[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む8 (779ﾚｽ)
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217(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2013/05/09(木)05:45 AAS
前スレ引用
http://desktop2ch.tv/math/1349469460/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む7
604
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2013/03/28 06:40:35
>573
ABC予想入門 著者 黒川信重≪東京工業大学教授≫／小山信也≪東洋大学教授≫著
の中の多項式版ABC定理の証明が、分かりやすい。（>51の塩田 徹治の証明とほぼ同じだが、もう少し詳しく書いてある）
要は、a+b=c a,b,cは互いに素
として、微分を使ってa'/aを作ると、a'/a=Σ(l/(x-α)) 但し、a=Π(x-α)^l ( "l"は小文字のエルで、Σは和、Πは積で細かい説明は、著書を見よ)となる
a'/a=Σ(l/(x-α))がミソで、同じことをb'/b、c'/cで行って、この分母を集めると、rad(abc)が出る
ここが、多項式版ABC定理の本質
（引用おわり）
218: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2013/05/09(木)06:11 AAS
http://d.hatena.ne.jp/hiroyukikojima/20121215/1355577195
hiroyukikojimaの日記 2012-12-15
今日は、数学啓蒙書の紹介だ。それは、黒川信重『リーマン予想の探求〜ABCからZまで』技術評論社。これは、リーマン予想研究の日本における第一人者である黒川先生の最新作である。
リーマン予想の探求 ~ABCからZまで~ (知りたい! サイエンス)
作者: 黒川信重
出版社/メーカー: 技術評論社
発売日: 2012/11/30
「付録」において、ABC定理の証明が、複素係数多項式バージョンと一般の体を係数とする多項式バージョンの両方で載っている。
（引用おわり）
このP137のABC定理多項式バージョンの証明の式変形が見事
a+b=c
f=a/c, g=b/cとして
f+g=1を微分して、f'+g'=0。これを(f'/f)f+(g'/g)g=0と変形する
要するに、f'/f、 g'/gをつくる
-(f'/f)/(g'/g)=g/f=b/a
ここで、f'/f=((a'c-ac')/c^2)(c/a) (注：右辺((a'c-ac')/c^2)はfの微分、(c/a)=1/f)
だから、f'/f=a'/a-c'/cが出る
同様に、g'/g=b'/b-c'/cが出る
ここから、rad(abc)が出る>>217
219: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2013/05/09(木)06:31 AAS
b/a=-(f'/f)/(g'/g)=(rad(abc)(a'/a-c'/c))/(rad(abc)(b'/b-c'/c)) (注：分母分子にrad(abc)を掛ける)
>>217にあるようにa'/a=Σ(l/(x-α))。以下b'/b、c'/cも同じように、分母が１次の分数式の和になる
よって、分子(rad(abc)(a'/a-c'/c))と分母(rad(abc)(b'/b-c'/c)) とはいずれも、多項式になる（正確にはrad(abc)から次数が１下がった多項式）
b/aが互い素だから、bの式の次数≦(rad(abc)(a'/a-c'/c))の次数、aの式の次数≦(rad(abc)(b'/b-c'/c))の次数となる
deg(a)≦deg(rad(abc)(b'/b-c'/c))=deg(rad(abc))-1<deg(rad(abc)) (注：deg(a)は、aの次数)
同様に
deg(b)<deg(rad(abc))
cについては、a+b=cより、deg(c)≦max(deg(a), deg(b)) <deg(rad(abc))
これで、多項式版のABC定理が出る
rad(abc)を出してくるところと、微分を使ってb/aを(rad(abc)(a'/a-c'/c))と(rad(abc)(b'/b-c'/c)) との評価に持ち込む式変形が見事
分かりやすい
221(1): 2013/05/09(木)21:25 AAS
>>217
>多項式版ABC定理の本質
2次正則行列でABC定理(or 予想)の類似を考えるとどうなるのか考察
してみましょう。多項式版と本質的に何が異なるのでしょう？
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