現代数学の系譜11 ガロア理論を読む25 [無断転載禁止]©2ch.net

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1(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/10/30(日)14:06 ID:S5Jl1CaY(1/44)調 AAS
小学生とバカプロ固定お断り！（＾＾；
旧スレが500KBオーバー間近で、新スレ立てる
このスレはガロア原論文を読むためおよび関連する話題を楽しむスレです（最近は、スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。ガロア関連のアーカイブの役も期待して。）
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2(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/10/30(日)14:07 ID:S5Jl1CaY(2/44)調 AAS
小学生とバカプロ固定お断り！（＾＾；

3(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/10/30(日)14:07 ID:S5Jl1CaY(3/44)調 AAS
プロ固定はすぐageるし・・・（＾＾；

4(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/10/30(日)14:08 ID:S5Jl1CaY(4/44)調 AAS
できの悪い小学生が、わけのわからん質問をしてくる（＾＾；

5(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/10/30(日)14:08 ID:S5Jl1CaY(5/44)調 AAS
こまったものだ

8(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/10/30(日)14:46 ID:S5Jl1CaY(6/44)調 AAS
層とトポスと直観論理と強制法で連続体仮説
https://sites.google.com/site/kota3takeuchi/home
筑波大学数理物質系数学域助教竹内耕太
https://sites.google.com/site/kota3takeuchi/announcement/category_seminar_3
category_seminar_3 企画　「圏論への招待」2012
https://sites.google.com/site/kota3takeuchi/announcement/category_seminar_3/sato
3日目　「トポスとは何か：圏論的視点での強制法」：佐藤桂 - Kota Takeuchi:
(抜粋)
　例えば、ある圏Cから集合の圏Setへの（反変）関手圏C＾は（関数環が値域の構造を反映するのと同じく）集合の圏の構造（これは古典論理）を反映しつつも似て非なるトポス（これ直観論理）となります。
ところで、この圏を位相空間Xの開集合系のなす圏O(X)とすれば、この関手圏はその位相空間X上の前層の圏O(X)＾になりますが、幾何学ではこの圏を“絞り込んだ”圏である層の圏Sh（X）を使います。
ちょっと不思議なのは、この絞り込んだ圏Sh(X)にもトポスの構造が入るところです。

「じゃあ、一般の圏にも位相入れたら、層の圏Sh(C)的なの作れて、トポスになんじゃね？」

というわけで圏Cにグロタンディーク位相なるものを入れて作ったトポスがグロタンディーク・トポスです！！
こんなアナロジーがとれてしまうのは驚きですが、これが何の役に立つんでしょうか。

強制法で連続体仮説の成り立たない反例を作るには、そもそもそのモデルがZFC公理系を満たしていなければ意味がありません。
ところが、ZFC公理系は当然ながら古典論理の範疇にあるので、先の集合の圏への関手圏は集合の圏に似てはいても、そのままでは直観論理状態で使い物になりません。

ところがところが、この直観論理状態のトポスには「二重否定が元に戻らない」ことを利用して“二重否定位相”なるものを作ることができて、これを使って圏を“絞り込む”（層の圏を切り出す）と
なんと、古典論理状態のトポス（しかも集合の圏とは違うもの、コーエン・トポス）になります！！
これでめでたくZFC公理系を満たす新しいモデルが作れ、しかもこのモデルが連続体仮説をダメにすることがわかるのです。

本講義では、いちばん面白いと思われる、この層への絞り込み（特に二重否定位相を使った絞り込み）を詳しめに紹介したいと思っています。
(引用終り)

9(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/10/30(日)14:47 ID:S5Jl1CaY(7/44)調 AAS
ああ、ばかのプロ固定が来た（＾＾；

10(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/10/30(日)14:48 ID:S5Jl1CaY(8/44)調 AAS
ほんと、小学生程度の学力しかないやつ（＾＾；

11(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/10/30(日)14:48 ID:S5Jl1CaY(9/44)調 AAS
わけのわからん質問をする（＾＾；

12: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/10/30(日)14:49 ID:S5Jl1CaY(10/44)調 AAS
桁数と数の存在とは無関係って分からんのかね？（＾＾；

13: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/10/30(日)14:50 ID:S5Jl1CaY(11/44)調 AAS
桁数が分からないから、その数が存在しないとね？（＾＾；

14: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/10/30(日)14:58 ID:S5Jl1CaY(12/44)調 AAS
√２は何桁の数？

15: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/10/30(日)14:59 ID:S5Jl1CaY(13/44)調 AAS
√２をコーシー列で定義するのに何桁まで展開すれば良いですか？　ちぇんちぇー！

16: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/10/30(日)14:59 ID:S5Jl1CaY(14/44)調 AAS
幼稚園の先生に聞いてこいよ（＾＾；

17: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/10/30(日)15:00 ID:S5Jl1CaY(15/44)調 AAS
数が、無限小数になるから、ぼく扱えませんか・・、おいおい

18: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/10/30(日)15:03 ID:S5Jl1CaY(16/44)調 AAS
√２って、有限桁か？そうなん？　だから√２＋√３は存在しませんと？　幼稚園で習いましたか？　（＾＾；

19: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/10/30(日)15:04 ID:S5Jl1CaY(17/44)調 AAS
√２＋√３という２項演算は存在しないとね？（＾＾；

20: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/10/30(日)15:05 ID:S5Jl1CaY(18/44)調 AAS
ああ、ごめん、ぼく小学生だったね？（＾＾；

21: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/10/30(日)15:05 ID:S5Jl1CaY(19/44)調 AAS
まあ、理解できないのも無理ないか

22: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/10/30(日)15:06 ID:S5Jl1CaY(20/44)調 AAS
これでだいぶレス稼いだな（＾＾；

23: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/10/30(日)15:07 ID:S5Jl1CaY(21/44)調 AAS
新レスでは、早く３０レスくらいまでいかないと、DAT落ちのところもあるからね（＾＾；

24: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/10/30(日)15:15 ID:S5Jl1CaY(22/44)調 AAS
πの桁数が有限だと思っているならバカだし

25: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/10/30(日)15:15 ID:S5Jl1CaY(23/44)調 AAS
πの桁が無限だから、２項演算が定義できないと考えるのもバカ

26: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/10/30(日)15:15 ID:S5Jl1CaY(24/44)調 AAS
どちらにしても、小学生

29: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/10/30(日)15:30 ID:S5Jl1CaY(25/44)調 AAS
>>8 関連

https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/35/1/35_1_50/_pdf
トポスの基礎Part Ｉ論理からみたトポス倉田令二朗 SUGAKU Vol. 35 (1983) No. 1 Released: December 25, 2008
(抜粋)
§0.序論
(1) トポスの登場.トポスはGrothendieck Topos, Lawvereの圏論的集合論と論理の圏論的解
釈の研究1),および伝統的なcHa(complete Heyting algebra)上の直観主義論理の結合としてLaw
vereとTierneyによって生み出された(1970[27]).最初のスロー一ガンは層の理論のinternaliza
tion,すなわちGrothendieck toposの圏論にとっての狸雑な部分2)=集合論的部分をelementary
toposの有限図式で書きかえることであった(本文3.1がそのはじまりである)([10],[ 20],[48]).こ
の方向はinterna1 category論に関するDiaconescu等の精緻な研究([3])を経て徹底して推進され
た([16]2,3,4章)。

(2) トポスによる統合.

(6)層の圏. §3の例はいずれも集合論的に定義されるものであるが参考書をあげるにとどめる.
とくにV(H)は竹内外史氏が来日中(1979)にひろめた数々のスローガン, ‘アーベル群(環)の直観
主義化はアーベル群(環)の層である.一変数関数論の直観主義化は多変数関数論である' (5)等を具現
するモデルであり,実例研究のたえざる出発点である([43]) .§4はAC(選択公理)やB(ブール的)
等の制限をもつトポスを扱うが伝統的な基礎論の課題の多くが関係する部分の一つである.§5は
集合論のモデルをトポスの中で構成することであり(林[54]),これでPart Ｉの課題は一段落つくこ
とになる.なおFourman [8］がhierarchy的なやり方でGr-トポスにおいて集合論のモデルを作っ
たが林のそれと同値であることが林自身によって示されている.
(引用終り)

30: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/10/30(日)15:31 ID:S5Jl1CaY(26/44)調 AAS
あほの粘着見苦しいね（＾＾；

31: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/10/30(日)15:31 ID:S5Jl1CaY(27/44)調 AAS
あれだけ教えてやって、質問のバカさ加減わからずか？（＾＾；

32: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/10/30(日)15:32 ID:S5Jl1CaY(28/44)調 AAS
自分で立派な質問した気になっているとろが、かわいいが、所詮あほ

33: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/10/30(日)15:34 ID:S5Jl1CaY(29/44)調 AAS
結局、質問に答えても分からんだろうし、そもそも小学生の学力レベルにどう答えろと？どう答えても、理解のレベル超えているだろ？（＾＾

36: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/10/30(日)15:41 ID:S5Jl1CaY(30/44)調 AAS
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/36/2/36_2_179/_pdf
書評竹内外史:直観主義的集合論 (倉田令二朗) Vol. 36 (1984) No. 2
(抜粋)
直観主義化=位相化=層化.cHaのもっとも典型的な,
もっとも重要な例は位相空間Xの開集合の全体0(X)の
作るcHaである.古典的なVが集合を基礎とした所に
位相がとって変る,V(Ω)はVの位相化といえる.とこ
ろで現代数学の轡つの指標が位相化にあるとすれば直観
主義的数学は数理論理学と現代数学が交叉する豊かなフ
ロンティアであると著者はいう.ここからして著者が
79年来日中にあちこちで唱えたスローガン‘アーベル群
や環の直観主義化はアーベル群の層,環の層である',`一
変数関数論の直観主義化は多変数関数に導く'等が生じ
る.

ところで逆にΩ 上の層A∈Sh(Ω)に対しV(Ω)の元
Aを対応させる関手S:Sh(Ω)→V(Ω)が作れ,このSは,
2つの圏の同値を与える.下田守がこれを示した(Part I
文献[56])。この関手が直観主義化＝層化ということの
理論的根拠なのである.

(引用終り)

37: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/10/30(日)15:42 ID:S5Jl1CaY(31/44)調 AAS
あほ、プロ固定をおちょくるのは楽しいね。ばか晒しているよ（＾＾；

38: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/10/30(日)15:43 ID:S5Jl1CaY(32/44)調 AAS
ぼく、無限桁がわかりませんか・・・、ああ小学生レベルだね

39: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/10/30(日)15:43 ID:S5Jl1CaY(33/44)調 AAS
ゆび折ってかぞえろよ、あほプロ固定さん

41: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/10/30(日)15:51 ID:S5Jl1CaY(34/44)調 AAS
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/40/4/40_4_365/_pdf
書評 Gaisi Takeuti:Proof Theory, Second Edition, North-Holland,1987年,496ページ ,25,000円(日本販売権,丸善). (倉田令二朗)
SUGAKU Vol. 40 (1988) No. 4 Released: December 25, 2008
(抜粋)
この本の初版は10年以上前の1975年だったが,たち
まち証明論の古典と称せられるようになった.当然なが
ら竹内さんの影響の強いわが国であるのに本誌で一度も
書評されなかったのは不思議である.某先生が書評を引
き受けておきながらおさぼりになったままになったらし
い.
第2版では多くのことが追加された.
1.Chap 1.直観主義論理の完全性について. Heyting
値モデルとそれに関するRasiowa-Sikorskiの完全
性定理の証明,Kripke解釈との関係,完全性の概念そ
のものの精密化と問題提起.
(引用終り)

43(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/10/30(日)15:55 ID:S5Jl1CaY(35/44)調 AAS
>>40
ふーん
では問う

１．R^Nの制約を外したらどうだ？
２．そもそもの問題の仮定 ”箱がたくさん，可算無限個ある”は、R^Nに含まれるのか？

Y/Nで結構だ

44: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/10/30(日)16:00 ID:S5Jl1CaY(36/44)調 AAS
時枝記事で
「問題に戻り，閉じた箱を100列に並べる.」だった

１．１００列はすべて可算無限個か？
２．100列に並べた箱を、１列に並べ直す事は可能か？

Y/Nで結構だ

51(8): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/10/30(日)18:48 ID:S5Jl1CaY(37/44)調 AAS
>>46はプロ固定のageおじさん、>>50はTさんかな？

どっちも、カントールとヒルベルトの無限ホテル勉強してね
別におれが新しい無限集合の理論を作る気は無いからね。既存の集合論のテキストを勉強したら分かる話だ(いわゆる普通にある無限のパラドックスだよ（＝不思議だがそれが可算無限）)

１．モノイドの文字の連接に関する演算は、時枝問題とは別に、厳然と数学の理論がある。これは、時枝問題と無関係だ。だからR^Nなどの制約は受けない。これをはっきり宣言しておく
２．さてまず、カントールの有理数の可算無限の濃度証明（特に有理数について）を見て下さい（既知と思うが・・・）
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1229311902
yamineko20032003さん 2009/8/11
次の集合が可算であることを示せ。(1) 整数(2) 有理数(3) x-y平面上の有理点
ベストアンサーに選ばれた回答 mamanii32さん 2009/8/11 （略）
http://www.math.chs.nihon-u.ac.jp/~ichihara/Labo/Notes/2011/3rd/0519.pdf
可算無限集合平原　健太日大平成23 年6 月9 日 (抜粋) 定理1.9 証明すべきことは、正の有理数の集合Q+が可算無限集合
３．次にヒルベルトの無限ホテル
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E3%81%AE%E7%84%A1%E9%99%90%E3%83%9B%E3%83%86%E3%83%AB%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9
ヒルベルトの無限ホテルのパラドックス
(抜粋)
例えば、1号室の客を2号室へ、2号室の客を4号室へ、3号室の客を6号室へ、…、n 号室の客を 2n 号室へ、…と移せば、1号室、3号室、5号室、…つまり奇数号室は空室になるから、無限の客を新たに泊めることができる。
(引用終り)

52(6): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/10/30(日)18:50 ID:S5Jl1CaY(38/44)調 AAS
>>51 つづき
さて、上記を踏まえて

１．当然現代数学は、無限集合を扱う。２項演算の対象も無限集合であっていい。例えば、集合Xと集合Yの和X∪Yは普通に定義される
２．二つの集合
X＝{x_1＝3, x_2＝1, x_3＝4, x_4＝1, x_5＝5, x_6＝9, x_7＝2, x_8＝6, x_9＝5, x_10＝3, x_11＝5, x_12＝9,・・・}
Y＝{y_1＝2, y_2＝7, y_3＝1, y_4＝8, y_5＝2, y_6＝8, y_7＝1, y_8＝8, y_9＝2, y_10＝8, y_11＝4, y_12＝6,・・・}
Z＝X∪Yとでもしようか？　（ここで、x_7＝2とy_9＝2となどは、区別して統合しないものとする）
３．集合Zの元をどう並べるかだけの話でしょ？それを連結と考える
Z＝{x_1＝3, x_2＝1, x_3＝4, x_4＝1, x_5＝5, x_6＝9, x_7＝2, x_8＝6, x_9＝5, x_10＝3, x_11＝5, x_12＝9,・・・
　　 y_1＝2, y_2＝7, y_3＝1, y_4＝8, y_5＝2, y_6＝8, y_7＝1, y_8＝8, y_9＝2, y_10＝8, y_11＝4, y_12＝6,・・・}
でなんの不都合もない
４．ならべ変えると
Z＝{x_1＝3, y_1＝2,x_2＝1, y_2＝7,x_3＝4, y_3＝1,x_4＝1, y_4＝8,x_5＝5,y_5＝2, x_6＝9,y_6＝8, x_7＝2,y_7＝1, x_8＝6y_8＝8, x_9＝5,,y_9＝2, x_10＝3, y_10＝8,x_11＝5,y_11＝4, x_12＝9, y_12＝6,・・・・・・}
５．ところで、奇数列と偶数列とを利用すれば、下記にできる
Z'＝{z_1＝3, z_3＝1, z_5＝4, z_7＝1, z_9＝5, z_11＝9, z_13＝2, z_15＝6, z_17＝5, z_19＝3, z_21＝5, z_23＝9,・・・
　　 z_2＝2, z_4＝7, z_6＝1, z_8＝8, z_10＝2, z_12＝8, z_14＝1, z_16＝8, z_18＝2, z_20＝8, z_22＝4, z_24＝6,・・・}
６．Z'→X'∪Y'とみて二つの集合に分ける
　 X'＝{z_1＝3, z_3＝1, z_5＝4, z_7＝1, z_9＝5, z_11＝9, z_13＝2, z_15＝6, z_17＝5, z_19＝3, z_21＝5, z_23＝9,・・・}
　 Y'＝{z_2＝2, z_4＝7, z_6＝1, z_8＝8, z_10＝2, z_12＝8, z_14＝1, z_16＝8, z_18＝2, z_20＝8, z_22＝4, z_24＝6,・・・}
７．番号をつけ直して
　 X'＝{x'_1＝3, x'_2＝1, x'_3＝4, x'_4＝1, x'_5＝5, x'_6＝9, x'_7＝2, x'_8＝6, x'_9＝5, x'_10＝3, x'_11＝5, x'_12＝9,・・・}
　 Y'＝{y'_1＝2, y'_2＝7, y'_3＝1, y'_4＝8, y'_5＝2, y'_6＝8, y'_7＝1, y'_8＝8, y'_9＝2, y'_10＝8, y'_11＝4, y'_12＝6,・・・}

つづく

53(5): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/10/30(日)18:51 ID:S5Jl1CaY(39/44)調 AAS
>>52 つづき

８．これら操作は、ZFCの中で可能ということは認めて貰うとして、二つの集合X'＝X、Y'＝Y も（集合として合同）認めていいだろう。
　　そこで、y_1＝2の動きについて見ると、y_1＝2→ z_2＝2→ y'_1＝2と変わったわけだ。それが、数学理論で禁止されているわけでも、数学理論に矛盾するわけでもない
　　むしろ、カントールの有理数の可算無限の濃度証明や、ヒルベルトの無限ホテルでの操作の範疇だ

こで分からなければ、カントールとヒルベルトの無限ホテルをじっくり勉強してくれ。大学の集合論で役に立つよ

54(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/10/30(日)18:54 ID:S5Jl1CaY(40/44)調 AAS
>>53 訂正

こで分からなければ、カントールとヒルベルトの無限ホテルをじっくり勉強してくれ。大学の集合論で役に立つよ
　↓
これで分からなければ、カントールとヒルベルトの無限ホテルをじっくり勉強してくれ。大学の集合論で役に立つよ

59(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/10/30(日)19:54 ID:S5Jl1CaY(41/44)調 AAS
>>55
Tさん、モノイドもっと勉強してよ

>文字列の「連接」の定義としては不完全

文字列の「連接」の定義は、おれが定義するんじゃなくて、もうすでに世の中に存在するよ
それが、>>51の１項”モノイドの文字の連接に関する演算は、時枝問題とは別に、厳然と数学の理論がある。これは、時枝問題と無関係だ。だからR^Nなどの制約は受けない。これをはっきり宣言しておく”だよ。
単なるあなたの勉強不足

>(a＊b)＊c と a＊(b＊c) が全く違う番号づけになってしまい

それは単に途中経過だけの話でしょ

最終的には、番号づけは外すよ
そもそも、自由モノイドでは番号付けはない単なる文字列だからね
但し、「eの整数部分は小数第何位にくるんだ」>>6などというから、別にそんなことで、上記数学で世間で定義されているモノイドの連接の定義は揺るぎもしないけど
一つの可能性として、こう考えられるとしたわけだ（なお、可能性は一つで十分だよ）

繰り返すが、番号付けができないから、モノイドの連接ができないなんて話は、数学じゃないよ
そもそも、番号付けなんて、時枝記事の決定番号から来ている個別の事情でさ、モノイド理論と無関係だよ

繰り返すが、”モノイドの文字の連接に関する演算は、時枝問題とは別に、厳然と数学の理論がある” 番号付けとや時枝の決定番号とは無関係
Tさん、モノイドもっと勉強してよ

62(7): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/10/30(日)20:09 ID:S5Jl1CaY(42/44)調 AAS
いいかい

>>52-53で示したこと、なにも新しい理論ではない
単に世間にあるモノイドの文字の連接が、可算無限数列においても可能だということを示しただけ
それも、わざわざ示すほどでもない、自明かつトリビアな話だ

「eの整数部分は小数第何位にくるんだ」というから、こう考えられると一つの可能性を示しただけ
ところで、>>51で引用した２項のカントールの可算無限集合論によれば、Nから（N,N）への全単射が存在する

だから、番号付けを、
集合Xについては、(1,1),(1,2),・・・・(1,n),・・・
集合Xについては、(2,1),(2,2),・・・・(2,n),・・・
とでも２次元の添え字を使えば、そういうやり方もある。２つ添え字ijを使うなど、大学数学では頻出テクでありまして
「eの整数部分は小数第何位にくるんだ」と悩む話でもないでしょ、大学数学では

65(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/10/30(日)20:17 ID:S5Jl1CaY(43/44)調 AAS
>>62 訂正

集合Xについては、(2,1),(2,2),・・・・(2,n),・・・
　↓
集合Yについては、(2,1),(2,2),・・・・(2,n),・・・

67(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/10/30(日)20:38 ID:S5Jl1CaY(44/44)調 AAS
>>63-64

あのさ、時枝記事の決定番号の都合でモノイド理論にけちつけるのを止めて欲しいね
無関係だよ、番号付けとかさ。モノイドに番号付けは不要だ

>a＊b＝b＊a は一般的には成り立たないのだよ。
>しかし、君の定義では常に a＊b＝b＊a になってしまうので、
>連接の定義としては不完全なんだよ。

意味分からん
おれはなんら定義していない。こう考えられると説明しただけ
そもそも、勝手に理屈こねるなよ

>それもアウト。番号づけの外し方は統一的にしなければならない。

それもへりくつ。>>62の２つ添え字ijを使うなど、大学数学では頻出テクも可

>一方で、モノイドを定義しようと思ったら、モノイドが満たすべき
>代数的な性質がきちんと再現できるように、うまい定義を模索しなければならない。

おれは別に新しいモノイド理論を作ったつもりはないよ
モノイド理論勉強してね
言いたいことはそれだけだよ

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