[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む25 [無断転載禁止]©2ch.net (716ﾚｽ)
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623(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/12/03(土)12:25 ID:6Rgz8i9T(17/41)調 AAS
>>622 補足
落合理先生は、形式的冪級数で、”係数が無限個0 でないものもゆるす形式的べき級数K[[X]] を考えると, V = K[[X]] もK ベクトル空間であるが, 次元は非可算無限である.”
とあるから、ヒルベルト空間の外なんだろうね
が、「次元は非可算無限である」の理屈がわからん・・（＾＾；
624(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/12/03(土)13:08 ID:6Rgz8i9T(18/41)調 AAS
>>623 ついでに
http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/kyouiku.html
教育活動およびその他の仕事 落合理 大阪大学
http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/olympic2010.pdf
「数学オリンピック財団主催JMO夏季セミナー」 でのレクチャートーク (180分)(2010/8/26) (木)
「数の体系の広がり, 周期積分, そして整数論-- 代数と幾何と解析の交わる世界--」
講演ノートのPDFファイル （実際の講義では 本ノートの６割ほどの内容しか話せず, 複素数の部分, 素数定理, ゼータ関数の部分の後半や レムニスケート関数の部分はカットせざるを得なかった）
(抜粋)
1.4. 超越数.
先にみたように「ほとんどの」数は超越数である. 広い海岸に果てしなく敷き詰められた砂の一粒一粒を数に例えるとその一粒（数）を何の作為もなく勝手につまみあげたならば,
その数はたいてい超越数でなければならない. が, 一方で, 実際に数が与えられたときに,その数が超越数であるかを判定するのは簡単ではない.
軽く脱線して, [Kd] の中に採録された小平邦彦氏が定年間近で書いた「数学に王道なし」という文章を引用すると,
「筆者は中学の時からπ が無理数であることをよく理解していたが最近までその証明を知らなかった. . . 不思議なことに最近I.Niven によるその（無理数性の）証明を読んだ時それによってπ が無理数であるという事実に対する理解が一段と深くなったとは感じなかった
. . . 証明はただπ が無理数であるという明白な事実を確かめたに過ぎないと感じた. . .」
というくだりがあって興味深い^10.
10 その前後に小平氏が学習過程で発展的発見をしたエピソードや勉強の仕方も挙げられているので上の言葉だけを引用するのは少し誤解を誘導する危険があるかもしれない.
現代数学の超越数論にはまだまだ限界があり, 超越数であるかそうでないかを判定できない数が沢山ある.
例えば, [S, p 69] によると和e+π は無理数かどうかもわからない. あとで登場するリーマンゼータの奇数点での値のように超越数であると予想されていても何も知られていない数もある.
つづく
627(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/12/03(土)13:51 ID:6Rgz8i9T(21/41)調 AAS
>>623
こんなのが
http://math.sta
ckexch
ange.com/questions/176475/what-is-the-standard-proof-that-dimk-mathbb-n-is-uncountable
linear algebra - What is the standard proof that dim(k^N is uncountable? - Mathematics Stack Exchange: asked Jul 29 '12 at 13:46 Chindea Filip
What is the standard proof that dim(kN)is uncountable?
This is my (silly) proof to a claim on top of p. 54 of Rotman's "Homological algebra".
略
1 Answer answered Jul 29 '12 at 14:29 Asaf Karagila
One liner argument which uses a much more difficult theorems (swatting gnats with cluster bombs kind of proof):
kN is the algebraic dual of the polynomials in one variable, k[x] which has a countable dimension. If kN had a countable basis then k[x] would be isomorphic to its dual, and since this cannot be we conclude that kN has a basis of uncountable size.
The arguments given in Arturo's answer show that the above is indeed a proof (in particular Lemma 2 with κ=?0 ).
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