうち
前者の”independently”（独立性）について、証明したのです。
後者の”uniformly”は、有限無限で扱いが変わらないことは自明です。
ですから、無限列でも、"by choosing the xi independently and uniformly on [0, 1] and {0, 1, ..., 9}, respectively.”が言えたので、数学的には、有限長さ列の場合と同じことが言える。
つまり、繰り返しですが、プレイヤー2ではgame1の勝率0、ゲーム2では勝率1/10だと
以上
125(3): 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む 2017/06/22(木)22:39 ID:MHGinDmi(16/20)調 AAS
>>121
>無限数列の場合は以下のようになるから数当て戦略が不成立であることは言えないですよ
>決定番号が自然数 : 決定番号より後ろには可算無限個の項が存在する
>数当て戦略を成立させないために決定番号より後ろに可算無限個の項が存在する状態をなくしたいからスレ主は
>> 箱が「可算無限個」だから、”L→∞を考えろ” (>>80)
>極限を考えるということは無限数列のある項より後ろに存在する可算無限個の項をまとめて扱うための条件を考えることになって
申し訳ないが、意味が取れない
なので、下記を勝手に書きます
１．全ての決定番号の集合をKとします。任意の自然数 ∀n∈Nで、n∈Kとできます。決定番号nの数列の構成法は>>98の中頃に書きましたよ。
ああ、>>98の中頃の記述に間違いがありますね。記述の決定番号n→n+1ですね
>>98訂正
「ｎ番目までの項が1で、その後の全部の項が0の無限数列」で、仮に代表元は「最初から全部の項が0の無限数列」とします
（つまり、しっぽの箱が全て0の無限数列の同値類を考える）
そうすると、この場合決定番号はｎです。でも同様の構成で、決定番号ｎ＋１の数列ができます。
↓
そうすると、この場合決定番号はｎ＋１です。でも同様の構成で、決定番号ｎ＋２の数列ができます。
２．どんな決定番号ｎであれ、かならずその後者ｎ＋１があり、またその後者ｎ＋１＋１があり・・と無限に続きます。
無限に続ければ、どんな決定番号ｎにも、無限の箱は存在しますよ。これ、当たり前ですよね
126: 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む 2017/06/22(木)22:40 ID:MHGinDmi(17/20)調 AAS
>>122
これ、元の>>92の発言者は私ではないので、回答不要ですね。というか余計な口出しをしないことにします
127(1): 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む 2017/06/22(木)22:41 ID:MHGinDmi(18/20)調 AAS
>>113
>大きな声で繰り返します
どうも、いまPCのスピーカーはOFFにしていますよ
だが、読めます。いや、ま、老婆心ながら、あまりにあなたが”∞”という記号に拘られるのでね
なお、無限は、まずは有限の否定ですよ。有限でないものは、すべて無限です。
例えば、自然数。任意のｎに後者ｎ＋１が存在する。後者ｎ＋１の後者後者ｎ＋１＋１が存在する・・・
128: 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む 2017/06/22(木)22:45 ID:MHGinDmi(19/20)調 AAS
>>114
>＞決定番号は全ての自然数について、
>＞上記の条件を満たす数列を構成できます。
>上記の条件を満たす数列とは
>「ｎ番目までの項が1で、その後の全部の項が0の無限数列」
>ですね
>上記の数列のどれも「全部の項が1の無限数列」とは異なる
>この単純(simple)かつ素朴(naive,innocent)な事実が理解できますか？ Y or N
理解できます
はい（Y）です
この場合決定番号はｎ＋１です（>>125の>>98訂正ご参照）
そして、∀ｎ∈Ｎ（自然数の集合）です
129: 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む 2017/06/22(木)22:48 ID:MHGinDmi(20/20)調 AAS
>>127
後者ｎ＋１の後者後者ｎ＋１＋１が存在する・・・
↓
後者ｎ＋１の後者ｎ＋１＋１が存在する・・・
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