表現論の一般化 (28ﾚｽ)
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17: 06/09(月)14:02 ID:oeM60Po3(1)調 AAS
Lemma
r個のベクトルの線形結合でr+1個のベクトルを作ったら、必ず一次従属。
rに関する帰納法で示す。
r = 1のとき
w1 = a11 v1
w2 = a21 v1
とおく。
a11 = a21 = 0なら一次従属だから、a21 ≠ 0としてよい。
このとき、w1 - a11/a21 w2 = 0。
1からrまで正しいとする。
w1 = a11 v1 + ... + a1r vr
...
wr = ar1 v1 + ... + arr vr
w{r+1} = a{r+1, 1} v1 + ... + a{r+1, r} vr
とおく。
上と同様に、a{r+1, 1} ≠ 0としてよい。
wi - ai1/a{r+1, 1} w{r+1}は、r-1個のベクトルの線形結合で表されたr個のベクトルだから、仮定より一次従属。□
Thm
有限次元ベクトル空間なら、基底の濃度は一定。
B, B'をふたつの基底とすると、B'の元はBの線形結合で書けて一次独立なので、|B'|≦|B|。同様に、|B|≦|B'|。□
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