Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73 (668ﾚｽ)
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1: １３２人目の素数さん [] 2025/07/20(日) 17:27:32.00 ID:JxJPBISF

（前“応援”スレが、1000又は1000近くになったので、新スレ立てる）
前スレ：Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 72
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1721915133/
詳しいテンプレは、下記旧スレへのリンク先ご参照
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 52
://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1613784152/1-13
＜IUT最新文書＞
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/
望月新一＠数理研
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%9A%9B%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%92%E3%83%9F%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
宇宙際タイヒミュラー理論
＜新展開＞
・2025年5月、中国の若手数学者の周中鵬はフェルマーの最終定理の一般化がIUT理論から得られると発表した https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%9A%9B%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%92%E3%83%9F%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
・日仏遠アーベル共同研究 Arithmetic & Homotopic Galois Theory IRN https://ahgt.math.cnrs.fr/activities/
://www.sankei.com/article/20240402-WNUUSYIAO5PRVNCBQSEEUETGMU/
産経 2024/4/2
宇宙際タイヒミューラー理論を提唱、望月新一氏らに賞金１０万ドル
同理論の発展に重要な貢献を果たした論文の執筆者に贈られる「ＩＵＴｉｎｎｏｖａｔｏｒ賞」の最初の受賞者として望月氏ら５人が選ばれ

://www3.nhk.or.jp/news/html/20230707/k10014121791000.html
NHK 数学「ABC予想」新たな証明理論の研究発展させる論文に賞創設 20230707
研究を発展させる論文を対象に、100万ドルの賞金を贈呈する賞が国内のIT企業の創業者によって創設されることになりました
▽新たな発展を含む論文を毎年選び、最大で賞金10万ドル
▽理論の本質的な欠陥を示す論文を発表した最初の執筆者に対しては100万ドル

://ahgt.math.cnrs.fr/activities/
Anabelian Geometry and Representations of Fundamental Groups. Oberwolfach workshop  MFO-RIMS   Sep. 29-Oct. 4, 2024
Org.: A. Cadoret, F. Pop, J. Stix, A.. Topaz
（J. Stixさん、IUT支持側へ）

://collas.perso.math.cnrs.fr/documents/Collas-Anabelian%20Arithmetic%20Geometry-IUT.pdf
“ANABELIAN ARITHMETIC GEOMETRY - A NEW GEOMETRY OF FORMS AND NUMBERS: Inter-universal Teichmüller theory or “beyond Grothendieck’s vision” Benjamin Collas Version 11/15/2023”

このスレは、IUT応援スレとします。番号は前スレ43を継いでNo.44からの連番としています。
（なお、このスレは本体IUTスレの43からの分裂スレですが、実は 分裂したNo43スレの中では このスレ立ては最初だったのです！
つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/1

571: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/12(火) 06:36:14.54 ID:Wz/RxMvE

>>568-569
(引用開始)
＞例:
＞実数の区間 を考えてみましょう。
＞この区間の部分集合として、{1/2, 1/3, 1/4, ...} を考えると、この部分集合には最小元が存在しません。
＞このように、実数の部分集合には、最小元を持たないものが存在するため、実数全体を整列順序で並べることはできません。
上記は「実数の順序が整列順序でない」ことを示すのみであって、
実数全体の集合に、実数の順序と異なる整列順序をいれることができない、
という主張の証明ではない。
選択公理により、実数全体の集合の、空でない部分集合に対して、その代表元を選択する関数が存在する。
(引用終り)

ふっふ、ほっほ、それな
下記
　>>509
>なにおまえ　たてつく気？
>じゃあ実数の整列順序示せ　好きなように整列できるんだろ？
>>520
>倒錯していてもこころが歪んでてもなんでもいいから早く実数の整列順序示してよ
>イッチョマエの台詞はその後に吐いてね

とほざいていた ID:MtMWibfm くんに言ってあげてねｗ
なお、>>499の 2017春(首都大東京) 薄葉季路（早大理工） 集合論の宇宙 -UniverseとMultiverse- (企画特別)
発表スライド『集合論の宇宙　Universe と Multiverse』
https://www.mathsoc.jp/meeting/kikaku/2017haru/2017_haru_usuba-p.pdf
における Multiverseの視点からは

１）フルパワー選択公理を持つ ZFC公理系内では 実数の整列順序 は、存在する
　このとき、人は可能な限りの任意の整列順序を示すことが可能
　例えば、先頭に好きなr1,r2,r3,・・と並べて 残りを 選択公理にお任せとか
　あるいは、任意の途中に 上記のr1,r2,r3,・・と並べて 残りを 選択公理にお任せとか
　最初に 有理数のみを整列させて その後に無理数の集合を整列させるとか
　それらを、何度でも繰り返して良い
２）別の宇宙で フルパワー選択公理を否定して
　例えば、可算選択公理に制限したら？
　そのときは、実数を整列させることは不可能だ

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
選択公理
選択公理の制限
選択公理は上のように様々な結論を導く強い公理になっている。選択公理に条件を課して、より弱い公理としたものが研究されている。
・可算選択公理

・従属選択公理
など

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/571

579: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/12(火) 10:29:04.00 ID:aPIgSDun

>>573-576
ふっふ、ほっほ
分かってないね

１）実数Rの整列において、人は 思いつく限り、想像できる限り、能力の限りの勝手気ままが可能だよ
　例えば、区間[0,1)の実数を整列させ、次に区間[1,2)の実数を整列させ、残りはお任せとか
　あるいは、自分の知る限りのri∈Rをすきに整列させ、残りはお任せとか
２）この ”勝手気まま”の部分は、人の数学能力による制約であって
　未来の人類の数学能力が上がれば 勝手気ままの範囲はどんどん広くなるんだ
３）すべてを ”勝手気まま”にできないのは、結局は 人の数学的能力の制限から来る
　例えば、実数r∈R を具体的に構成できないのだし
　やっていることは、コーシー列とか デデキント切断とか
　抽象的なことであって、全く具体的ではないよね
４）例えば、下記 超越数
　”円周率πやネイピア数 e の大抵の和、積、べき乗は、有理数であるのか無理数であるのか超越的であるのか否かは証明されていない”
　こような様（ざま）では、有理数でさえ 具体的な整列は不可能
　∵ 有理数の集合Qが 構成的でないから、e+π,e-π,eπ を整列に含めるか否かが決まらない！
５）だから、現状で 人類の数学能力を超えた部分が出てくるので そこは公理を置くしかない
　公理を設定して 先に進むしかないのだよ。それが 数学公理の意味なのさｗｗ　；ｐ）

追伸
自然数Nの中の小さな集合
素数の集合でも同じことがおきている
つまり、素数を 2,3,5,7,11,・・・ と これを可算無限個 全部 列記し整列する能力があれば
リーマン予想は解決できるだろうｗｗ
なぜならば、リーマン予想は素数の分布と密接に結びついているよｗｗｗ　；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%95%B0
超越数
超越数かどうかが未解決の例
e+π,e-π,eπ・・・などの 円周率πやネイピア数 e の大抵の和、積、べき乗は、有理数であるのか無理数であるのか超越的であるのか否かは証明されていない

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/579

580: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/12(火) 10:55:02.37 ID:aPIgSDun

>>579 補足
>素数を 2,3,5,7,11,・・・ と これを可算無限個 全部 列記し整列する能力があれば

そういえば、素数間隔の話があったね（下記）
張益唐に、ジェームズ・メイナード
ジェームズ・メイナードは、2022年にフィールズ賞をゲット

こんなのは、結局は 人類の能力の限界なんだわ
可算無限個の素数をすべて列挙して 素数の集合を確定させる能力があれば

素数をすべて、普通の大小関係で並べて、二つの素数間隔を全部調べることができれば、なんということもないｗ
だが、人は可算無限個の素数をすべて列挙する能力（それは 整列させる能力と同じ）がない
だから、「ジェームズ・メイナード、 あんたはえらい！ フィールズ賞だ！！」となったのですｗ　；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0%E3%81%AE%E9%96%93%E9%9A%94
素数の間隔（prime gap）は、連続する2つの素数の差。gn もしくは g(pn) で表される n 番目の素数の間隔は、n + 1 番目の素数と n 番目の素数の差である。
さらなる結果
上限
1896年に証明された素数定理は、十分大きい素数では素数pと次の素数との間の間隔の平均長は漸近的にln(p)に近づくという内容である。
2013年、張益唐は
lim inf n→∞gn<7⋅10^7,
を証明した。これは70 000 000を超えない間隔が無限にあるという意味である[21]。
張の境界を最適化するPolymathプロジェクトの共同作業により、2013年7月20日に境界を4680まで下げることに成功した[22]。
2013年11月、ジェームズ・メイナードはGPYふるいを新たに改善したものを導入し、境界を600まで下げ、任意のmについて、それぞれがm個の素数を含む解釈が無限である境界間隔が存在することを示した[23]。メイナードの考えを用いて、Polymathプロジェクトは境界を246に改良した[22][24]。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B8%E3%82%A7%E3%83%BC%E3%83%A0%E3%82%BA%E3%83%BB%E3%83%A1%E3%82%A4%E3%83%8A%E3%83%BC%E3%83%89
ジェームズ・メイナード（James Maynard, 1987年6月10日 - ）
2022年、フィールズ賞を受賞[4]。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/580

610: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/13(水) 16:30:27.48 ID:ZWqlQsZq

>>609
踏みつけたゴキブリが、うごめいているｗ
踏みつけられて悔しいか？ｗｗ　；ｐ）

１）「選択公理」は、整列可能定理と等価だという（ja.wikipedia）
　”どれも空でないような集合を元とする集合（すなわち、集合の集合）があったときに、それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができるというものである”
　任意無限集合Aにおいて、ある元a1を取出し残りをA1とする。次に A1から元a2を取出し残りをA2とする。これを可算or非可算任意の無限繰返せる
　取り出した a1,a2,・・を 可算or非可算任意の無限繰返せば、全ての元の整列ができる
　略証は こんな感じだ
　本格的な証明は en.wikipedia ”Well-order”と”Zorn's lemma implies the axiom of choice”を 百回音読せよｗ
２）さて、任意無限集合Aで 人は 好きに（任意に） 元 a1,a2,・・を取り出して並べていい
　集合Aで残りの部分に、整列可能定理を適用すれば それで済む、それで 集合Aの整列になる
３）>>601 ポール・コーエンの証明は、選択公理ではない（下記のja.wikipedia 選択公理 歴史 を百回音読せよｗ）
　コーエンの証明は、連続体仮説についてだよ（下記のja.wikipedia 連続体仮説 歴史 を百回音読せよｗｗ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
選択公理
選択公理（英: axiom of choice、選出公理ともいう）とは公理的集合論における公理のひとつで、どれも空でないような集合を元とする集合（すなわち、集合の集合）があったときに、それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができるというものである。
平行線公準以来、もっとも議論された公理である[2]
選択公理と等価な命題
整列可能定理
任意の集合は整列可能である。
ツォルンの補題
順序集合において、任意の全順序部分集合が有界ならば、極大元が存在する。（実際の数学では、この形で選択公理が使われることも多い。）
比較可能定理
任意の集合の濃度は比較可能である。
略
応用
選択公理、もしくはそれと同値な命題を適用することで、以下を示すことができる。
可算集合の可算個の和は可算である
任意の無限集合は可算集合を含む
ルベーグ非可測集合の存在
全ての体には代数的閉包が存在する。
歴史
集合論の創始者ゲオルク・カントールは、選択公理を自明なものとみなしていた
しかし、ツェルメロによる整列可能定理の証明に反論する過程で、エミーユ・ボレル、ルネ＝ルイ・ベール、アンリ・ルベーグ、バートランド・ラッセルなどが選択公理の存在に気付き、新たな公理と認識されるようになった
クルト・ゲーデルとポール・コーエンによって、ZF（ツェルメロ＝フレンケルの公理系）から独立であること（ZFに選択公理を付け加えても矛盾しないが、ZFから選択公理を証明することはできない）が示された。これは集合論研究における大きな成果であろう
ZFに一般連続体仮説を加えると選択公理を証明できることが知られている。これは、1926年にアドルフ・リンデンバウム（英語版）とアルフレト・タルスキが示したが証明は散逸したとされる。同内容を1943年にヴァツワフ・シェルピニスキが再発見し1947年に出版した

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/610

611: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/13(水) 16:30:57.41 ID:ZWqlQsZq

つづき

https://en.wikipedia.org/wiki/Well-order
Well-order
Reals
The standard ordering ≤ of any real interval is not a well ordering, since, for example, the open interval ⁠
(0,1)⊆[0,1]
⁠ does not contain a least element. From the ZFC axioms of set theory (including the axiom of choice) one can show that there is a well order of the reals. Also Wacław Sierpiński proved that ZF + GCH (the generalized continuum hypothesis) imply the axiom of choice and hence a well order of the reals. Nonetheless, it is possible to show that the ZFC+GCH axioms alone are not sufficient to prove the existence of a definable (by a formula) well order of the reals.[3] However it is consistent with ZFC that a definable well ordering of the reals exists—for example, it is consistent with ZFC that V=L, and it follows from ZFC+V=L that a particular formula well orders the reals, or indeed any set.

https://en.wikipedia.org/wiki/Zorn%27s_lemma
Zorn's lemma implies the axiom of choice
A proof that Zorn's lemma implies the axiom of choice illustrates a typical application of Zorn's lemma.[17] (The structure of the proof is exactly the same as the one for the Hahn–Banach theorem.)
略
ssentially the same proof also shows that Zorn's lemma implies the well-ordering theorem: take
P to be the set of all well-ordered subsets of a given set
X and then shows a maximal element of
P is X.[18]

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E7%B6%9A%E4%BD%93%E4%BB%AE%E8%AA%AC
連続体仮説
歴史
1963年、ポール・コーエンは強制法と呼ばれる新しい手法を用いて「ZFC から連続体仮説を証明することは出来ない」ことを示した
コーエンはこの業績により、1966 年にフィールズ賞を受賞している
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/611

618: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/13(水) 20:48:47.54 ID:w78+kS3p

>>612
ID:C2xh/shi ゴキブリの友かい？(旧知のおサルの友？)ｗ

>なぜなら無限回の繰り返しは決して完了しないので

それは違うよ
a)無限回の繰り返しは決して完了しないと考えることもできるし
b)無限回の繰り返しは決して完了すると考えることもできる

要するに、上記のa)b)とも、日常の数学の言葉だよね
何が言いたいか？ 日常の数学の言葉と 公理的集合論の言葉とは 全く異なるってことだ

つまり、公理的集合論の中では、”無限回の繰り返し”という操作は 定義されていない
従って、ある事象について ”無限回の繰り返し”という操作を 公理的集合論の中で 定義できれば、上記のb)になる

逆に、ある事象について ”無限回の繰り返し”という操作を 公理的集合論の中で 定義できない、あるいは定義しなければ 上記のa)になる
それだけのこと

で、グロタンディークを含む希代の天才数学者たちは、ZFCが狭いと思ったら 自分たちのやりたい数学ができるように ZFCに拡張してきたのです
それは、当然 無限集合に対する操作であったり 無限の繰り返しであったりしたわけだ
∵ 有限集合の有限の繰り返しで完結する話ならば、わざわざ集合論の公理をいじくるまでもないのだから

>>614
（引用開始）
ja.wikipedia 選択公理 歴史
「クルト・ゲーデルとポール・コーエンによって、
ZF（ツェルメロ＝フレンケルの公理系）から独立であること
（ZFに選択公理を付け加えても矛盾しないが、ZFから選択公理を証明することはできない）
が示された。」
まず、ゲーデルが構成可能宇宙で選択公理が成立することを示した
そして、コーエンが強制法によって構成したモデルで選択公理が成立しないことを示した
(引用終り)

これは 大変失礼した。ご指摘ありがとう
>>610 自分で引用した ja.wikipedia 選択公理 歴史に
『クルト・ゲーデルとポール・コーエンによって、ZF（ツェルメロ＝フレンケルの公理系）から独立であること（ZFに選択公理を付け加えても矛盾しないが、ZFから選択公理を証明することはできない）が示された』
の記述があるのに、見過ごしていた
下記en.wikipediaにもう少し詳しい記述がある

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice
Axiom of choice
Independence
In 1938,[18] Kurt Gödel showed that the negation of the axiom of choice is not a theorem of ZF by constructing an inner model (the constructible universe) that satisfies ZFC, thus showing that ZFC is consistent if ZF itself is consistent. In 1963, Paul Cohen employed the technique of forcing, developed for this purpose, to show that, assuming ZF is consistent, the axiom of choice itself is not a theorem of ZF. He did this by constructing a much more complex model that satisfies ZF¬C (ZF with the negation of AC added as axiom) and thus showing that ZF¬C is consistent. Cohen's model is a symmetric model, which is similar to permutation models, but uses "generic" subsets of the natural numbers (justified by forcing) in place of urelements.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/618

627: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/13(水) 22:22:41.46 ID:w78+kS3p

>>626
(引用開始)
>グロタンディークを含む希代の天才数学者たちは、ZFCが狭いと思ったら 自分たちのやりたい数学ができるように ZFCに拡張してきたのです
>それは、当然 無限集合に対する操作であったり 無限の繰り返しであったりしたわけだ
無限回の繰り返しの例を示して。
ちなみに無限級数は無限回の足し算でないことは理解してる？
(引用終り)

すでに、>>610で 「選択公理」と 整列可能定理でしました
なお、関連で Georg Cantor en.wikipedia を引用しておく
ZFCより前の代の話だ
ZFCは、これら（Cantorやデデキントや、リーマンやコーシーら）の数学を公理化したもの
ついでに、ヒルベルトの無限ホテルを引用しておくよ（『その手順を無限に繰り返せることを示す』）

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor
Georg Cantor
Cantor established the importance of one-to-one correspondence between the members of two sets, defined infinite and well-ordered sets, and proved that the real numbers are more numerous than the natural numbers. Cantor's method of proof of this theorem implies the existence of an infinity of infinities.
Mathematical work
(google訳)
絶対無限、整列定理、そしてパラドックス
1883年、カントルは無限を超限と絶対の二つに分けた。[ 60 ]
超限は大きさを増加させることができるが、絶対は増加できない。例えば、順序数αはα+1まで増加できるため超限である。
一方、順序数は絶対的に無限の列を形成し、それより大きな順序数が存在しないため、大きさを増加させることはできない。[ 61 ]
1883年、カントールは「すべての集合は整列可能である」という整列原理を提唱し、これを「思考の法則」であると述べた。[ 62 ]

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E3%81%AE%E7%84%A1%E9%99%90%E3%83%9B%E3%83%86%E3%83%AB%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9
ヒルベルトの無限ホテルのパラドックス
無限個の客室があるホテルは「満室」でも（無限人の）新たな客を泊めることができ、その手順を無限に繰り返せることを示す。
パラドックスの内容
有限人の新たな客
1人の客が来てホテルに宿泊を希望したとする。そこで1号室の客を2号室に、2号室の客を3号室に、n号室の客を(n + 1)号室に（同時に）移動させる。すると1号室は空室になり、1人の客を泊めることができる。この手順を繰り返すことで、任意の有限人の新たな客の部屋を作れる。
以下略す

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/627

637: １３２人目の素数さん [] 2025/08/14(木) 10:52:36.75 ID:1dI79/KQ

>>571 補足
(引用開始)
>>499の 2017春(首都大東京) 薄葉季路（早大理工） 集合論の宇宙 -UniverseとMultiverse- (企画特別)
発表スライド『集合論の宇宙　Universe と Multiverse』
https://www.mathsoc.jp/meeting/kikaku/2017haru/2017_haru_usuba-p.pdf
における Multiverseの視点
(引用終り)

さて
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20IV.pdf
Inter-universal Teichmuller Theory IV: Log-volume Computations and Set-theoretic Foundations. PDF (2020-04-22)
P67
Section 3: Inter-universal Formalism: the Language of Species
The various ZFC-models that we work with may be thought of as [but are not restricted to be!] the ZFC-models determined by various universes that are sets relative to some ambient ZFC-model which, in addition to the standard axioms of ZFC set theory, satisfies the following existence axiom [attributed to the “Grothendieck school” — cf. the discussion of [McLn], p. 193]:
P85
[McLn] S. MacLane, One Universe as a Foundation for Category Theory, Reports of the Midwest Category Seminar III, Lecture Notes in Mathematics 106, SpringerVerlag (1969).

この 望月先生のIUT IV でのP67 用語 universe それは [McLn] (1969) が根拠らしいが
その後、数学の中での議論がいろいろあり
検索結果を辿ると、20世紀末には 用語”Conglomerate (set theory)”：これは universeの内部で クラスの集まり（なお クラスは集合の集まり）
という用語が考えられているらしい
Inter-universe という用語が、やはり問題のような気がする 今日この頃

(参考)
google検索：
S. MacLane, One Universe as a Foundation for Category Theory, Reports of the Midwest Category Seminar III, Lecture Notes in Mathematics 106, SpringerVerlag (1969)

AI による概要（AI responses may include mistakes）
In his work "One Universe as a Foundation for Category Theory", S. MacLane explores the use of a Grothendieck universe to provide a foundation for category theory, particularly when dealing with large categories. He proposes that adding the axiom of the existence of at least one Grothendieck universe to ZFC set theory offers a suitable framework for this purpose, according to Mathematics Stack Exchange.
https://math.stackexchange.com/questions/4871271/zfc-grothendieck-universes-vs-mac-lanes-one-universe （asked Feb 27, 2024 kaba ）

Here's a breakdown of the key points:
Grothendieck Universe:
A Grothendieck universe is a set U that satisfies certain properties, including being closed under power sets, unions, and Cartesian products, and containing all the natural numbers.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/637

638: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/14(木) 10:54:05.92 ID:1dI79/KQ

つづき

U-small vs. U-large:
In this context, a set is considered "U-small" if it belongs to the universe U, and "U-large" otherwise.

Foundation for Category Theory:
This approach allows for the construction of categories with large collections of objects and morphisms, which are essential for certain areas of category theory, without encountering Russell's paradox or other foundational issues.

Alternative to ZFC:
While ZFC (Zermelo-Fraenkel set theory with the axiom of choice) is a common foundation for mathematics, MacLane's proposal provides an alternative by using the concept of a Grothendieck universe.

Key Concepts:
The use of a Grothendieck universe allows for the development of concepts like small limits and colimits within the category of U-small sets, which are fundamental in category theory.
(引用終り)

https://handwiki.org/wiki/Conglomerate_(set_theory)
Conglomerate (set theory)
From HandWiki
In mathematics, a conglomerate is a collection of classes, just as a class is a collection of sets.[1] A quasi-category is like a category except that its objects and morphisms form conglomerates instead of classes.[1] The subclasses of any class, and in particular, the collection of all classes (every class is a subclass of the class of all sets), form a conglomerate.
References
1. Adamek, Jiri; Herrlich, Horst; Strecker, George (1990). Abstract and Concrete Categories: The Joy of Cats. Dover Publications. ISBN 978-0-486-46934-8.

https://en.wikipedia.org/wiki/Conglomerate_(mathematics)
Conglomerate (mathematics)
In mathematics, in the framework of one-universe foundation for category theory,[1][2] the term conglomerate is applied to arbitrary sets as a contraposition to the distinguished sets that are elements of a Grothendieck universe.[3][4][5][6][7][8]

Definition
The most popular axiomatic set theories, Zermelo–Fraenkel set theory (ZFC), von Neumann–Bernays–Gödel set theory (NBG), and Morse–Kelley set theory (MK), admit non-conservative extensions that arise after adding a supplementary axiom of existence of a Grothendieck universe
U. An example of such an extension is the Tarski–Grothendieck set theory, where an infinite hierarchy of Grothendieck universes is postulated.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/638

639: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/14(木) 10:55:24.18 ID:1dI79/KQ

つづき

The concept of conglomerate was created to deal with "collections" of classes, which is desirable in category theory so that each class can be considered as an element of a "more general collection", a conglomerate. Technically this is organized by changes in terminology: when a Grothendieck universe
U is added to the chosen axiomatic set theory (ZFC/NBG/MK) it is considered convenient[9][10]
・to apply the term "set" only to elements of U,
・to apply the term "class" only to subsets of U,
・to apply the term "conglomerate" to all sets (not necessary elements or subsets of U).
As a result, in this terminology, each set is a class, and each class is a conglomerate.

Corollaries
Formally this construction describes a model of the initial axiomatic set theory (ZFC/NBG/MK) in the extension of this theory ("ZFC/NBG/MK+Grothendieck universe") with U as the universe.[1]: 195 [2]: 23

If the initial axiomatic set theory admits the idea of proper class (i.e. an object that can't be an element of any other object, like the class
Set of all sets in NBG and in MK), then these objects (proper classes) are discarded from the consideration in the new theory ("NBG/MK+Grothendieck universe").
However, (not counting the possible problems caused by the supplementary axiom of existence of U) this in some sense does not lead to a loss of information about objects of the old theory (NBG or MK) since its representation as a model in the new theory ("NBG/MK+Grothendieck universe") means that what can be proved in NBG/MK about its usual objects called classes (including proper classes) can be proved as well in "NBG/MK+Grothendieck universe" about its classes (i.e. about subsets of U, including subsets that are not elements of U, which are analogs of proper classes from NBG/MK). At the same time, the new theory is not equivalent to the initial one, since some extra propositions about classes can be proved in "NBG/MK+Grothendieck universe" but not in NBG/MK.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/639

640: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/14(木) 10:55:46.34 ID:1dI79/KQ

つづき

Terminology
The change in terminology is sometimes called "conglomerate convention".[7]: 6  The first step, made by Mac Lane,[1]: 195 [2]: 23  is to apply the term "class" only to subsets of U.
{\displaystyle U.} Mac Lane does not redefine existing set-theoretic terms; rather, he works in a set theory without classes (ZFC, not NBG/MK), calls members of U "small sets", and states that the small sets and the classes satisfy the axioms of NBG. He does not need "conglomerates", since sets need not be small.

The term "conglomerate" lurks in reviews of the 1970s and 1980s on Mathematical Reviews[11] without definition, explanation or reference, and sometimes in papers.[12]

While the conglomerate convention is in force, it must be used exclusively in order to avoid ambiguity; that is, conglomerates should not be called “sets” in the usual fashion of ZFC.[7]: 6

References
1. Mac Lane, Saunders (1969). "One universe as a foundation for category theory". Reports of the Midwest Category Seminar III. Lecture Notes in Mathematics, vol 106. Vol. 106. Springer, Berlin, Heidelberg. pp. 192–200.

＜付録＞
The Geometry of Anabelioids J-Stage
https://www.jstage.jst.go.jp/article/kyotoms1969/40/3/40_3_819/_article/-char/ja/
S Mochizuki 著 · 2004 · 被引用数: 26 — [McLn1] MacLane, S., One Universe as a Foundation for Category Theory, Reports of the Midwest Category Seminar III, Lecture Notes in Math. 106, Springer-
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/640

643: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/14(木) 13:36:05.27 ID:1dI79/KQ

>>638
(引用開始)
https://handwiki.org/wiki/Conglomerate_(set_theory)
Conglomerate (set theory)
From HandWiki
In mathematics, a conglomerate is a collection of classes, just as a class is a collection of sets.[1]
A quasi-category is like a category except that its objects and morphisms form conglomerates instead of classes.[1]
The subclasses of any class, and in particular, the collection of all classes (every class is a subclass of the class of all sets), form a conglomerate.
References
1. Adamek, Jiri; Herrlich, Horst; Strecker, George (1990). Abstract and Concrete Categories: The Joy of Cats. Dover Publications. ISBN 978-0-486-46934-8.
(引用終り)

＜google訳＞
数学において、conglomerateはクラスのcollectionであり、クラスは集合のcollectionである。[1]
quasi-categoryはカテゴリに似ているが、そのオブジェクトと射がクラスではなくconglomerateを形成する点が異なる。[1]
任意のクラスのサブクラス、特にすべてのクラスの集合（すべてのクラスはすべての集合のクラスのサブクラスである）は conglomerateを形成する。
References
略
(google訳終り)

このFrom HandWiki の用語を借りれば
大きな Grothendieck Universeがあって
その中に conglomerate ＞ クラス(class) ＞ 集合(set)
という collection の大きさの違いが 存在する

この（21世紀の用語の）視点では、Grothendieck Universe は、One Universe で
Inter-universal 宇宙間 というのは、conglomerate あるいは クラス(class)
で収まるだろう

薄葉季路先生の 『集合論の宇宙　Universe と Multiverse』>>637
と比較して、望月用語”宇宙”は ちょっと 大げさ （それは Grothendieckの時代(1960年代)は それでよかったとしても）

そこらは、本当は 加藤さんあたりが 整理してほしいところです

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/643

645: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/14(木) 14:44:11.01 ID:1dI79/KQ

>>644
望月IUTは、本質的に グロタンディークの圏論幾何 ＝遠アーベル幾何学 に立脚する
それに対して、単なる集合論とか 推論規則 ウンヌンカンヌンの批判は 的外れ
下記を、百回音読してね　（＾＾

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9C%8F%E8%AB%96
圏論
数学的構造とその間の関係を抽象的に扱う数学理論の 1 つである。サミュエル・アイレンベルグ と ソーンダース・マックレーンとによって代数的位相幾何学の基本的仕事の中で20世紀中ごろに導入された。圏論において考察の対象となる圏は対象とその間の射からなる構造であり、集合とその間の写像、あるいは要素とその間の関係（順序など）が例として挙げられる。
数学の多くの分野、また計算機科学や数理物理学のいくつかの分野で導入される一連の対象は、しばしば適当な圏の対象たちだと考えることができる。圏論的な定式化によって同種のほかの対象たちとの、内部の構造に言及しないような形式的な関係性や、別の種類の数学的な対象への関連づけなどが統一的に記述される。
歴史
19世紀はじめのエヴァリスト・ガロアによる代数方程式に群を関連づける研究には圏論的な考え方の萌芽がみられる[要出典]。20世紀前半にはエミー・ネーターが抽象代数学（特に加群の理論）の形式化を行い、ネーターはある種の数学的構造を理解するためには、その構造を保つ対応関係を理解する必要があることを悟っていた[要出典]。1930年代後半から始まるニコラ・ブルバキの数学原論シリーズにおける集合論に基づいた数学の再構成の試みの中でも、構造、構造種と普遍性の概念が指導原理として取り上げられている[要出典]。
圏や関手、自然変換といったアイデアは代数的位相幾何学、特にホモロジー代数の研究から生まれた[1]。
その後 1950年代から 1960年代にかけてこの理論は、ホモロジー代数における様々な計算の抽象的な定式化を取り込むことによって、続いて、集合論に基づく定式化では不十分だった代数幾何学の公理化を与える言葉として進展した。さらに一般的な圏論、つまり、意味論的な柔軟性をもち高階論理との親和性があるようなより現代的な普遍的代数が発展し、現在では数学全体を通して応用されている。
20 世紀の半ば以降アレクサンドル・グロタンディークらによって代数幾何学の圏論的な定式化が追求された

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/645

646: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/14(木) 14:44:31.56 ID:1dI79/KQ

つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9C%8F_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
圏 (数学)
圏論において中核的な概念を成す圏（けん、英: category）は、数学的構造を取り扱うための枠組みであり、数学的対象をあらわす対象とそれらの間の関係を表す射の集まりによって与えられる。圏はそれ自体、群に類似した代数的構造として理解することができる。
空間を圏で表す
位相空間 X に対してその開集合系 O(X) を圏と見なすことができる。
G が群のとき、対象 Y ただ 1 つからなり、Hom (Y, Y) ≡ G であるような圏を G と同一視することができる。また、位相空間の基本亜群や「被覆」のホロノミー亜群など、様々な亜群による幾何学的な情報の定式化が得られている。
歴史
アレクサンドル・グロタンディークらによるホモロジー・コホモロジー理論を圏論に基づいて定式化する試みの中で、アーベル圏・三角圏など、関手を計算するうえで期待される重要な性質を持つクラスの圏が公理化されていった。一方、ガロア理論の圏論化を通じ、群が作用する集合の圏と通常の位相空間を圏論の枠組みで包括的にとらえるようなトポスの概念が得られた

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%A0%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6
遠アーベル幾何学
代数多様体 V 上の代数的基本群 G や関連する幾何学的対象を記述する
数体とその絶対ガロア群の初期の結果は、アレクサンドル・グロタンディークによる数体の双曲線[1]についての予想に先立ち、ユルゲン・ノイキルヒ、ギュンデュズ・イケダ、岩澤健吉、内田興二（ノイキルヒ・内田の定理）によって得られていた。
単語としての「遠アーベル」はアーベルに否定の接頭辞 an がついたもので、1980年代のグロタンディークの有名な著作である「Esquisse d'un Programme」で導入された[2]。]望月新一はいわゆる単(mono-)遠アーベル幾何学を導入および発展させた[4]。それは、数体または他のいくつかの体にわたる特定のクラスの双曲的曲線について、その代数的基本群からその曲線を復元するものである。単遠アーベル幾何学の主要な結果は望月の「絶対遠アーベル幾何学」などにある[5][6]。
遠アーベル幾何学は、類体論の一般化の1つと見なすことができる。 他の2つの一般化（高次アーベル類体論と、表現理論的ラングランズ・プログラム）とは異なり、遠アーベル幾何学は非常に非線形でnon-アーベルである[7]
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/646

649: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/14(木) 17:29:05.59 ID:1dI79/KQ

>>647-648
ふっふ、ほっほ

ID:/DikW1nE君と ID:wLpg/jrm君とか
下記『君たちはどう生きるか』という 映画や本やコミックがあるそうな
スタジオジブリ版は、太平洋戦争中の話にしたらしい
そういえば、明日8月15日は 終戦の日だ

で、お二人は 数学科でオチコボレさんか？ｗ　（＾＾
人のことが気になって 気になって 仕方ないらしいなｗ
きっと 不遇なんだろうね
必死で、人にマウントしたいんだね
下衆な根性が まるわかり だよｗ

ここはさ、IUTスレなんであって
IUTについて 語るべきところ
君たちは 語るべき何もない オチコボレさんｗｗ　；ｐ）
あわれだねｗｗｗ
下記の『君たちはどう生きるか』を 百回音読してねｗ

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%90%9B%E3%81%9F%E3%81%A1%E3%81%AF%E3%81%A9%E3%81%86%E7%94%9F%E3%81%8D%E3%82%8B%E3%81%8B_(%E6%98%A0%E7%94%BB)
君たちはどう生きるか (映画)
『君たちはどう生きるか』（英語: The Boy and the Heron）は、2023年7月14日に公開されたスタジオジブリ制作[注釈 1]の日本のアニメーション映画。宮崎駿の原作・脚本・監督による冒険活劇ファンタジーで[5]、宮崎の長編監督作としては2013年公開の『風立ちぬ』以来10年ぶりの作品となる。タイトルは、吉野源三郎の同名小説『君たちはどう生きるか』に由来しており、原作ではないが同小説が主人公にとって大きな意味を持つ[6]。
太平洋戦争中、母親の死をきっかけに田舎に疎開した眞人という少年が、新居の近くで廃墟となった塔を発見し、人間の言葉を話す謎の青サギと出会い、彼と共に幻想的な「下の世界」へと足を踏み入れるストーリー。
2023年9月に開催された北米最大の映画祭である第48回トロント国際映画祭で日本映画史上初となるオープニング作品となり、観客賞の次点第2位となる。翌年にはゴールデングローブ賞と英国アカデミー賞で日本映画史上初となるアニメ映画賞を連続して受賞し、日本時間で2024年3月11日[注釈 2]に授賞式が行われた第96回アカデミー賞で、日本映画としては『千と千尋の神隠し』以来21年ぶりとなる[7]アカデミー長編アニメ映画賞を受賞した。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%90%9B%E3%81%9F%E3%81%A1%E3%81%AF%E3%81%A9%E3%81%86%E7%94%9F%E3%81%8D%E3%82%8B%E3%81%8B
君たちはどう生きるか
『君たちはどう生きるか』は、1937年初出版の吉野源三郎による日本の小説。コペルというあだ名の15歳の少年・本田潤一とその叔父が、精神的な成長、貧困、人間としての総合的な体験と向き合う姿を描く。
当初『日本少国民文庫』第5巻として編纂代表の山本有三自身が執筆する予定であったが、病身のため代わって吉野が筆をとることになったとされる[3]。初刊は1937年に新潮社で出版、戦後になって語彙を平易にするなどの変更が加えられ、ポプラ社や岩波書店で出版された[4]。新潮社版も度々改版され長年重版した。
児童文学の形をとった教養教育の古典としても知られる[5]。
2017年には羽賀翔一による漫画化『漫画 君たちはどう生きるか』がマガジンハウスから出版され、2018年3月には累計200万部を突破した[6]。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/649

663: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/14(木) 20:16:53.15 ID:2VGqjZuN

>>633
>無限回の繰り返しが完了するなら矛盾だから完了しない。完了しない繰り返しはwell-definedでない。

やれやれ、古代ギリシャの"無限"議論で 時計が止まっているよ 数学科オチコボレさんは
”ゼノンのパラドックス アキレスと亀”(下記)から進歩していないね
（当然ながら、古代ギリシャでは 無限についての理解は不十分だった）

ここは、中高一貫校生も来る可能性があるから ハッキリさせておくが
下記の 重川一郎 確率論基礎 P7 サイコロ投げの場合の確率空間を見てね
これは 京都大学での数学の講義だ
P6 ”σ集合体では加算個の演算が自由にできる”とあるよね
ここでの サイコロ投げは 当然可算無限回であって 下記の重川の定義は有限ではない！！
だって、京都大学だものｗｗ　；ｐ）
まあ、数学科オチコボレさんには これは理解できないよねｗ
（「箱入り無数目」スレでの トンチンカン振りをみれば それがよく分るｗｗ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BC%E3%83%8E%E3%83%B3%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9
ゼノンのパラドックス
アリストテレスが『自然学』の中で、ゼノンに対する反論として引用した議論が、比較的詳しいものであり、重要なものとして取り上げられてきた
アキレスと亀
スタート後、アキレスが地点Aに達した時には、亀はアキレスがそこに達するまでの時間分だけ先に進んでいる（地点B）。アキレスが今度は地点Bに達したときには、亀はまたその時間分だけ先へ進む（地点C）。同様にアキレスが地点Cの時には、亀はさらにその先にいることになる。この考えはいくらでも続けることができ、結果、いつまでたってもアキレスは亀に追いつけない。

https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~ichiro/index_j.html
重川一郎
講義ノート
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~ichiro/lectures/2013bpr.pdf
確率論基礎
重川一郎 平成26年8月11日
P6
確率空間
基本的にσ集合体では加算個の演算が自由にできる．確率論では可測空間に，確率を付加したものを考える．
Ｐ7
例1.1 サイコロ投げの場合確率空間として次のものを準備すればよい．
Ω＝{1,2,・・・,6}^N ∋ω＝(ω1,ω2,・・・)
ωnは、1,2,・・・,6のいずれかで，n回目に出た目を表す
これが実際にσ-加法的に拡張できることは明らかではないが，Kolmogorov
の拡張定理と呼ばれる定理により証明できる．

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/663

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