表現論の一般化 (28ﾚｽ)

表現論の一般化 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1749417787/

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17: １３２人目の素数さん [] 2025/06/09(月) 14:02:35.93 ID:oeM60Po3 Lemma r個のベクトルの線形結合でr+1個のベクトルを作ったら、必ず一次従属。 rに関する帰納法で示す。 r = 1のとき w1 = a11 v1 w2 = a21 v1 とおく。 a11 = a21 = 0なら一次従属だから、a21 ≠ 0としてよい。 このとき、w1 - a11/a21 w2 = 0。 1からrまで正しいとする。 w1 = a11 v1 + ... + a1r vr ... wr = ar1 v1 + ... + arr vr w{r+1} = a{r+1, 1} v1 + ... + a{r+1, r} vr とおく。 上と同様に、a{r+1, 1} ≠ 0としてよい。 wi - ai1/a{r+1, 1} w{r+1}は、r-1個のベクトルの線形結合で表されたr個のベクトルだから、仮定より一次従属。□ Thm 有限次元ベクトル空間なら、基底の濃度は一定。 B, B'をふたつの基底とすると、B'の元はBの線形結合で書けて一次独立なので、|B'|≦|B|。同様に、|B|≦|B'|。□ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1749417787/17

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