現代数学の系譜11 ガロア理論を読む25 [無断転載禁止]©2ch.net

[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む25 [無断転載禁止]©2ch.net (716ﾚｽ)
上下前次1-新
抽出解除必死ﾁｪｯｶｰ(本家) (べ) 自ID ﾚｽ栞あぼーん

このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索歴削→次ｽﾚ栞削→次ｽﾚ過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ

ﾘﾛｰﾄﾞ規制です｡10分ほどで解除するので､他のﾌﾞﾗｳｻﾞへ避難してください｡

104: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)10:34 ID:DzICE8Th(1/47)調 AAS
なんかageで書くやつがいる
ID:BAF7Cd2p おまえだ
おまえ、プロ固定だろう？（＾＾；
このスレに、プロ固定は不要だよ！
次回から、sageで書くように！

105(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)10:35 ID:DzICE8Th(2/47)調 AAS
>>87
おっちゃん、また難しいことを考えたね（＾＾；
しかし、ID:oIF6CyORさんは、メンターさんだと思うが、こんな板に書かれた読みにくい証明をよく読むね。感心するよ
メンターさんの努力に深謝！ｍ（＿＿）ｍ
おれは、スルーだな（＾＾；

>eπが無理数であるか有理数であるかは未解決問題。

これだね
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%95%B0
超越数
(抜粋)
超越数かどうかが未解決の例
ｅπ・・・などの円周率 π や自然対数の底 e の大抵の和、積、べき乗は、有理数であるのか無理数であるのか超越的であるのか否かは証明されていない[注 4]。
(引用終り)

http://www.math.tsukuba.ac.jp/~wkbysh/indexj.html
若林　誠一郎筑波大学名誉教授
http://www.math.tsukuba.ac.jp/~wkbysh/e_transc.pdf
e も π も超越数 (2008年度数学特別講義 I) 若林誠一郎筑波大 pdf

106(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)10:37 ID:DzICE8Th(3/47)調 AAS
ところで
>>63
Ｔさん、難しく考えすぎ
というか、決定番号を守ろうという意識が強すぎるだろう

>そのような、世の中に既に存在する文字列の「連接」の定義において、
>a＊b＝b＊a は一般的には成り立たないのだよ。
>しかし、君の定義では常に a＊b＝b＊a になってしまうので、
>連接の定義としては不完全なんだよ。

>>62で示した、２つ添え字ijを使う頻出テクを使えば簡単だろ。可算集合は、可付番集合ともいう（下記）

a＊bという数列に、頭から(1,1),(1,2),・・・・(1,n),・・・、(2,1),(2,2),・・・・(2,n),・・・と連番を付ける。これ可付番集合で可算集合だ
同様に、数列b＊aにも、頭から(1,1),(1,2),・・・・(1,n),・・・、(2,1),(2,2),・・・・(2,n),・・・と連番を付ける。

a＊b≠b＊a だろ？
それは、>>64で、”そのような連接が可能であることは俺も分かっている”と認めているのかな・・・？　次にそれを示そう

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E7%AE%97%E9%9B%86%E5%90%88
(抜粋)
可算集合（かさんしゅうごう、countable set 又は denumerable set）もしくは可付番集合とは、おおまかには、自然数全体と同じ程度多くの元を持つ集合のことである。各々の元に 1, 2, 3, … と番号を付けることのできる、すなわち元を全て数え上げることのできる無限集合と表現してもよい。
(引用終り)

107(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)10:38 ID:DzICE8Th(4/47)調 AAS
>>64
>＞単に世間にあるモノイドの文字の連接が、可算無限数列においても可能だということを示しただけ
>そのような連接が可能であることは俺も分かっている。
>しかし、君のやり方では不完全であり、かつ間違っており、

えーと、>>51-54だったね.
２つ添え字ijを使う頻出テクを使って書き直すよ

>>51の修正
５．ところで、２つ添え字ijを使う頻出テクを使えば、下記にできる
Z'＝{z_1,1＝3, z_1,2＝1, z_1,3＝4, z_1,4＝1, z_1,5＝5, z_1,6＝9, z_1,7＝2, z_1,8＝6, z_1,9＝5, z_1,10＝3, z_1,11＝5, z_1,12＝9,・・・
　　 z_2,1＝2, z_2,2＝7, z_2,3＝1, z_2,4＝8, z_2,5＝2, z_2,6＝8, z_2,7＝1, z_2,8＝8, z_2,9＝2, z_2,10＝8, z_2,11＝4, z_2,12＝6,・・・}
６．Z'→X'∪Y'とみて二つの集合に分ける
　 X'＝{z_1,1＝3, z_1,2＝1, z_1,3＝4, z_1,4＝1, z_1,5＝5, z_1,6＝9, z_1,7＝2, z_1,8＝6, z_1,9＝5, z_1,10＝3, z_1,11＝5, z_1,12＝9,・・・・・・}
　 Y'＝{z_2,1＝2, z_2,2＝7, z_2,3＝1, z_2,4＝8, z_2,5＝2, z_2,6＝8, z_2,7＝1, z_2,8＝8, z_2,9＝2, z_2,10＝8, z_2,11＝4, z_2,12＝6,・・・}
７．番号をつけ直して
　 X'＝{x'_1＝3, x'_2＝1, x'_3＝4, x'_4＝1, x'_5＝5, x'_6＝9, x'_7＝2, x'_8＝6, x'_9＝5, x'_10＝3, x'_11＝5, x'_12＝9,・・・}
　 Y'＝{y'_1＝2, y'_2＝7, y'_3＝1, y'_4＝8, y'_5＝2, y'_6＝8, y'_7＝1, y'_8＝8, y'_9＝2, y'_10＝8, y'_11＝4, y'_12＝6,・・・}

これで、上記５項〜７項は可能だ。

108: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)10:39 ID:DzICE8Th(5/47)調 AAS
>>107 つづき

そこで、整列可能定理を仮定し、整列集合を考える（下記）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88
整列集合
(抜粋)
数学において、整列順序付けられた集合または整列集合（せいれつしゅうごう、英: well-ordered set）とは、整列順序を備えた集合のことをいう。

集合に整列順序が与えられれば、そこでは集合の全ての元に対する命題の超限帰納法を用いた証明を考えることができる。

（選択公理に同値な）整列可能定理は、任意の集合が整列順序付け可能であることを主張するものである。整列可能定理はまたツォルンの補題とも同値である。
(引用終り)

整列可能定理を使って、集合Z'を整列集合とする。
簡単に、>>62 で示したように、(1,1)<(1,2)<・・・・<(1,n)<・・・< (2,1)<(2,2)<・・・・<(2,n)<・・・
蛇足だが、i<jのとき、(n,i)<(n,j) で、(i,n)<(j,n) とすれば、上記の整列になる
(1,1)<(1,2)<・・・・<(1,n)<・・・< (2,1)<(2,2)<・・・・<(2,n)<・・・を、上記の５項に適用して
Z_1,1 <Z_1,2 <・・・・<Z_1,n <・・・< Z_2,1 <Z_2,2 <・・・・<Z_2,n <・・・

これも蛇足だが
Z_1,1 <Z_1,2 <・・・・<Z_1,n <・・・
　↓
X_1 <X_2 <・・・・<X_n <・・・
かつ
Z_2,1 <Z_2,2 <・・・・<Z_2,n <・・・
　↓
Y_1 <Y_2 <・・・・<Y_n <・・・
と書き直せばいいんでないの？

要は、整列可能定理を使って、整列集合を考える。これも大学数学では頻出テク

109: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)10:41 ID:DzICE8Th(6/47)調 AAS
つづき

戻る
>>55
>これはもっとダメ。奇数列と偶数列を利用する場合、
>(a＊b)＊c と a＊(b＊c) が全く違う番号づけになってしまい、
>Z' という集合で考えてもイコールにならず、結果として
>(a＊b)＊c ＝ a＊(b＊c) が全く成り立たなくなるので、

ここ、３つ添え字ijkを使う頻出テクでｏＫだろ
また、奇数列と偶数列→ mod 3を使えばどう？　これも、頻出テクでしょ
数列の順序は、上記のように添え字を使って、整列集合にすれば良いだろう

まとめると
要は、二つの数列可算無限数列
Ａ＝（a1,a2,・・・an・・・）
Ｂ＝（b1,b2,・・・bn・・・）

があって、２つ添え字ijを使って
(1,1)<(1,2)<・・・・<(1,n)<・・・
(2,1)<(2,2)<・・・・<(2,n)<・・・
で、ＡとＢの数たちに添え字をつけて、整列集合にする
そして、Ａ∪Ｂ＝{a1,a2,・・・an・・・,b1,b2,・・・bn・・・}をつくる
そこから第三の数列
Ｃ＝（a1,a2,・・・an・・・、b1,b2,・・・bn・・・）
ができる
整列可能定理を使って、整列集合を考えれば、前記の通り、これは可能で、番号づけとその外し方は統一的にできるよ

(a＊b)＊cなら、３つ添え字ijkを使う

110(5): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)10:45 ID:DzICE8Th(7/47)調 AAS
つづき

ところで、数列を頭で分類するのが、コーシー列

>>42にならって
π＝ x ＝ 3.14159265358979…
e/10 ＝ y ＝ 0.2718281828459…
ここで、数列 2718281828459…をπ＝ xの後ろに連結すると
z ＝ 3.14159265358979…2718281828459…

としてみよう
数列を頭で分類するコーシー列なら、x ＝ z
つまり、zはコーシー列として、πに収束する
これは証明できる

proof:
１．πに収束する数列を考える
π＝ 3.14159265358979… ＝a1. a2a3a4a5・・・an・・・
a1=3, a2=1,a3=4,a4=1,a5=5・・・・・　（an＝πの少数第n-1位の数）・・・

２．ここで、e/10 ＝ 0.2718281828459…、e/100 ＝ 0.02718281828459…,・・・,e/10^n=0.0・・・2718281828459…（少数第ｎ位から2718281828459…となる）を考える

３．πに収束する次の数列を考える
π'1=a1+e/10＝3. 2718281828459…
π'2=a1. a2+e/100＝3.1 2718281828459…
　・
　・
π'n=a1. a2a3a4a5・・・an+e/10^n＝3.14159265358979・・・an +e/10^n＝3.14159265358979・・・an 2718281828459…
ここで、n→∞の極限を取ると
lim(n→∞) π'n=a1. a2a3a4a5・・・an +e/10^n＝3.14159265358979… 2718281828459…

４．ここで、後半のe/10^nの部分は、e/10^n→0に収束する。そして、前半の3.14159265358979・・・an・・・の部分はπに収束する
従って、π'n=a1. a2a3a4a5・・・an+e/10^nは、πに収束する
（ＱＥＤ）

そして、繰り返すが、π'nの数列については、上記のようにπ'1=3. 2718281828459…、π'2=3.1 2718281828459…、・・・、π'n=3.14159265358979・・・an 2718281828459…だったから
n→∞で、lim(n→∞) π'n=3.14159265358979… 2718281828459… と書ける

111: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)10:47 ID:DzICE8Th(8/47)調 AAS
つづき

これを、「尻尾が頭を振り回す」という格言から考えてみよう

「尻尾が頭を振り回す」。ちょっと古い引用だが、昔からこういう表現はある。「本末転倒」とも。時枝記事に同じ
可算無限数列をしっぽで同値類分類するなどと、まさに「尻尾が頭を振り回す」の図だろう

http://tofuka01.blog.f（ｎｇのため強制改行）
c2.com/blog-entry-209.html
尻尾が頭を振り回すようなことがあってはならない - 弁護士深草徹の徒然日記 2014-12-22
(抜粋)
　去る１１月２５日、「土井たか子さんお別れの会」において、河野洋平氏は、弔詞の中で、次のように述べた。

　「細川護煕さんと２人で最後に政治改革、選挙制度を右にするか、左にするか、決めようという会談の最中、議長公邸にあなたは呼ばれた。直接的な言葉ではなかったけれども、「ここで変なことをしてはいけない。この問題はできるだけ慎重にやらなくてはいけませんよ」と言われた。あなたが小選挙区に対して非常な警戒心を持たれていた。
　しかし、社会全体の動きはさまざまな議論をすべて飲み込んで、最終段階になだれ込んだ。私はその流れの中で小選挙区制を選択してしまった。今日の日本の政治、劣化が指摘される、あるいは信用ができるかできないかという議論まである。
そうした一つの原因が小選挙区制にあるかもしれない。そう思った時に、私は議長公邸における土井さんのあの顔つき、あの言葉を忘れることができません。」

　１９９４年１月、当時、下野した自民党の総裁だった河野氏は、細川護煕首相とのトップ会談で衆院の小選挙区比例代表並立制の導入に断を下した。そのとき衆議院議長だった土井氏を議長公邸に訪ねた際に、慎重な検討を求められたにもかかわらず強行してしまったことについて、悔恨の思いを表明したのである。

　今回の衆院選において、自民党は、小選挙区において、得票率は４８．１０％、対有権者比の得票率（絶対得票率）はわずか２５．３２％に過ぎないのに、小選挙区総議席２９５のうち、２２３、比率にして７５．５９％も獲得している。
　小選挙区制は、このように民意とかけ離れた議席を多数党に与えてしまうのであり、不公正極まりないものといわねばならない。
(引用終り)

112: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)10:48 ID:DzICE8Th(9/47)調 AAS
つづき

鵺(ぬえ）やキマイラなど。頭とシッポが異なる怪獣。古代からそういうものが考えられてきた
シッポで分類するなら、両者ともヘビだ
頭で分類するなら、鵺(ぬえ）はサル、キマイラはライオンだ。頭で分類する方が普通だろう？（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%B5%BA
鵺(ぬえ）は、日本で伝承される妖怪あるいは物の怪である。
(抜粋)
『平家物語』などに登場し、サルの顔、タヌキの胴体、トラの手足を持ち、尾はヘビ。文献によっては胴体については何も書かれなかったり、胴が虎で描かれることもある。また、『源平盛衰記』では背が虎で足がタヌキ、尾はキツネになっており、さらに頭がネコで胴はニワトリと書かれた資料もある[1]。
(引用終り)

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AD%E3%83%9E%E3%82%A4%E3%83%A9
キマイラは、ギリシア神話に登場する怪物である。
(抜粋)
テューポーンとエキドナの娘。ライオンの頭と山羊の胴体、毒蛇の尻尾を持つ。
(引用終り)

113: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)10:49 ID:DzICE8Th(10/47)調 AAS
つづき

要するに、頭で数列を分類するコーシー列ならなんら問題ない
（∵シッポの2718281828459… は、+e/10^nで、n→∞ で0に収束するから、いわゆる「枝葉末節」の問題として無視できる）
ところが、シッポから決定番号を求めるとなると、「本末転倒」「尻尾が頭を振り回す」の図となる。これを数学として扱うには十分なる注意が必要だということ
（コーシー列のように簡単にはいかないよと）

114(29): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)10:50 ID:DzICE8Th(11/47)調 AAS
つづき

さて
（現代数学の系譜11 ガロア理論を読む18）>>2 再録　
１．時枝問題（「箱入り無数目」数学セミナー2015.11月号の記事）の最初の設定はこうだった。
「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.
どんな実数を入れるかはまったく自由，例えばn番目の箱にe^πを入れてもよいし，すべての箱にπを入れてもよい.
もちろんでたらめだって構わない.そして箱をみな閉じる.
今度はあなたの番である.片端から箱を開けてゆき中の実数を覗いてよいが，一つの箱は開けずに閉じたまま残さねばならぬとしよう.
どの箱を閉じたまま残すかはあなたが決めうる.
勝負のルールはこうだ. もし閉じた箱の中の実数をピタリと言い当てたら，あなたの勝ち. さもなくば負け.
勝つ戦略はあるでしょうか?」

２．続けて時枝はいう
　私たちのやろうとすることはQのコーシー列の集合を同値関係で類別してRを構成するやりかた(の冒頭)に似ている.
但しもっときびしい同値関係を使う.
実数列の集合 R^Nを考える.
s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^Nは，ある番号から先のしっぽが一致する∃n0：n >= n0 → sn＝ s'n とき同値s 〜 s'と定義しよう(いわばコーシーのべったり版).
念のため推移律をチェックすると，sとs'が1962番目から先一致し，s'とs"が2015番目から先一致するなら，sとs"は2015番目から先一致する.
〜は R^N を類別するが，各類から代表を選び，代表系を袋に蓄えておく.
幾何的には商射影 R^N→ R^N/〜の切断を選んだことになる.
任意の実数列S に対し，袋をごそごそさぐってそいつと同値な(同じファイパーの)代表r= r(s)をちょうど一つ取り出せる訳だ.
sとrとがそこから先ずっと一致する番号をsの決定番号と呼び，d = d(s)と記す.
つまりsd，sd+1，sd+2,・・・を知ればsの類の代表r は決められる.
更に，何らかの事情によりdが知らされていなくても，あるD>=d についてsD+1， sD+2，sD+3，・・・
が知らされたとするならば，それだけの情報で既に r = r(s)は取り出せ，したがってd= d(s)も決まり，
結局sd(実はsd，sd+1，・・・，sD ごっそり)が決められることに注意しよう.
(補足)
sD+1， sD+2，sD+3，・・・：ここでD+1などは下付添え字

115(13): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)10:51 ID:DzICE8Th(12/47)調 AAS
３．つづき
問題に戻り，閉じた箱を100列に並べる.
箱の中身は私たちに知らされていないが，とにかく第l列の箱たち，第2列の箱たち第100 列の箱たちは100本の実数列S^1,S^2，・・・，S^lOOを成す(肩に乗せたのは指数ではなく添字).
これらの列はおのおの決定番号をもつ.
さて， 1〜100 のいずれかをランダムに選ぶ.
例えばkが選ばれたとせよ.
s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない.
　第1列〜第(k-1) 列，第(k+1)列〜第100列の箱を全部開ける.
第k列の箱たちはまだ閉じたままにしておく.
開けた箱に入った実数を見て，代表の袋をさぐり， S^1〜S^(k-l),S^(k+l)〜SlOOの決定番号のうちの最大値Dを書き下す.
　いよいよ第k列の(D+1) 番目から先の箱だけを開ける：S^k(D+l)， S^k(D+2)，S^k(D+3)，・・・.いま
　D >= d(S^k)
を仮定しよう.この仮定が正しい確率は99/100，そして仮定が正しいばあい，上の注意によってS^k(d)が決められるのであった.
おさらいすると，仮定のもと， s^k(D+1)，s^k(D+2)，s^k(D+3)，・・・を見て代表r＝r(s~k) が取り出せるので
列r のD番目の実数r(D)を見て，「第k列のD番目の箱に入った実数はS^k(D)＝r(D)と賭ければ，めでたく確率99/100で勝てる.
確率1-ε で勝てることも明らかであろう.
(補足)
S^k(D+l)， S^k(D+2)，S^k(D+3)，・・・：ここで^kは上付き添え字、(D+l)などは下付添え字

116(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)10:54 ID:DzICE8Th(13/47)調 AAS
つづき

ところで、そもそも
時枝問題は、「箱がたくさん，可算無限個ある」から出発している
つまり、デデキント無限（下記）を前提として、可算無限個の箱を、可算無限個の１００列を形成することができるとしている
だから、途中の「R^N」を自分勝手に都合よく引用して、数列が有限の長さと主張することはおかしいだろうよ

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%83%87%E3%82%AD%E3%83%B3%E3%83%88%E7%84%A1%E9%99%90
デデキント無限
(抜粋)
デデキント無限集合であるとは、A と同数（equinumerous）であるようなA の真部分集合B が存在することである。それはつまり、A とA の真部分集合B の間に全単射が存在するということである。
(引用終り)

>>51に引用したように、ヒルベルトの無限ホテルのパラドックスは、デデキント無限集合であって、その真部分集合が全体と同じ濃度（全単射が存在する）だと
それが、カントールの集合論の結論でもある

可算無限個の箱を、１列にならべることは可能だ。列の長さは、可算無限
そこから、可算無限個の１００列を形成することができる。これデデキント無限の結論であり、カントールの集合論の結論でもある
それを使うのが、時枝記事の解法のキモだ

そこを忘れて、自己都合で、決定番号が有限でなければおかしいとか
決定番号の都合から、キマイラ数列が存在しないとか
勝手な主張をしないでほしい

決定番号が有限になるようにとか、キマイラ数列は排除するようにとか、時枝記事の解法の手直しをするのは、そちら（時枝記事の解法の成立を主張する側）の仕事だ

117(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)11:02 ID:DzICE8Th(14/47)調 AAS
つづき

繰り返すが、
１．出発点は、「箱が可算無限個ある」だ
２．そして、「閉じた箱を100列に並べる」だ。箱が可算無限個だったから、各100列も可算無限個。
３．だから、各100列の可算無限個の数列に対する同値類もまた、可算無限個からなる数列の同値類であるべき。
４．単純に、考えれば、キマイラ数列（上記の例 lim(n→∞) π'n=3.14159265358979… 2718281828459… ）が紛れ込む
５．それを数学的に排除するなら、可算無限個の数列の同値類をどう定義するのか？もともとは、”まったく自由”とかいって、制約なしだっただろ？
６．単純な扱いでは、「本末転倒」で「尻尾が頭を振り回す」の図となるよ

くどいが>>51-54で構成した
z ＝ 3.14159265358979…2718281828459… は、”可算無限個”の数からなる数列と考えられる
つまり、数列のキマイラだ。頭がπでしっぽがｅの数列
頭で分類するコーシー列ならなんら問題ない。πに収束する
だが、時枝記事の解法で、しっぽでの分類とか、ましてや決定番号などという怪しいことをするから、「尻尾が頭を振り回す」ということになる
困るのは、尻尾に振り回される時枝記事の解法を支持する側だろ？

ともかく、z ＝ 3.14159265358979…2718281828459… は、可算無限個の数からなる数列だということを、２つ添え字ijを使う>>62 >>65で示したわけだ
だが、世間一般のコーシー列で考えるなら、おれたちなんら困らんよ（＾＾；

時枝記事の解法が成り立たない理由は、主に下記２つ
１）決定番号の確率分布は平均値も標準偏差も存在しない奇妙なものだから、１００列で99/10は導けないこと（大数の法則も、中心極限定理も不成立だよ）
２）しっぽでの分類と決定番号を考えると、単純に考えて、z ＝ 3.14159265358979…2718281828459… のようなキマイラ数列の扱いに困ることになる（可算無限個という単純な規定だけでは不十分で、キマイラ数列を排除する規定を加えないといけないよ）

118: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)11:12 ID:DzICE8Th(15/47)調 AAS
>>110 補足

このproof:の書き方はよくない
院試なら減点だろう

πに収束する数列という結論を、証明の最初に述べている
「πに収束する」は、最後の結論だから

「πに収束する」を先に述べるなら、もっと「結論の予告」ということが明確になるように書くべき
ここは、バカ板できちんと書くのが面倒だから、分かり易さを優先して、厳密な証明スタイルをあえて崩している

良い子はまねしないように・・

119(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)11:16 ID:DzICE8Th(16/47)調 AAS
>>105 若林誠一郎先生関連

ところで、これが落ちていた
若林先生の下記は、従来からのC∞-distributionの枠組みで、cut-offシンボルをもつ擬微分作用素を用いて,解析函数-佐藤超函数の枠組みと同様のことができるという
繰り返すが、超局所解析は、C∞-distributionの枠組みでも可能だと
いま、こっちが世界の主流かも・・・
http://www.math.tsukuba.ac.jp/~wkbysh/cma.pdf
佐藤超函数の空間における古典的超局所解析について (数理解析研究所講究録, 1336, 2003年, pp58-72) 若林誠一郎筑波大 pdf
(抜粋)
解析函数-佐藤超函数の枠組みにおける偏微分方程式の研究においては,代数解析的な取り扱いが主流であって,従来からのC∞-distributionの枠組みにおける方法を適用することは難しいと考えられていた.
C∞-distributionの枠組みにおける最も重要な手法は(微積分学の基本定理の一つの表現である)部分積分であり,これにより得られる種々のエネルギー評価(アプリオリ評価)を用いて,偏微分方程式の研究がなされてきた.
その後,超局所解析的取り扱いにより,偏微分方程式論が大に発展した.C∞-distributionの枠組みにおける超局所解析においては, cut-off函数及びそれをシンボルとする擬微分作用素を用いることができ,これによって問題を容易に超局所化できる.
シンボル・カリキュラス(本質的には部分積分)を適用して,超局所的考察(標準形への帰着等)によりエネルギー評価等を導き,またパラメトリックスを構成することにより,偏微分方程式を研究することが可能になった.
ここで述べたような超局所解析を古典的超局所解析と呼ぶことにする.
解析函数-佐藤超函数の枠組みでの偏微分方程式の研究に古典的超局所解析的手法を用いるために, cut-offシンボルをもつ擬微分作用素を用いて, [4]において古典的超局所解析の基礎を与えた.
すなわち,我々は[4]において, H ?ormander [1]の第IX章及びTreves [3]の第V章の結果を結び付けて,その上に古典的超局所解析を確立した。
(引用終り)

120(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)11:30 ID:DzICE8Th(17/47)調 AAS
>>119 関連

佐藤先生が出てこないので、はてなと思っていたんだ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E5%B1%80%E6%89%80%E8%A7%A3%E6%9E%90
超局所解析

数学の解析学の分野における超局所解析（ちょうきょくしょかいせき、英: microlocal analysis）とは、変数係数の線型および非線型偏微分方程式の研究に関するフーリエ変換に基づく、1950年代以後に発展した技術を伴う解析のことを言う。
超函数や、擬微分作用素、波面集合（英語版）、フーリエ積分作用素、振動積分作用素、パラ微分作用素の研究などが含まれる。

「超局所」（microlocal）という語は、空間内の位置についての局所化のみならず、ある与えられた点の余接空間方向についての局所化を意味する。このことは、次元が 1 よりも大きい多様体に対して、重要な意味を持つ。

外部リンク
lecture notes by Richard Melrose
newer lecture notes by Richard Melrose

https://en.wikipedia.org/wiki/Microlocal_analysis
Microlocal analysis
From Wikipedia, the free encyclopedia

In mathematical analysis, microlocal analysis comprises techniques developed from the 1950s onwards based on Fourier transforms related to the study of variable-coefficients-linear and nonlinear partial differential equations.
This includes generalized functions, pseudo-differential operators, wave front sets, Fourier integral operators, oscillatory integral operators, and pa radifferential operators.

The term microlocal implies localisation not only with respect to location in the space, but also with respect to cotangent space directions at a given point. This gains in importance on manifolds of dimension greater than one.
External links

lecture notes by Richard Melrose
newer lecture notes by Richard Melrose

121: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)11:32 ID:DzICE8Th(18/47)調 AAS
>>120 補足

pa radifferential operators.

で ”pa ra”がｎｇワードらしい
スペース入れたら通った

124: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)12:20 ID:DzICE8Th(19/47)調 AAS
>>122
プロ固定、ageるなって！（＾＾；

125: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)12:22 ID:DzICE8Th(20/47)調 AAS
余談だが
Categories for the Working Mathematician Mac Lane, Saunders 2nd ed 1998
pdfが落ちていて、ダウンロードできた

著作権問題があるから、ＵＲＬはアップしないが・・・（＾＾；

126(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)12:26 ID:DzICE8Th(21/47)調 AAS
手元にあると、圏論の歩き方とか、Awodeyを読むときに便利だね

127(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)12:28 ID:DzICE8Th(22/47)調 AAS
Awodeyは確かに、日本語訳で分からないところがあって、原文読むと分かる場合が多い

128: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)12:43 ID:DzICE8Th(23/47)調 AAS
>>83

> 6. \は元プロ研究者らしいからこいつにだけは媚売っとこうっと

媚売ってどうこうなる人でも無いだろ？
つーか、\さんは、いろんなことを深いところまで知っているし
ルネトムと話をしたとか
「トリビアですが、私は田崎氏のお父様から解析力学の単位を（無試験で）貰いました。」ガロア理論スレ23 2chｽﾚ:math
とか
話は面白いし
まあ、住んでいる世界が私とは全く違ったんだねと思う（＾＾；
確率に関する知識も深いものがあるよね
そこらは、正直深すぎてついていけないところもあるが、興味深い

時枝記事の解法も、\さんもそのままじゃ成立しないと思っているだろうが
確率理論を拡張したらどうなるか？という
正直そこらは、当方は全く歯が立たないがね（＾＾；

129(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)13:32 ID:DzICE8Th(24/47)調 AAS
前スレで層の質問をおっちゃんにした
「任意の前層が表現可能関手の余極限と同型である」は標語だと、どこかに書いてあったね

http://qiita.com/amoO_O/items/f5b1246ca29bc8ff6f69
【圏論メモ】任意の前層が表現可能関手の余極限と同型であることの証明 - Qiita amoO_Oが2016/03/25に投稿(2016/04/10に編集)
(抜粋)
定義
小さい圏

Ob(C),Hom(C)Ob(C),Hom(C) がともに集合であるような圏 CC を小さい圏と呼ぶ。
C上の前層

反変関手 P:C→SetP:C→Set を CC 上の前層と呼ぶ。

※ 米田の補題の記事では関手と同じ FF で表現していたが、他の方の記事を読んでいるとどうも Presheaf（前層）の頭文字をとって PP を使うことが多いようなので、この記事もそれに従う。
→ （追記）米田の補題の記事内、FF を PP に修正

表現可能関手

X∈Ob(C)X∈Ob(C) に対し反変関手
HomC(?,X):C→Set
HomC(?,X):C→Set

及び共変関手
HomC(X,?):C→Set
HomC(X,?):C→Set

を XX の表現可能関手と呼ぶ。ここでは反変関手の方のみ取り扱う。
米田の埋め込み定理より、 AA に HomC(?,A)HomC(?,A) を対応させる関手が元の圏 CC の構造を SetCopSetCop の中に埋め込む。このことを表現可能と言う（らしい。これの何が「表現可能」なのかは勉強不足でいまいちつかめていない。あとで補足するかもしれない。）

証明

どの空間での話なのかに注意する。特に、米田の補題を使って自然変換 α:HomC(?,A)→Pα:HomC(?,A)→P と集合 PAPA の元 aa との同一視を多用する。

(引用終り)

130: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)13:40 ID:DzICE8Th(25/47)調 AAS
米田函手はY:C→SetsCop
これは位相から前層への写像とみることができます。だと
http://myuon-myon.hatenablog.com/entry/2013/05/30/231549
PSh圏とcolimit - Just $ A sandbox 2013-05-30

位相空間Xに対して、X上の前層Fとは、Xの開集合から集合への写像
F(U)(U∈O(X))

(で、かつ制限写像というものが定められているものの)のことです(詳しくは層 (数学) - Wikipedia等を参照)。

ここで、O(X)
に包含関係で順序を入れてこれを順序集合の圏(Cと表記)とみなします。するとFは、
F:Cop→Sets
なる反変函手であって、この函手を対象、函手の間の自然変換を射とするような函手圏SetsCopが定義できます。
(余談ですが、SetsCopは米田の補題でもおなじみの圏です。米田函手はY:C→SetsCop

という函手だったので、これは位相から前層への写像とみることができます。)

こうしてできたXの上の前層の圏をPSh(X)

とかきます。

さらにX上の前層が層であるとは、Xの全ての開集合U
について、既約性条件と閉条件と呼ばれる2つの条件をみたすようなもののことです。これを圏の言葉で書くと、
対象F(U)と射F(U)→ΠiF(Ui)

が\prod_i F(U_i) \Rightarrow \prod_{(i_0,i_1) \in I \times I} F(U_{i0} \times U_{i1})のequalizerである*1といえます。

前層はただの反変函手に過ぎませんがよい性質を持っています。例として次の命題を挙げます。

Def: 函手F:Cop→Sets

が h_X:=\mathscr{C}(-,X) \quad : \quad \mathscr{C}^{op} \to Setsと自然同型であるとき、この函手を表現可能とよぶ。

Prop: 全ての前層は表現可能な前層のcolimitである。

とても面白い性質です！

前層がlimitを持てばequalizerも持つはずなので上のことから自然に層になります。
(またnLabによるとこのcolimitはcoendを使って書くとすっきり表現できるらしいのですが、まだそこまでは理解が追いついていないです。)
参考文献

Stacks Project ? Tag 006D 前層の定義
Stacks Project ? Tag 0071 層の定義
representable functor in nLab 表現可能函手の定義
presheaf in nLab 最後にあげた命題の証明ものってます

*1:ここで⇒は、2本の平行射を表します

135(4): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)19:36 ID:DzICE8Th(26/47)調 AAS
>>131-133
はい、そういう主張があることは認めます
どうぞ、論文にまとめてＰＤＦにして投稿をお願いします
このスレでは、ここまでで良いでしょ

１．>>131 について：時枝記事では、>>114の２にあるように、事前に、可算無限個の数列のある番号から先のしっぽが一致する場合の同値類を類別します。
　そして、事前の同値類と類別と、１００列の数列を比較します。
　問題は、キマイラ数列をどう区別し排除するのか？　時枝記事では、不純数列は排除します。不純数列は入らないようにしますというのですね。どうやって？
　いま、ある数列Ａがあるとする。Ａは可算無限個の数列だ。しっぽの同値類分類をするという。Ａが、キマイラ数列でなく、通常の数列だとどうやって見分けるのか？

２．>>132 について：「Nと2×Nは濃度としては同じですが集合として異なります」は是として、では>>115の３にあるように、”閉じた箱を100列に並べる”という。これはN→100×Nでしょ？
　では、ビデオの逆回しのように、100×N→Nも可能では？ N→100×Nと100×N→Nと両方可能だとします。この文脈で、ぞうぞ”濃度としては同じですが集合として異なります”を数学にしてください

３．>>133 について：意味がわからない。どうぞ、論文にまとめてＰＤＦにして投稿をお願いします

136: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)19:38 ID:DzICE8Th(27/47)調 AAS
>>135 訂正

事前の同値類と類別と、１００列の数列を比較します。
　↓
事前の同値類の類別と、１００列の数列を比較します。

137: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)19:42 ID:DzICE8Th(28/47)調 AAS
「圏論の歩き方」第８章座談会
”下鴨：・・圏自身を代数構造として研究しようという話ですよね。この方向でもっとできることがあるし、またやらなければならない・・・”という発言

これに関連して、∞カテゴリーとか、高次圏、quasi category などがある（下記）
圏論の拡張版だね（＾＾；

https://infinitytopos.wordpress.com/2015/01/30/%E2%88%9E%E3%82%AB%E3%83%86%E3%82%B4%E3%83%AA%E3%83%BC/
∞カテゴリー ? はじまりはKan拡張 2015年1月30日投稿者: infinity_topos

　以前の投稿でも書いたように，近年Jacob Lurieによる∞カテゴリー理論の進展が著しい．しかし，いまだにその理論の基礎を解説する日本語の文章は殆ど見受けられないように思われる．そこで，何回かに分けて，以下でその初歩の部分について解説をしてみようと思う．

●高次圏とは何か
　まず，高次圏の理論について解説しよう．通常の圏は対象と射を持つが，高次圏とはそれに加え”高次の射”を持つ圏の事である．例えば，2-圏とは対象と射に加え「射の射」である2-射を持つもので，3-圏は「2-射の間の射」である3-射を持つものである．
このようにして，n-圏が定義される．そのようなものの最もシンプルな具体例としては，圏の圏Catが挙げられる．圏の圏Catは対象は圏，射は関手に加え，2-射として自然変換がある．

　ここで大切なのが，多くの高次の射を考えるだけではなく，高次の射の同型を考えることだ．例えば，二つの圏が与えられたとき，それらが圏同型である事を要請することは少し強すぎる．通常では圏同値までしか考えない．
二つの圏が圏同値である事は，互いに与えられた関手の合成が恒等関手とならなくとも，恒等関手と自然同値であるという事である．つまり，2-射の同値を無視して同型ということになる．

　このように，n射を持つ圏でr射より高次の射が同型なものとなっているものを(n,r)-圏という．例えば，Catは圏，関手，自然同値によって(2,1)-圏とみなせる．ここで注意したいのが，Lurieの理論で用いられているのは(∞,1)-圏である．つまり，無限に高次の射を持つが，2-射以降はすべて同型であるようなものを構築しているという事である．
つづく

138: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)19:44 ID:DzICE8Th(29/47)調 AAS
つづき
●enriched categoryによるアプローチ
　さて，ここまで明確な定義を与えず高次圏の概念を説明してきたが，実は高次圏の問題はその定義にあった．というのも，多くの手法によって良い定義を与える努力が為されてきたが，あまり上手く行かなかったのである．例えば，古典的なものとしてはenriched category(豊穣圏)を用いた定式化があった．それを軽く説明しよう．

　まず，enriched categoryとは，大雑把にいうとHom集合にある圏Vの対象の構造が入る圏である．例えば，通常の圏はSet-enriched categoryだと考えられる．また，圏の圏CatはHom集合に関手圏としての構造が入る．このことから，次のような定義が与えられた．
　Definition.(strict n-category)
　0-圏をSetとする．n-圏とは(n-1)Cat-enriched categoryの事である．
　
　しかし，このような定義は技術的に非常に扱いずらい問題があった．その理由としては単純に射が多すぎるため，その可換性の条件などが非常に煩雑になるという訳だ．せいぜい2-圏が限界で，3-圏になるととても扱えたものではなかった．このように，多くの情報を扱う分「その情報をいかに簡略化し扱いやすくするか」という事は付随する大きな問題であった．

●∞カテゴリーの3つのモデル
　さて，Lurieの理論に話をもどそう．Higher Topos Theoryにおいて，この”(∞,1)-圏”というアイデアを実現する対象として，ある意味において同値な次の3つのモデルを導入している．

topological category
simplicial category
quasi category

それぞれについて解説しよう．最初の二つはenriched categoryの枠組みを用いる．
　Definition.(topological category)
　topological categoryとは(コンパクト生成ハウスドルフな)位相空間の圏に関するenriched categoryである．
　
つづく

139: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)19:45 ID:DzICE8Th(30/47)調 AAS
つづき

　これは最も説明しやすい．つまり，Hom集合に”空間”の構造が入っているという事である．通常の圏は，離散位相によりtopological categoryとみなすことができ，逆にtopological categoryが与えられればその”Hom空間”のΠ_0をHom集合として取ることにより”ホモトピー圏”を得ることができる．
異なるtopological categoryでも，”Hom空間”がup to homotopicで同型であれば，同じホモトピー圏を与えることが出来るという事である．次のモデルも本質的には変わらない．
　Definition.(simplicial category)
　simplicial categoryとはsimplicial setの圏に関するenriched categoryである．

　simplicial setについては何も説明していないが，実はこれはある意味で「位相空間と同値な空間概念」とみなすことが出来る．
例えば，位相空間の特異コホモロジーはDold-Kan対応によりsimplicial setのコホモロジー論の一部とみることが出来るし，特筆すべきことは位相空間の基本群，ホモトピー群と同値な理論をsimplicial set内で構成する事が出来る．
これらは，特異単体を取る関手と幾何的実現関手により同値にうつりあう．このことから，simplicial categoryがtopological categoryと「同値な枠組み」である事は感覚的に”納得”は出来るだろう．
　
　以上のモデルは比較的その”意味”について納得しやすいものだろう．しかし，Higher Topos Theoryにおいて中心的に扱われるのは，これらではなく次のquasi categoryと呼ばれるものである．
　Definition.(quasi category)
　simplicial set Sがquasi categoryであるとはinner horn inclusion
\displaystyle \{ \Lambda^{n}_{k} \to \Delta^{n} | n\in \mathbb{N}, 0<k<n \} に対して(uniqueとは限らない)Extension Propertyを持つ事をいう．

　この定義は非常に突拍子のない定義のように思われる．まず，そもそも圏ではなく「ある条件を満たすsimplicial set」が∞カテゴリーだというのだ．
また，なぜこの定義を採用する強みは何なのだろうか？さらに，これらのモデルの”同値性”とは何なのだろうか？これらを説明するにはまたもう少しの準備が必要となるため，次回以降の記事において解説しようと思う．
(引用終り)

140: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)19:48 ID:DzICE8Th(31/47)調 AAS
”「分かりやすさと扱いやすさのトレードオフ」は数学の様々な場面で付きまとう問題である．”か。至言かも・・・
https://infinitytopos.wordpress.com/2015/02/10/%e2%88%9e%e3%82%ab%e3%83%86%e3%82%b4%e3%83%aa%e3%83%bciii/
∞カテゴリーIII 投稿日: 2015年2月10日投稿者: infinity_topos
(抜粋)
　前回の二回の投稿で∞カテゴリーの一つのモデルであるquasi categoryについて解説してきた．その話によると，位相空間（の特異単体）や圏はsimplicial setの中でそれぞれ特徴づけを持ち，それらの性質を合わせたものがquasi categoryなのであった．
では，なぜsimplicial setで考える事に意味があるのか，それにはどういった優位性があるのだろうか，と考えるのは自然な疑問だろう．今回はそれに対する一つの答えを与えようと思う．

●Simplicial setの圏論的性質
　まずは，圏論的な性質から考察しよう．これに関しては，simplicial setは位相空間と比べ格段に「良い」性質を持つ事が知られている．というのも，位相空間の圏は性質が悪すぎるのだ．

　例えば，位相空間の圏はカルテシアン閉ではない．つまり，\displaystyle Hom_{\mathsf{Top}}(X\times Y,Z)\cong Hom_{\mathsf{Top}}(X,Z^Y)は成立しない．また，2つのCW複体\displaystyle X,Yの直積空間\displaystyle X\times YにCW複体の構造が入るとは入らない．
これらの問題は，前者は\displaystyle Yが局所コンパクト，後者は片方の空間が局所コンパクトなら実は成立する．しかし，では局所コンパクト空間のみ考えればよいかといえば，今度は局所コンパクト空間の圏\displaystyle \mathsf{LocCpt}は余極限について閉じない．

　このように，何かを求めれば何かを失うといったところで，圏論的にも扱いやすい位相空間のクラスを見つけるという事は半世紀ほど前の一つの問題であった．そこでSteenrodのA convenient category of topological spacesなどで提案されてきたのが，コンパクト生成空間だ．
詳細は述べないが，このクラスにおいては余極限は変わらないが，ケリー化と呼ばれる通常と少し異なる直積位相を用いる．実はそれにより，前の二つの問題はどちらとも解決される．topological categoryの定義でコンパクト生成ハウスドルフ空間を用いるのも，実はこのような圏論的な要請が関連している．
つづく

141: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)19:49 ID:DzICE8Th(32/47)調 AAS
つづき
　話をsimplicial setに戻そう．位相空間の圏と異なり，simplicial setの圏は非常に良い圏論的な性質を持つ．それは，この圏が関手圏\displaystyle \mathsf{Set}^{\Delta^{op}}に他ならないため，\displaystyle \mathsf{Set}から多くの良い性質を引き継げる事に多くを起因する．
例えば，\displaystyle \mathsf{Set}_{\Delta}は完備かつ余完備で，カルテシアン閉でもある．また，関手圏なので極限や余極限はsectionwiseに\displaystyle \mathsf{Set}内で求めればよい．更に，これは棚から牡丹餅とも言えるが，前層の圏なので特に(Grothendieck) toposになっている．
そこで，topos理論などの少々高等な圏論を用いる事も出来る．必ずしもこれら全ての性質を使うとは限らないが，なんといっても使える手が多いのだ．

●抽象化の力
　しかし，この説明にはかなり不満も多いだろう．というのも，位相空間にはイメージのしやすさという明確な優位性がある．少々simplicial setの圏の性質が良かったところで，少なくとも位相空間に関する事は位相空間内で考えるほうが「分かりやすい」だろう．
これは圏に関してもそうだ．ある程度，圏論のイメージを掴んでいる人なら，Nerveを取らなくとも通常の圏のまま扱う方が分かりやすいに決まっている．
　
　その感覚は正しいだろう．では，わざわざなぜsimplicial setで考えるのか？それを説明するために，一つの例としてgroupoidを値に持つ(co)fibered categoryを挙げてみようと思う．古典的には，これには同値な二つの定義がある．（例えばSGA1を参照されたい．）
　Definition1.(cofibered category)
　\displaystyle D上のcofibered categoryとは2-関手\displaystyle \phi :D \to \mathsf{Grpd}の事である．

　2-関手とは関手性がup to isomorphismでしか成立しないという事を意味する．もう一つの定義はいささか複雑になる．
つづく

142: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)19:50 ID:DzICE8Th(33/47)調 AAS
つづき
　Definition2.(cofibered category)
　\displaystyle D上のcofibered categoryとは関手\displaystyle F:C\to Dで
　(1) すべての\displaystyle c\in ob(C)とすべての射\displaystyle \eta:F(c)\to dに対して，ある射\displaystyle \tilde{\eta}:c\to \tilde{d}が存在して\displaystyle F(\tilde{\eta})=\etaが成立する，
　(2) すべての射\displaystyle (\eta:c\to c')\in Mor(C)と対象\displaystyle c''\in ob(C)に対して
\displaystyle Hom_{C}(c',c'')\to Hom_{C}(c,c'')\times_{Hom_{D}(F(c),F(c''))}Hom_{D}(F(c'),F(c''))は全単射，を満たすものをいう．

　これらの同値性はGrothendieck構成によって得られる．
　Theorem.(Grothendieck construction)
　圏同値\displaystyle \int :\mathsf{Fun}(D,\mathsf{Grpd})\cong \mathsf{Cofib}^{\mathsf{Gprd}}(D)が存在する．

　圏同値なのならどちらも同じかと思うかもしれないが，そういう訳ではない．前者は一見シンプルで分かりやすいが，2-圏的な対象であるという難しさがある．それに比べ後者は少々複雑な条件が伴うが，2-圏的な要素を排除する事に成功している．このような「分かりやすさと扱いやすさのトレードオフ」は数学の様々な場面で付きまとう問題である．
　
(引用終り)

144: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)19:53 ID:DzICE8Th(34/47)調 AAS
https://infinitytopos.wordpress.com/2015/02/15/%e2%88%9e%e3%82%ab%e3%83%86%e3%82%b4%e3%83%aa%e3%83%bciv/
∞カテゴリーIV 投稿日: 2015年2月15日投稿者: infinity_topos
(抜粋)
　前回の投稿で予告したように，simplicial setの持つ様々な帰着原理について紹介しよう．

●米田、余完備、Kan拡張
　さて，まず比較的一般性の高い事実から始めよう．simplicial setの圏\displaystyle \mathsf{Set}_\Deltaは前層の圏である．そこで，前層に一般的に成立する次の基本的な定理を復習しよう．
　Theorem.
　任意の前層\displaystyle P\in \mathsf{Set}^{C^{op}}は表現可能関手の余極限\displaystyle \varinjlim_{y\downarrow P} Hom(-,c_i)と同型である．

　
証明はMacLaneなどを参照されたい．index categoryの定義を述べていないが，とりあえず「任意の前層は表現可能関手の余極限で表される」と標語的に覚えておこう．以下では単に\displaystyle P\cong \varinjlim Hom(-,c_i)と表す．
　
　さて，実はこの定理から次の興味深い事実が成立する．
　Theorem.(Adjoint principle)
　\displaystyle C,Dを圏とし，関手\displaystyle f:C\to Dが与えられているとする．このとき，\displaystyle Dが余完備ならば，関手fの拡張\displaystyle F:\mathsf{Set}^{C^{op}}\to Dが存在する．また，Fには右随伴関手Gが存在する．

　これらF,Gはexplicitな構成を持つ．

\displaystyle F(P)=F(\varinjlim Hom(-,c_i)):=\varinjlim f(c_i)
\displaystyle G(d):=Hom_{D}(f(-),d)

これらが互いに随伴になることは容易に示される．実は\displaystyle C=\Deltaの場合に今までに出てきた随伴はこの具体例である。
(引用終り)

145: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)19:56 ID:DzICE8Th(35/47)調 AAS
東京工業大学藤田知未ちゃん、卒業したんやろね
http://pantodon.shinshu-u.ac.jp/seminars/spring_school/2014
代数的トポロジー信州春の学校第3回 (2014年度)
開催日: 2015年3月3日 (火)〜6日 (金) (4日間)
場所: 信州大学理学部 (講義:第一講義室)
内容: ∞圏の基礎とそのいくつかの応用に関する講義とその準備のための勉強会の2本立て。

Higher category の構造とホモトピーの関係を理解し, ∞圏の定義にホモトピー論の言葉を用いることに納得すること。
3月4日以降の講義で用いられる単体的集合とモデル圏の言葉に慣れること。

これらの内容を7人の人で分担して話してもらいました。

3月3日
13:00〜14:00 勉強会 (1) 単体的集合とそのホモトピー (埼玉大学飛嶋健司)
14:20〜15:20 勉強会 (2) Nerve functor について (中央大学狩野隼輔)
15:40〜16:40 勉強会 (3) 単体的集合と位相空間 (名古屋大学鈴木直矢)
17:00〜18:00 勉強会 (4) モデル圏の基本 (東京大学佐藤玄基)
3月4日
9:00〜10:00 勉強会 (5) Cofibrantly generated model structures (東京大学若月駿)
10:20〜11:20 勉強会 (6) Quillen による単体的集合の圏のモデル構造 (東京工業大学藤田知未)
11:40〜12:40 勉強会 (7) Joyal による単体的集合の圏のモデル構造 (東京大学吉田純)

講義録: 北海道大学D2 (当時) の劉君が, 取ったノートを送ってくれました。ここからダウンロードできます。
http://pantodon.shinshu-u.ac.jp/downloadables/spring_school/lecture_note3_by_Liu.pdf

146: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)19:56 ID:DzICE8Th(36/47)調 AAS
http://surgery.matrix.jp/math/2008stg/slides/minami_slides.pdf
Lurie's quasi category theory 変換群論シンポジュウム報告集. 南範彦. (名古屋工業大学) 2008

147: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)19:57 ID:DzICE8Th(37/47)調 AAS
https://en.wikipedia.org/wiki/Quasi-category
Quasi-category

It has been suggested that (∞,1)-category be merged into this article. (Discuss) Proposed since January 2016.
In mathematics, a quasi-category (also called quasicategory, weak Kan complex, inner Kan complex, infinity category, ∞-category, Boardman complex, quategory) is a generalization of the notion of a category. The study of such generalizations is known as higher category theory.

Quasi-categories were introduced by Boardman & Vogt (1973). Andre Joyal has much advanced the study of quasi-categories showing that most of the usual basic category theory and some of the advanced notions and theorems have their analogues for quasi-categories.
An elaborate treatise of the theory of quasi-categories has been expounded by Jacob Lurie (2009).

Quasi-categories are certain simplicial sets. Like ordinary categories, they contain objects (the 0-simplices of the simplicial set) and morphisms between these objects (1-simplices). But unlike categories, the composition of two morphisms need not be uniquely defined.
All the morphisms that can serve as composition of two given morphisms are related to each other by higher order invertible morphisms (2-simplices thought of as "homotopies"). These higher order morphisms can also be composed, but again the composition is well-defined only up to even higher order invertible morphisms, etc.

The idea of higher category theory (at least, higher category theory when higher morphisms are invertible) is that, as opposed to the standard notion of a category, there should be a mapping space (rather than a mapping set) between two objects.
This suggests that a higher category should simply be a topologically enriched category. The model of quasi-categories is, however, better suited to applications than that of topologically enriched categories, though it has been proved by Lurie that the two have natural model structures that are Quillen equivalent.

148: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)19:59 ID:DzICE8Th(38/47)調 AAS
https://en.wikipedia.org/wiki/Simplicial_set
Simplicial set
From Wikipedia, the free encyclopedia

In mathematics, a simplicial set is a construction in categorical homotopy theory that is a pure algebraic model of the notion of a "well-behaved" topological space.
Historically, this model arose from earlier work in combinatorial topology and in particular from the notion of simplicial complexes. Simplicial sets are used to define quasi-categories, a basic notion of higher category theory.

History and uses of simplicial sets

Simplicial sets were originally used to give precise and convenient descriptions of classifying spaces of groups. This idea was vastly extended by Grothendieck's idea of considering classifying spaces of categories, and in particular by Quillen's work of algebraic K-theory.
In this work, which earned him a Fields Medal, Quillen developed surprisingly efficient methods for manipulating infinite simplicial sets.
Later these methods were used in other areas on the border between algebraic geometry and topology. For instance, the Andre-Quillen homology of a ring is a "non-abelian homology", defined and studied in this way.

Both the algebraic K-theory and the Andre-Quillen homology are defined using algebraic data to write down a simplicial set, and then taking the homotopy groups of this simplicial set. Sometimes one simply defines the algebraic K {\displaystyle K} K-theory as the space.

In recent years, simplicial sets have been used in higher category theory and derived algebraic geometry. Quasi-categories can be thought of as categories in which the composition of morphisms is defined only up to homotopy, and information about the composition of higher homotopies is also retained.
Quasi-categories are defined as simplicial sets satisfying one additional condition, the weak Kan condition.

149(5): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)20:58 ID:DzICE8Th(39/47)調 AAS
>>143

R^NのＮの定義と決定番号の集合をどう考えるか？
その定義と、無限定な時枝記事の「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.」>>114
「問題に戻り，閉じた箱を100列に並べる.」>>115
との整合性が求められる

これは、>>135に書いたように、N→100×Nと100×N→Nと両方可能だろうと
この文脈でR^NのＮの定義と決定番号の集合をどう考えるか？

当然、Ｎは>>106引用の可算無限集合
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E7%AE%97%E9%9B%86%E5%90%88
(抜粋)
定義
可算集合とは N と濃度が等しい集合のことである。すなわち、集合 S が可算であるとは、自然数全体の集合 N との間に全単射が存在することをいう。
(引用終り)

にあるとおり、Ｎは自然数全体の集合であり、可算無限集合そのもの
それは、>>116に引用したデデキント無限と考えれば、>>51に引用したヒルベルトの無限ホテルのパラドックスが成立するから、話はあう

では、決定番号の集合は？　決定番号の集合をＫとしよう。
任意のｎ∈Ｎに対し、必ずｎ∈Ｋとできる。
∵ある無限数列、a=(a1,a2,・・・,an-1,an,a+1,*****)に対し、a'=(a1,a2,・・・,bn-1,an,a+1,*****) (つまりan-1≠bn-1で、 *****はしっぽの一致を表す)
　 aの同値類で、a'を代表とすれば、決定番号はｎで、ｎ∈Ｋ

なので、Ｎ→Ｋの単射が存在するから、Ｎ⊆Ｋ
つまり、Ｎが可算無限を認めるなら、Ｋは可算無限

決定番号の集合が、可算無限集合を認めるならば、決定番号は必ず有限は言えないだろう
（そう言いたいのは分かるが、それと、N→100×Nとは両立しないよ）

151(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)21:09 ID:DzICE8Th(40/47)調 AAS
>>149 補足

>>149はそもそも>>143の(1)決定番号が有限の値の場合に対する批判だが
（つまり、（キマイラでない）通常の数列の場合でも、必ず有限とは言えない）

”(2)決定番号が無限大になった場合
決定番号より小さい添字を持つ数列はN1であるから数列A=N1(+)N2から通常の数列N1を得ることができる
N1を用いて決定番号を求めれば有限の値が得られる”

も意味わからん

152(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)21:12 ID:DzICE8Th(41/47)調 AAS
>>150

ああ、そうだね
間違いだね
言い直そう

Ｋは可算無限、Ｎと同じく可算無限
それで話は合うだろ？

153(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)21:21 ID:DzICE8Th(42/47)調 AAS
>>152 補足

コンパクト性定理があるから（下記）、超準自然数系を考えても良いが、いまはそれは仮定していないからね
普通の自然数に無限大自然数は含まれないね

http://d.hatena.ne.jp/m-hiyama/20051207
2005-12-07 - 檜山正幸のキマイラ飼育記
(抜粋)
●コンパクト性定理

モデル論の「コンパクト性定理」とは、論理式の集合Aがモデルを持つかどうかに関する主張である。

・Aの任意の有限部分集合がモデルを持つ ⇔ Aがモデルを持つ

これは、Aが有限のときは面白くない。論理式の無限集合に対して成立するのがすごいところだ。

論理式の集合が「矛盾する」とはモデルを持たないことだと“定義”すれば、コンパクト性定理は次のことを言っている。

・Aが矛盾する ⇔ Aの有限部分集合で矛盾するものがある

つまり、矛盾が生じる原因が「公理が無限個だから」ということではなくて、無限のなかの有限個で既に矛盾が生じているのである。矛盾の原因を有限個の論理式として（超越的／原理的には）特定できることになる。

応用としては、例えば、普通の自然数に加えて無限大自然数をたくさん（ものすごくたくさん）入れても、矛盾なく自然数概念が定義できる（モデルが存在する）、とかを示せる。こうしてできるモデルは、超準自然数系だが、実際に構成するにはウルトラフィルター／ウルトラ積を使う。

コンパクト性定理そのものを示すにもウルトラフィルターを使ったと思う。チコノフの定理も確かウルトラフィルターを使う証明があったような気がする（記憶が曖昧）。コンパクト性はウルトラフィルターで表現するのが自然なのかもしれない。
(引用終り)

156(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)21:41 ID:DzICE8Th(43/47)調 AAS
>>149-153

まあ、ここら時枝記事の>>114-116
けっこうはちゃめちゃなことをやっている

可算無限個の箱を、仮に１列にならべる
　↓
可算無限個の箱を、仮に１００列にならべかえる
　↓
可算無限個の数列を、しっぽで同値類分類
　・
　・

「しっぽで同値類分類」って、なにそれ？　という感じでね

まあ、puzzleとしては面白いよね

でもまあ、ここらで終わりでいいでしょ

160(5): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)23:00 ID:DzICE8Th(44/47)調 AAS
>>155

Ｋは可算無限、Ｎと同じく可算無限
それで話は合うだろ？

ここ（>>149）で言っていることは、決定番号の集合Ｋは数列の長さＮから影響を受けるということ
例えば、簡単にZ^Nで考えよう（Z^N⊂R^N。(本当は正整数で済むが、N^Nでは混乱するから）)

>>110でしたように、πを少数展開して、可算無限長の数列を考えよう。πから小数点を抜いた数列を作る。それをs(π)とする
s(π)∈Z^Nを認めるとしよう　∵πは超越数だから

>>110でしたように、lim(n→∞) π'n=a1. a2a3a4a5・・・an +e/10^n＝3.14159265358979… 2718281828459…を示した。e＝ 2.718281828459…だ
ここで、e＝ 2.7に変更とすると、同様にlim(n→∞) π'’n=a1. a2a3a4a5・・・an +e/10^n＝3.14159265358979… 27　が得られる。これから得られる数列をAとしよう
e＝ 1.7に変更とすると、同様にlim(n→∞) π'''n=a1. a2a3a4a5・・・an +e/10^n＝3.14159265358979… 17　が得られる。これから得られる数列をBとしよう

最後の数字７が一致しているから、同値で A〜B。そこで、Aの同値類の代表をBと仮定する
100列のうちの一つの数列として、e＝ 3.7に変更したとして、同様にlim(n→∞) π''''n=a1. a2a3a4a5・・・an +e/10^n＝3.14159265358979… 37　が得られる。これから得られる数列をCとしよう
数列Cと代表Bの比較で、… 37と… 17とで、違いは、3と1のところだけ
とすると、決定番号がどうなるか？　πは超越数で無限桁だということを認めるとどうなる？

なにが言いたいかというと、Z^NにおけるＮの集合の性質が、決定番号の集合Ｋに反映されるということ
だから、決定番号を暴れないように大人しく扱いたいと思ったら、その前の数列Z^Nを規制しないとうまく行かないよと

lim(n→∞) π''''n=a1. a2a3a4a5・・・an +e/10^n＝3.14159265358979… 37のような数列は含まれないようにしたい？
どうぞ、お願いします

lim(n→∞) π''''n=a1. a2a3a4a5・・・an +e/10^n＝3.14159265358979… 37のような数列は含まれないようにすれば、決定番号は大人しく有限で治まるでしょ
それが可能かも知れないということは否定しないよ

簡単ではない気がするけどね・・
私は面倒だから、逆らわないようにしますよ（＾＾；

161: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)23:01 ID:DzICE8Th(45/47)調 AAS
>>157-159
はいはい、論文書いてね
１００年まっているよ（＾＾；

163: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)23:04 ID:DzICE8Th(46/47)調 AAS
>>157
おいおい、ageるな！　このプロ固定やろう！

164(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)23:05 ID:DzICE8Th(47/47)調 AAS
>>162
「普通の数列」と「変な数列」と
うまく定義できれば良いね
論文書いてね
１００年まっているよ（＾＾；

上下前次1-新書関写板覧索設栞歴

ｽﾚ情報赤ﾚｽ抽出画像ﾚｽ抽出歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ

ぬこの手ぬこTOP 0.048s