フェルマーの最終定理の証明 (997ﾚｽ)
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1(10): 与作 04/22(火)18:27 ID:ZBPrKUfk(1)調 AAS
n=2のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を無数に持つ。
X^2+Y^2=Z^2をy^2=(x+1)^2-x^2…(1)とおく。(y,xは有理数)
(1)を(y-1)(y+1)=k2x/k…(2)とおく。
(2)はk=1のとき、成立つので、k=1以外でも成立つ。
∴n=2のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を無数に持つ。
898: 09/23(火)11:39 ID:dg+TA+2x(3/3)調 AAS
M(θ)=E[e^θX ]=∫_(-∞)^∞??e^θx f(x)dx?
M(θ)=E[e^θX ]=1/(√2π σ) ∫_(-∞)^∞??e^θx e^(-(x-μ)^2/(2σ^2 )) ? dx=1/(√2π σ) ∫_(-∞)^∞?e^(θx-(x-μ)^2/(2σ^2 )) dx
θx-(x-μ)^2/(2σ^2 )=1/(2σ^2 ) (2σ^2 θx-(x-μ)^2 )=-1/(2σ^2 ) (? (x-μ)?^2-2σ^2 θx )
=-1/(2σ^2 ) (? x?^2+μ^2-2μx-2σ^2 θx )
=-1/(2σ^2 ) (? x?^2-2(μ+σ^2 θ)x+μ^2 )
=-1/(2σ^2 ) ((x-(μ+σ^2 θ))^2-(μ+σ^2 θ)^2+μ^2 )
=-1/(2σ^2 ) ((x-(μ+σ^2 θ))^2-(μ^2+2μσ^2 θ+σ^4 θ^2 )+μ^2 )
=-1/(2σ^2 ) ((x-(μ+σ^2 θ))^2-(2μσ^2 θ+σ^4 θ^2 ) )
=-(x-(μ+σ^2 θ))^2/(2σ^2 )+μθ+(σ^2 θ^2)/2
M(θ)=1/(√2π σ) ∫_(-∞)^∞?e^(θx-(x-μ)^2/(2σ^2 )) dx
=1/(√2π σ) ∫_(-∞)^∞?e^((-(x-(μ+σ^2 θ))^2/(2σ^2 )+μθ+(σ^2 θ^2)/2) ) dx
=1/(√2π σ) e^(μθ+(σ^2 θ^2)/2) ∫_(-∞)^∞?e^((-(x-(μ+σ^2 θ))^2/(2σ^2 )) ) dx
t=(x-(μ+σ^2 θ))/(√2 σ) x=√2 σt+μ+σ^2 θ dx=√2 σdt
(x-(μ+σ^2 θ))^2/(2σ^2 )=((x-(μ+σ^2 θ))/(√2 σ))^2=t^2
-∞<x?∞ ⇒-∞<t?∞
899: 与作 09/23(火)13:02 ID:FdYrQuap(3/6)調 AAS
n=2のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を無数に持つ。
X^2+Y^2=Z^2をy^2=(x+1)^2-x^2…(1)とおく。(y,xは有理数)
(1)を(y-1)(y+1)=2x…(2)とおく。
(2)は(y-1)=2のとき、(y+1)=xとなる。
(2)は成立つので、(y-1)(y+1)=k2x/kも成立つ。
∴n=2のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を無数に持つ。
900: 与作 09/23(火)16:37 ID:FdYrQuap(4/6)調 AAS
n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
X^3+Y^3=Z^3をy^3=(x+1)^3-x^3…(1)とおく。(y,xは有理数)
(1)を(y-1)(y^2+y+1)=3(x^2+x)…(2)とおく。
(2)は(y-1)=3のとき、(y^2+y+1)=(x^2+x)とならない。
(2)は成立たないので、(y-1)(y^2+y+1)=k3(x^2+x)/kも成立たない。
∴n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
901: 与作 09/23(火)18:20 ID:FdYrQuap(5/6)調 AAS
nが奇素数のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
X^n+Y^n=Z^nをy^n=(x+1)^n-x^n…(1)とおく。(y,xは有理数)
(1)を(y-1)(y^(n-1)+…+y+1)=n(x^(n-1)+…+x)…(2)とおく。
(2)は(y-1)=nのとき、(y^(n-1)+…+y+1)=(x^(n-1)+…+x)とならない。
(2)は成立たないので、(y-1)(y^(n-1)+…+y+1)=kn(x^(n-1)+…+x)/kも成立たない。
∴nが奇素数のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
902: 与作 09/23(火)20:43 ID:FdYrQuap(6/6)調 AAS
ab=cdが成立つならば、
ab=kcd/kも成立つ。
903: 与作 09/24(水)13:25 ID:HBy7bhcd(1/2)調 AAS
ab=kcd/kが成立つならば、
a=kcのとき、b=d/kとなる。
904: 09/24(水)20:30 ID:0JqH39k2(1/3)調 AAS
∫[0→π/2]( tan(x) )^(1/n) dx (n≧2)
∫_0^(π/2)?(tan(x))^(1/n) dx を求める。
t=?sin?^2 x=(sin(x))^2
?sin?^2 x=1-?cos?^2 x ?cos?^2 x=1-t
dt=2sin(x)cos(x)dx=2√t √(1-t) dx
dx=dt/(2√t √(1-t))=(t^(-1/2) (1-t)^(1/2))/2 dt
(sin(x))^(1/n)=(√t)^(1/n)=t^(1/2n) (cos(x))^(1/n)=(√(1-t))^(1/n)=(1-t)^(1/2n)
∫_0^(π/2)?(tan(x))^(1/n) dx=∫_0^(π/2)?( (sin(x))^(1/n))/( (cos(x))^(1/n) ) dx=∫_0^(π/2)?( t^(1/2n))/(1-t)^(1/2n) (t^(-1/2) (1-t)^(1/2))/2 dt
=1/2 ∫_0^(π/2)???t^(1/2n) (1-t)^(-1/2n) t?^(-1/2) (1-t)^(-1/2) ? dt
=1/2 ∫_0^(π/2)??t^(1/2n-1/2) (1-t)^(-1/2n-1/2) ? dt
=1/2 ∫_0^(π/2)??t^(1/2+1/2n-1) (1-t)^(1/2-1/2n-1) ? dt
=1/2 ∫_0^(π/2)??t^(1/2+1/2n-1) (1-t)^(1/2-1/2n-1) ? dt
(1/2) B(1/2+1/(2n), 1/2-1/(2n))
= (1/2) Γ( 1/2+1/(2n) ) Γ( 1/2-1/(2n) ) / Γ( 1/2+1/(2n) + 1/2-1/(2n) )
= (1/2) Γ(z) Γ(1-z) / Γ(1)
= (1/2) ( π/sin(πz) ) / 0！
= π/( 2 sin(πz) )
= π/( 2 sin(π/2+π/(2n)) )
= π/( 2 cos(π/(2n)) ).
905: 09/24(水)20:31 ID:0JqH39k2(2/3)調 AAS
2025/09/17(水) 05:04:24.75ID:erGd2uYu
∫[0→π/2]( tan(x) )^(1/n) dx (n≧2)
∫_0^(π/2)?(tan(x))^(1/n) dx を求める。
t=?sin?^2 x=(sin(x))^2
?sin?^2 x=1-?cos?^2 x ?cos?^2 x=1-t
dt=2sin(x)cos(x)dx=2√t √(1-t) dx
dx=dt/(2√t √(1-t))=(t^(-1/2) (1-t)^(1/2))/2 dt
(sin(x))^(1/n)=(√t)^(1/n)=t^(1/2n) (cos(x))^(1/n)=(√(1-t))^(1/n)=(1-t)^(1/2n)
∫_0^(π/2)?(tan(x))^(1/n) dx=∫_0^(π/2)?( (sin(x))^(1/n))/( (cos(x))^(1/n) ) dx=∫_0^(π/2)?( t^(1/2n))/(1-t)^(1/2n) (t^(-1/2) (1-t)^(1/2))/2 dt
=1/2 ∫_0^(π/2)???t^(1/2n) (1-t)^(-1/2n) t?^(-1/2) (1-t)^(-1/2) ? dt
=1/2 ∫_0^(π/2)??t^(1/2n-1/2) (1-t)^(-1/2n-1/2) ? dt
=1/2 ∫_0^(π/2)??t^(1/2+1/2n-1) (1-t)^(1/2-1/2n-1) ? dt
=1/2 ∫_0^(π/2)??t^(1/2+1/2n-1) (1-t)^(1/2-1/2n-1) ? dt
(1/2) B(1/2+1/(2n), 1/2-1/(2n))
= (1/2) Γ( 1/2+1/(2n) ) Γ( 1/2-1/(2n) ) / Γ( 1/2+1/(2n) + 1/2-1/(2n) )
= (1/2) Γ(z) Γ(1-z) / Γ(1)
= (1/2) ( π/sin(πz) ) / 0！
= π/( 2 sin(πz) )
= π/( 2 sin(π/2+π/(2n)) )
= π/( 2 cos(π/(2n)) ).
906: 09/24(水)20:32 ID:0JqH39k2(3/3)調 AAS
M(θ)=E[e^θX ]=∫_(-∞)^∞??e^θx f(x)dx?
M(θ)=E[e^θX ]=1/(√2π σ) ∫_(-∞)^∞??e^θx e^(-(x-μ)^2/(2σ^2 )) ? dx=1/(√2π σ) ∫_(-∞)^∞?e^(θx-(x-μ)^2/(2σ^2 )) dx
θx-(x-μ)^2/(2σ^2 )=1/(2σ^2 ) (2σ^2 θx-(x-μ)^2 )=-1/(2σ^2 ) (? (x-μ)?^2-2σ^2 θx )
=-1/(2σ^2 ) (? x?^2+μ^2-2μx-2σ^2 θx )
=-1/(2σ^2 ) (? x?^2-2(μ+σ^2 θ)x+μ^2 )
=-1/(2σ^2 ) ((x-(μ+σ^2 θ))^2-(μ+σ^2 θ)^2+μ^2 )
=-1/(2σ^2 ) ((x-(μ+σ^2 θ))^2-(μ^2+2μσ^2 θ+σ^4 θ^2 )+μ^2 )
=-1/(2σ^2 ) ((x-(μ+σ^2 θ))^2-(2μσ^2 θ+σ^4 θ^2 ) )
=-(x-(μ+σ^2 θ))^2/(2σ^2 )+μθ+(σ^2 θ^2)/2
M(θ)=1/(√2π σ) ∫_(-∞)^∞?e^(θx-(x-μ)^2/(2σ^2 )) dx
=1/(√2π σ) ∫_(-∞)^∞?e^((-(x-(μ+σ^2 θ))^2/(2σ^2 )+μθ+(σ^2 θ^2)/2) ) dx
=1/(√2π σ) e^(μθ+(σ^2 θ^2)/2) ∫_(-∞)^∞?e^((-(x-(μ+σ^2 θ))^2/(2σ^2 )) ) dx
t=(x-(μ+σ^2 θ))/(√2 σ) x=√2 σt+μ+σ^2 θ dx=√2 σdt
(x-(μ+σ^2 θ))^2/(2σ^2 )=((x-(μ+σ^2 θ))/(√2 σ))^2=t^2
907: 与作 09/24(水)22:54 ID:HBy7bhcd(2/2)調 AAS
n=2のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を無数に持つ。
X^2+Y^2=Z^2をy^2=(x+1)^2-x^2…(1)とおく。(y,xは有理数)
(1)を(y-1)(y+1)=2x…(2)とおく。
(2)は(y-1)=2のとき、(y+1)=xとなる。
(2)は成立つので、(y-1)(y+1)=k2x/kも成立つ。
∴n=2のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を無数に持つ。
908: 09/25(木)10:26 ID:ttJEdL9D(1/3)調 AAS
k^2 -3k + 2 = (k-1)(k-2) = 0 k = 1, 2
y''(t) - 3'y(t) + 2y(t) = 0
y0 = C1e^t + C2e^(2t)
v(t) = 1/(D-1)(D-2)*e^(-t)
= 1/(D-2)*e^(-t) - 1/(D-1)*e^(-t)
= (-1/3)e^(-t) + (1/2)e^(-t) = (1/6)e^(-t)
y(t) = C1e^t + C2e^(2t) + (1/6)e^(-t)
y(0) = C1 + C2 + 1/6 = 1/6
C1 + C2 = 0 …… ?
y'(t) = C1e^t + C2*2e^(2t) - (1/6)e^(-t)
y'(0) = C1 + C2*2 - 1/6 = 5/6
C1+ 2C2 = 1……?
??より
C1 = -1, C2= 1
y(t) = -e^t +e^(2t) + (1/6)e^(-t)
909: 09/25(木)10:26 ID:ttJEdL9D(2/3)調 AAS
∫[0→π/2]( tan(x) )^(1/n) dx (n≧2)
∫_0^(π/2)?(tan(x))^(1/n) dx を求める。
t=?sin?^2 x=(sin(x))^2
?sin?^2 x=1-?cos?^2 x ?cos?^2 x=1-t
dt=2sin(x)cos(x)dx=2√t √(1-t) dx
dx=dt/(2√t √(1-t))=(t^(-1/2) (1-t)^(1/2))/2 dt
(sin(x))^(1/n)=(√t)^(1/n)=t^(1/2n) (cos(x))^(1/n)=(√(1-t))^(1/n)=(1-t)^(1/2n)
∫_0^(π/2)?(tan(x))^(1/n) dx=∫_0^(π/2)?( (sin(x))^(1/n))/( (cos(x))^(1/n) ) dx=∫_0^(π/2)?( t^(1/2n))/(1-t)^(1/2n) (t^(-1/2) (1-t)^(1/2))/2 dt
=1/2 ∫_0^(π/2)???t^(1/2n) (1-t)^(-1/2n) t?^(-1/2) (1-t)^(-1/2) ? dt
=1/2 ∫_0^(π/2)??t^(1/2n-1/2) (1-t)^(-1/2n-1/2) ? dt
=1/2 ∫_0^(π/2)??t^(1/2+1/2n-1) (1-t)^(1/2-1/2n-1) ? dt
=1/2 ∫_0^(π/2)??t^(1/2+1/2n-1) (1-t)^(1/2-1/2n-1) ? dt
(1/2) B(1/2+1/(2n), 1/2-1/(2n))
= (1/2) Γ( 1/2+1/(2n) ) Γ( 1/2-1/(2n) ) / Γ( 1/2+1/(2n) + 1/2-1/(2n) )
= (1/2) Γ(z) Γ(1-z) / Γ(1)
= (1/2) ( π/sin(πz) ) / 0！
= π/( 2 sin(πz) )
= π/( 2 sin(π/2+π/(2n)) )
= π/( 2 cos(π/(2n)) ).
910: 与作 09/25(木)11:12 ID:lFa5qIbH(1/5)調 AAS
n=2のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を無数に持つ。
X^2+Y^2=Z^2をy^2=(x+1)^2-x^2…(1)とおく。(y,xは有理数)
(1)を(y-1)(y+1)=2x…(2)とおく。
(2)は(y-1)=2のとき、(y+1)=xとなる。
(2)は成立つので、(y-1)(y+1)=k2x/kも成立つ。
∴n=2のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を無数に持つ。
911: 09/25(木)12:09 ID:ttJEdL9D(3/3)調 AAS
∫[0→π/2]( tan(x) )^(1/n) dx (n≧2)
∫_0^(π/2)?(tan(x))^(1/n) dx を求める。
t=?sin?^2 x=(sin(x))^2
?sin?^2 x=1-?cos?^2 x ?cos?^2 x=1-t
dt=2sin(x)cos(x)dx=2√t √(1-t) dx
dx=dt/(2√t √(1-t))=(t^(-1/2) (1-t)^(1/2))/2 dt
(sin(x))^(1/n)=(√t)^(1/n)=t^(1/2n) (cos(x))^(1/n)=(√(1-t))^(1/n)=(1-t)^(1/2n)
∫_0^(π/2)?(tan(x))^(1/n) dx=∫_0^(π/2)?( (sin(x))^(1/n))/( (cos(x))^(1/n) ) dx=∫_0^(π/2)?( t^(1/2n))/(1-t)^(1/2n) (t^(-1/2) (1-t)^(1/2))/2 dt
=1/2 ∫_0^(π/2)???t^(1/2n) (1-t)^(-1/2n) t?^(-1/2) (1-t)^(-1/2) ? dt
=1/2 ∫_0^(π/2)??t^(1/2n-1/2) (1-t)^(-1/2n-1/2) ? dt
=1/2 ∫_0^(π/2)??t^(1/2+1/2n-1) (1-t)^(1/2-1/2n-1) ? dt
=1/2 ∫_0^(π/2)??t^(1/2+1/2n-1) (1-t)^(1/2-1/2n-1) ? dt
(1/2) B(1/2+1/(2n), 1/2-1/(2n))
= (1/2) Γ( 1/2+1/(2n) ) Γ( 1/2-1/(2n) ) / Γ( 1/2+1/(2n) + 1/2-1/(2n) )
= (1/2) Γ(z) Γ(1-z) / Γ(1)
= (1/2) ( π/sin(πz) ) / 0！
= π/( 2 sin(πz) )
= π/( 2 sin(π/2+π/(2n)) )
= π/( 2 cos(π/(2n)) ).
912: 与作 09/25(木)13:59 ID:lFa5qIbH(2/5)調 AAS
n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
X^3+Y^3=Z^3をy^3=(x+1)^3-x^3…(1)とおく。(y,xは有理数)
(1)を(y-1)(y^2+y+1)=3(x^2+x)…(2)とおく。
(2)は(y-1)=3のとき、(y^2+y+1)=(x^2+x)とならない。
(2)は成立たないので、(y-1)(y^2+y+1)=k3(x^2+x)/kも成立たない。
∴n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
913: 与作 09/25(木)14:55 ID:lFa5qIbH(3/5)調 AAS
nが奇素数のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
X^n+Y^n=Z^nをy^n=(x+1)^n-x^n…(1)とおく。(y,xは有理数)
(1)を(y-1)(y^(n-1)+…+y+1)=n(x^(n-1)+…+x)…(2)とおく。
(2)は(y-1)=nのとき、(y^(n-1)+…+y+1)=(x^(n-1)+…+x)とならない。
(2)は成立たないので、(y-1)(y^(n-1)+…+y+1)=kn(x^(n-1)+…+x)/kも成立たない。
∴nが奇素数のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
914: 与作 09/25(木)16:22 ID:lFa5qIbH(4/5)調 AAS
ab=cdが成立つならば、
ab=kcd/kも成立つ。
915: 与作 09/25(木)20:08 ID:lFa5qIbH(5/5)調 AAS
ab=kcd/kが成立つならば、
a=kcのとき、b=d/kとなる。
916: 09/26(金)06:16 ID:Ek58bAv0(1/4)調 AAS
f(θ)=a_0/2+納k=1→∞](a_k cos(kθ)+b_k sin(kθ))
a_k=1/π ∫[-π→π]f(θ)cos(kθ)dθ)
b_k=1/π ∫[-π→π]f(θ)sin(kθ)dθ
e^jθ =cosθ+jsinθ
e^(-jθ)=cosθ-jsinθ
cosθ=(e^jθ+e^(-jθ))/2. sinθ=(e^jθ-e^(-jθ))/2j.
f(θ)=a_0/2+納k=1→∞](a_k (e^jkθ+e^(-jkθ))/2+b_k (e^jkθ-e^(-jkθ))/2j)
=a_0/2+納k=1→∞](a_k(e^jkθ+e^(-jkθ))/2+?jb?_k (e^(-jkθ)-e^jkθ)/2)
=a_0/2+納k=1→∞]((a_k-jb_k)/2 e^jkθ) +納k=1→∞]((a_k+jb_k)/2 e^(-jkθ) )
a_(-k)=(1/π)∫[-π→π]f(θ)cos(-kθ)dθ)
=(1/π)∫[-π→π]f(θ)cos(kθ)dθ)=a_k
b_(-k)=(1/π)∫[-π→π]f(θ)sin(-kθ)dθ
= -1/π ∫[-π→π]f(θ)sin(kθ)dθ= -b_k
f(θ)
=納k=1→∞]((a_k+jb_k)/2 e^(-jkθ) ) +a_0/2+納k=1→∞]((a_k-jb_k)/2 e^jkθ )
=(a_2+jb_2)/2 e^(-j2θ)+(a_1+jb_1)/2 e^(-j1θ)+a_0/2+(a_1-jb_1)/2 e^j1θ+(a_2-jb_2)/2e^j2θ+?
=(a_(-2)-jb_(-2))/2 e^j2θ+(a_(-1)-jb_(-1))/2 e^j1θ+a_0/2+(a_1-jb_1)/2 e^j1θ+(a_2-jb_2)/2 e^j2θ+?
=農(k=-∞)^∞?((a_k-jb_k)/2 e^jkθ )
c_k=(a_k-jb_k)/2
f(θ)=納k=-∞→∞]c_k e^jkθ
c_k=(a_k-jb_k)/2
=(1/2π)∫[-π→π]f(θ)cos(kθ)dθ-(j/2π)∫[-π→π]f(θ)sin(kθ)dθ
=(1/2π)∫[-π→π]f(θ)(cos(kθ)-jsin(kθ))dθ
=(1/2π)∫[-π→π]f(θ)(cos(-kθ)+jsin(-kθ))dθ
=(1/2π)∫[-π→π]f(θ)(cos(-kθ)+jsin(-kθ))dθ
=(1/2π)∫[-π→π]f(θ)e^(-jkθ)dθ
917: 09/26(金)06:16 ID:Ek58bAv0(2/4)調 AAS
f^((k) ) (z)=(n!/2πi)?_Cf(ζ)/(ζ-z)^(k+1)dζ
?@)n=1のとき
f(z)=1/( 2πi) ?_Cf(ζ)/((ζ-z) ) dζ
f(z+h)=1/( 2πi) ?_Cf(ζ)/(ζ-(z+Δz) ) dζ
f(z+h)-f(z)=1/( 2πi) ?_Cf(ζ)/(ζ-(z+h) )-f(ζ)/((ζ-z) ) dζ
=1/( 2πi) ?_Cf(ζ)((ζ-z)-(ζ-z-h))/(ζ-z-h)(ζ-z)dζ
=1/( 2πi) ?_Cf(ζ)(ζ-z-ζ+z+h)/(ζ-z-h)(ζ-z)dζ
=1/( 2πi) ?_Cf(ζ)h/(ζ-z-h)(ζ-z)dζ
=h/( 2πi) ?_Cf(ζ)/(ζ-z-h)(ζ-z)dζ
( f(z+h)-f(z))/h=1/( 2πi) ?_Cf(ζ)/(ζ-z-h)(ζ-z)dζ
h→0
f'(z)= f^((1)) (z)=1/2πi ?_C(f(ζ))/(ζ-z)^2dζ
?A)n=k(k=1,2,3,…)のとき
f^((k)) (z)=k!/2πi ?_C(f(ζ))/(ζ-z)^(k+1)dζ ⇒f^((k+1)) (z)=(k+1)!/( 2πi) ?_Cf(ζ)/(ζ-z)^(k+2)dζ
f^((k)(z+h)- f^((k) ) (z))/h
=k!/( 2πih) ?_Cf(ζ)/(ζ-(z+h))^(k+1) -f(ζ)/(ζ-z)^(k+1)dζ
=k!/( 2πih) ?_C((ζ-z)^(k+1)-(ζ-z-h)^(k+1))/((ζ-z-h)^(k+1) (ζ-z)^(k+1) ) f(ζ)dζ??※
(a+b)^(k+1)
=(_k+1^ )C_0 a^n b^0+(_k+1^ )C_1 a^(k+1-1) b^1+(_k+1^ )C_2 a^(k+1-2) b^2+?+(_k+1^ )C_r a^(k+1-r) b^r+?+b^(k+1)
=a^(k+1)+(k+1) a^k b+(_k+1^ )C_2 a^(k-1) b^2+?+(_k+1^ )C_r a^(k+1-r) b^r+? +b^(k+1)
(ζ-z-h)^(k+1)
=(ζ-z)^(k+1)-(k+1) (ζ-z)^k h + (_k+1^ )C_2 (ζ-z)^(k-1) h^2-?+h^(k+1)
(ζ-z)^(k+1)-(ζ-z-h)^(k+1)
=(k+1) (ζ-z)^k h-(_k+1^ )C_2 (ζ-z)^(k-1) h^2+?-h^(k+1)
( f^((k) ) (z+h)- f^((k) ) (z))/h
=k!/( 2πih) ?_C((k+1) (ζ-z)^k h-(_k+1^ )C_2 (ζ-z)^(k-1) h^2+?-h^(k+1))/((ζ-z-h)^(k+1) (ζ-z)^(k+1) ) f(ζ)dζ
=(k+1)!/( 2πi) ?_Cf(ζ)/((ζ-z-h)^(k+1) (ζ-z) ) dζ-k!/( 2πi) ?_C((_k+1^ )C_2 (ζ-z)^(k-1) h-?+h^k)/((ζ-z-h)^(k+1) (ζ-z)^(k+1) ) f(ζ)dζ
h→0
918: 与作 09/26(金)09:19 ID:46DqRb5V(1/3)調 AAS
n=2のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を無数に持つ。
X^2+Y^2=Z^2をy^2=(x+1)^2-x^2…(1)とおく。(y,xは有理数)
(1)を(y-1)(y+1)=2x…(2)とおく。
(2)は(y-1)=2のとき、(y+1)=xとなる。
(2)は成立つので、(y-1)(y+1)=k2x/kも成立つ。
∴n=2のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を無数に持つ。
919: 与作 09/26(金)12:17 ID:46DqRb5V(2/3)調 AAS
n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
X^3+Y^3=Z^3をy^3=(x+1)^3-x^3…(1)とおく。(y,xは有理数)
(1)を(y-1)(y^2+y+1)=3(x^2+x)…(2)とおく。
(2)は(y-1)=3のとき、(y^2+y+1)=(x^2+x)とならない。
(2)は成立たないので、(y-1)(y^2+y+1)=k3(x^2+x)/kも成立たない。
∴n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
920: 09/26(金)16:50 ID:Ek58bAv0(3/4)調 AAS
∫[0→π/2]( tan(x) )^(1/n) dx (n≧2)
∫_0^(π/2)?(tan(x))^(1/n) dx を求める。
t=?sin?^2 x=(sin(x))^2
?sin?^2 x=1-?cos?^2 x ?cos?^2 x=1-t
dt=2sin(x)cos(x)dx=2√t √(1-t) dx
dx=dt/(2√t √(1-t))=(t^(-1/2) (1-t)^(1/2))/2 dt
(sin(x))^(1/n)=(√t)^(1/n)=t^(1/2n) (cos(x))^(1/n)=(√(1-t))^(1/n)=(1-t)^(1/2n)
∫_0^(π/2)?(tan(x))^(1/n) dx=∫_0^(π/2)?( (sin(x))^(1/n))/( (cos(x))^(1/n) ) dx=∫_0^(π/2)?( t^(1/2n))/(1-t)^(1/2n) (t^(-1/2) (1-t)^(1/2))/2 dt
=1/2 ∫_0^(π/2)???t^(1/2n) (1-t)^(-1/2n) t?^(-1/2) (1-t)^(-1/2) ? dt
=1/2 ∫_0^(π/2)??t^(1/2n-1/2) (1-t)^(-1/2n-1/2) ? dt
=1/2 ∫_0^(π/2)??t^(1/2+1/2n-1) (1-t)^(1/2-1/2n-1) ? dt
=1/2 ∫_0^(π/2)??t^(1/2+1/2n-1) (1-t)^(1/2-1/2n-1) ? dt
(1/2) B(1/2+1/(2n), 1/2-1/(2n))
= (1/2) Γ( 1/2+1/(2n) ) Γ( 1/2-1/(2n) ) / Γ( 1/2+1/(2n) + 1/2-1/(2n) )
= (1/2) Γ(z) Γ(1-z) / Γ(1)
= (1/2) ( π/sin(πz) ) / 0！
= π/( 2 sin(πz) )
= π/( 2 sin(π/2+π/(2n)) )
= π/( 2 cos(π/(2n)) ).
921: 09/26(金)16:51 ID:Ek58bAv0(4/4)調 AAS
C:x=x(t),y=y(t)
OP↑=r(t)=(x(t),y(t))
OQ↑ ?=r(t+Δt)=(x(t+Δt),y(t+Δt))
Δs=|Δr|=|Δr(t+Δt)-r(t)|
RΔθ≒Δs,1/R=Δθ/Δs
1/R=lim[Δt→0](Δθ/Δs)=dθ/ds
dr/dt=rDt
r Dt=(x Dt,y Dt)
r ?(t+Δt)=(x ?(t+Δt),y ?(t+Δt))
r Dt=r ?=(x ?,y ?)
r ?(t+Δt)= r ?_Q=(x ?_Q,y ?_Q)
Δr ? ?Δr ?_Q ΔsinΔθ=det(r ?,r ?_Q)
ΔθΔsinΔθ=(det(r ?,r ?_Q))/Δr ? ?Δr ?_Q ?
922: 与作 09/26(金)18:37 ID:46DqRb5V(3/3)調 AAS
nが奇素数のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
X^n+Y^n=Z^nをy^n=(x+1)^n-x^n…(1)とおく。(y,xは有理数)
(1)を(y-1)(y^(n-1)+…+y+1)=n(x^(n-1)+…+x)…(2)とおく。
(2)は(y-1)=nのとき、(y^(n-1)+…+y+1)=(x^(n-1)+…+x)とならない。
(2)は成立たないので、(y-1)(y^(n-1)+…+y+1)=kn(x^(n-1)+…+x)/kも成立たない。
∴nが奇素数のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
923: 09/27(土)00:06 ID:vt9QpU1q(1/10)調 AAS
k^2 -3k + 2 = (k-1)(k-2) = 0 k = 1, 2
y''(t) - 3'y(t) + 2y(t) = 0
y0 = C1e^t + C2e^(2t)
v(t) = 1/(D-1)(D-2)*e^(-t)
= 1/(D-2)*e^(-t) - 1/(D-1)*e^(-t)
= (-1/3)e^(-t) + (1/2)e^(-t) = (1/6)e^(-t)
y(t) = C1e^t + C2e^(2t) + (1/6)e^(-t)
y(0) = C1 + C2 + 1/6 = 1/6
C1 + C2 = 0 …… ?
y'(t) = C1e^t + C2*2e^(2t) - (1/6)e^(-t)
y'(0) = C1 + C2*2 - 1/6 = 5/6
C1+ 2C2 = 1……?
??より
C1 = -1, C2= 1
y(t) = -e^t +e^(2t) + (1/6)e^(-t)
924: 09/27(土)00:07 ID:vt9QpU1q(2/10)調 AAS
M(θ)=E[e^θX ]=?_(x=0)^n▒e^θx f(x)=?_(x=0)^n▒e^θx (_n^ )C_x p^x (1-p)^(n-x)
=?_(x=0)^n▒〖(_n^ )C_x p^x e^θx (1-p)^(n-x) 〗 =?_(x=0)^n▒〖(_n^ )C_x (pe^θ )^x (1-p)^(n-x) 〗
=(pe^θ+1-p)^n
M^' (θ)=n(pe^θ+1-p)^(n-1) (pe^θ+1-p)^'=n(pe^θ+1-p)^(n-1) pe^θ
M^'' (θ)=np(e^θ (pe^θ+1-p)^(n-1) )^'
=np(e^θ (pe^θ+1-p)^(n-1)+e^θ ((pe^θ+1-p)^(n-1) )^' )
=np(e^θ (pe^θ+1-p)^(n-1)+e^θ ((n-1) (pe^θ+1-p)^(n-2) )pe^θ )
=npe^θ ((pe^θ+1-p)^(n-1)+pe^θ ((n-1) (pe^θ+1-p)^(n-2) ))
〖E[X]=M〗^' (0)=n(pe^0+1-p)^(n-1) pe^0=np
E[X^2 ]=M^'' (0)=npe^0 ((pe^0+1-p)^(n-1)+pe^0 ((n-1) (pe^0+1-p)^(n-2) ))
=np(1+p(n-1))
V[X]=E[X^2 ]-〖E[X]〗^2=M^'' (0)-〖M^' (0)〗^2
=np(1+p(n-1))-(np)^2
=np(1+p(n-1)-np)
=np(1-p)
925: 09/27(土)00:08 ID:vt9QpU1q(3/10)調 AAS
P(|X-μ|?kσ)?1/k^2
lim┬(n→∞)?P(|(X_1+X_2+?+X_n)/n-μ|?ε)=0
Y_n=(X_1+X_2+?+X_n)/n
E[Y_n ]= E[(X_1+X_2+?+X_n)/n]
=1/n (E[X_1 ]+E[X_2 ]+?+E[X_n ])=1/n nμ=μ
V[Y_n ]= V[(X_1+X_2+?+X_n)/n]
=1/n (V[X_1 ]+V[X_2 ]+?+V[X_n ])=1/n^2 nσ^2=σ^2/n
P(|X-μ|?kσ)?1/k^2 ??(#)
P(|Y_n-μ|?kσ/√n)?1/k^2
ε=kσ/√n を満たす k をとると k=(ε√n)/σ なので
P(|Y_n-μ|?k σ/√n)?σ^2/(ε^2 n)
lim┬(n→∞)??σ^2/(ε^2 n)?=0 なので
lim┬(n→∞)?P(|Y_n-μ|?ε)=lim┬(n→∞)?P(|(X_1+X_2+?+X_n)/n-μ|?ε)=0
926: 09/27(土)02:52 ID:vt9QpU1q(4/10)調 AAS
∫[0→π/2]( tan(x) )^(1/n) dx (n≧2)
∫_0^(π/2)?(tan(x))^(1/n) dx を求める。
t=?sin?^2 x=(sin(x))^2
?sin?^2 x=1-?cos?^2 x ?cos?^2 x=1-t
dt=2sin(x)cos(x)dx=2√t √(1-t) dx
dx=dt/(2√t √(1-t))=(t^(-1/2) (1-t)^(1/2))/2 dt
(sin(x))^(1/n)=(√t)^(1/n)=t^(1/2n) (cos(x))^(1/n)=(√(1-t))^(1/n)=(1-t)^(1/2n)
∫_0^(π/2)?(tan(x))^(1/n) dx=∫_0^(π/2)?( (sin(x))^(1/n))/( (cos(x))^(1/n) ) dx=∫_0^(π/2)?( t^(1/2n))/(1-t)^(1/2n) (t^(-1/2) (1-t)^(1/2))/2 dt
=1/2 ∫_0^(π/2)???t^(1/2n) (1-t)^(-1/2n) t?^(-1/2) (1-t)^(-1/2) ? dt
=1/2 ∫_0^(π/2)??t^(1/2n-1/2) (1-t)^(-1/2n-1/2) ? dt
=1/2 ∫_0^(π/2)??t^(1/2+1/2n-1) (1-t)^(1/2-1/2n-1) ? dt
=1/2 ∫_0^(π/2)??t^(1/2+1/2n-1) (1-t)^(1/2-1/2n-1) ? dt
(1/2) B(1/2+1/(2n), 1/2-1/(2n))
= (1/2) Γ( 1/2+1/(2n) ) Γ( 1/2-1/(2n) ) / Γ( 1/2+1/(2n) + 1/2-1/(2n) )
= (1/2) Γ(z) Γ(1-z) / Γ(1)
= (1/2) ( π/sin(πz) ) / 0！
= π/( 2 sin(πz) )
= π/( 2 sin(π/2+π/(2n)) )
= π/( 2 cos(π/(2n)) ).
927: 与作 09/27(土)10:58 ID:crfbY5u5(1/4)調 AAS
n=2のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を無数に持つ。
X^2+Y^2=Z^2をy^2=(x+1)^2-x^2…(1)とおく。(y,xは有理数)
(1)を(y-1)(y+1)=2x…(2)とおく。
(2)は(y-1)=2のとき、(y+1)=xとなる。
(2)は成立つので、(y-1)(y+1)=k2x/kも成立つ。
∴n=2のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を無数に持つ。
928: 09/27(土)12:23 ID:vt9QpU1q(5/10)調 AAS
z = φ(x,y)
r↑(x,y) = r↑( x, y, φ(x,y) )
∬_D φ(x,y)dxdy ･･････ (#1)
∬_S φ(x,y)dS･･････ (#2)
∬_S f(x,y,z)dS = ∬_S f(x,y,φ(x,y))dS = ･･････ (#3)
a↑ = ( dx, 0, (∂φ/∂x)dx ) = ( dx, 0, φ_x*dx )
b↑ = ( 0, dy, (∂φ/∂y)dy ) = ( 0, dy, φ_y*dy )
│i↑ j↑ k↑ │
a↑×b↑ =│dx, 0, (∂φ/∂x)dx│
│ 0, dy, (∂φ/∂y)dy│
( │0 (∂φ/∂x)dx│ │(∂φ/∂x)dx 1│ │dx 0│
= │1 (∂φ/∂y)dy│, │(∂φ/∂y)dy 0│,│0 dy│ )
= (-(∂φ/∂x)dx, (∂φ/∂y)dy, dxdy).
|a↑×b↑| = √( (∂φ/∂x)^2 + (∂φ/∂y)^2 + 1 )dxdy.
∬_S f(x,y,z)dS
= ∬_D f(x,y,φ(x,y))√( (∂φ/∂x)^2 + (∂φ/∂y)^2 + 1 )dxdy
r↑(u,v) = r↑( x(u,v), y(u,v), z(u,v) )
∂r↑/∂u = (∂x/∂u, ∂y/∂u, ∂z/∂u)
∂r↑/∂v = (∂x/∂v, ∂y/∂v, ∂z/∂v)
|∂r↑ ∂r↑ | |∂r↑ ∂r↑|
dS = |──-du×──-dv| = |──-×──-|dudv
| ∂u ∂v | | ∂u ∂v |
929: 09/27(土)12:24 ID:vt9QpU1q(6/10)調 AAS
∬_S f(x,y,z) dS
|∂r↑ ∂r↑|
= ∬_D f( x(u,v), y(u,v), z(u,v) )|──-×──-|dudv
| ∂u ∂v |
┌ ┐ ┌ ┐ ┌ ┐
│1│ │0│ │0│
i↑ =│0│, j↑=│1│, k↑=│0│
│0│ │0│ │1│
└ ┘ └ ┘ └ ┘
r↑(u,v) = x(u,v)i↑+ x(u,v)j↑+ z(u,v)k↑
∂r↑(u,v) ∂x(u,v) ∂y(u,v) ∂z(u,v)
───── = v(t)↑= ────-i↑+ ────-j↑+ ────-k↑
du du du du
┌ ┐ ┌ ┐
│∂x(u,v)/du│ │∂x/du│
=│∂y(u,v)/du│ =│∂y/du│
│∂z(u,v)/du│ │∂z/du│
└ ┘ └ ┘
┌ ┐ ┌ ┐
∂r↑(u,v) │∂x(u,v)/dv│ │∂x/dv│
───── =│∂y(u,v)/dv│ =│∂y/dv│
dv │∂z(u,v)/dv│ │∂z/dv│
└ ┘ └ ┘
df = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy
x = x(u,v)、y = y(u,v)、z = z(u,v)の全微分は
dx = (∂x/∂u)du + (∂x/∂v)dv
dy = (∂y/∂u)du + (∂y/∂v)dv
dz = (∂z/∂u)du + (∂z/∂v)dv
r↑(u,v) = ( x(u,v), y(u,v), z(u,v) )
┌ ┐
│(∂x/∂u)du + (∂x/∂v)dv│
dr↑ =│(∂y/∂u)du + (∂y/∂v)dv│
│(∂z/∂u)du + (∂z/∂v)dv│
└ ┘
930: 与作 09/27(土)16:01 ID:crfbY5u5(2/4)調 AAS
n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
X^3+Y^3=Z^3をy^3=(x+1)^3-x^3…(1)とおく。(y,xは有理数)
(1)を(y-1)(y^2+y+1)=3(x^2+x)…(2)とおく。
(2)は(y-1)=3のとき、(y^2+y+1)=(x^2+x)とならない。
(2)は成立たないので、(y-1)(y^2+y+1)=k3(x^2+x)/kも成立たない。
∴n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
931: 与作 09/27(土)17:31 ID:crfbY5u5(3/4)調 AAS
nが奇素数のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
X^n+Y^n=Z^nをy^n=(x+1)^n-x^n…(1)とおく。(y,xは有理数)
(1)を(y-1)(y^(n-1)+…+y+1)=n(x^(n-1)+…+x)…(2)とおく。
(2)は(y-1)=nのとき、(y^(n-1)+…+y+1)=(x^(n-1)+…+x)とならない。
(2)は成立たないので、(y-1)(y^(n-1)+…+y+1)=kn(x^(n-1)+…+x)/kも成立たない。
∴nが奇素数のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
932: 09/27(土)18:39 ID:vt9QpU1q(7/10)調 AAS
∂P(x,y)
?_C P(x,y)dx = -∬_D ────dxdy ･････ (#1)
∂y
∂P(x,y)
?_C P(x,y)dy = ∬_D ────dxdy ･････ (#2)
∂x
y = ±√(1-x^2), x = ±√(1-y^2)
φ1(x) = √(1-x^2), φ2(x) = -√(1-x^2)
ψ1(y) = √(1-y^2), ψ2(y) = -√(1-y^2)
b a
?_C P(x,y)dx = ∫ P( x,φ1(x) ) dx + ∫ P( x,φ2(x) ) dx
a b
b b
= ∫ P( x,φ1(x) ) dx - ∫P( x,φ2(x) ) dx
a a
b
= -{ ∫ P( x,φ2(x) ) - P( x,φ1(x) )dx }
a
b φ2(x)
= -{ ∫[P(x,y)] dy}
a φ1(x)
b φ2(x) ∂P(x,y) ∂P(x,y)
= -{ ∫∫ ────dy dx } = -∬_D ────dxdy
a φ1(x) ∂y ∂y
933: 09/27(土)18:39 ID:vt9QpU1q(8/10)調 AAS
d c
?_C P(x,y)dx = ∫ P( ψ2(y),y ) dy + ∫ P( ψ1(y),y ) dy
c d
d d
= ∫ P( ψ2(y),y ) dy - ∫P( ψ1(y),y ) dy
c c
d
= { ∫ P( ψ2(y),y ) - P( ψ1(y),y )dy }
c
d ψ2(y)
= -{ ∫[P(x,y)] dx}
c ψ1(y)
d ψ2(y) ∂P(x,y) ∂P(x,y)
= { ∫∫ ────dy dx } = ∬_D ────dxdy
c ψ1(y) ∂x ∂x
∂Q(x,y)
?_C Q(x,y)dx = -∬_D ────dxdy ･････ (#3)
∂y
∂Q(x,y)
?_C Q(x,y)dy = ∬_D ────dxdy ･････ (#4)
∂x
934: 09/27(土)18:40 ID:vt9QpU1q(9/10)調 AAS
∂Q(x,y) ∂P(x,y)
?_C P(x,y)dx + ?_C Q(x,y)dy = ∬_D ────dxdy - ∬_D ────dxdy ･････(#5)
dx dy
P(x,y) と Q(x,y) を3 次元空間内の xy 平面の領域 D で定義された関数 P(x,y,0)、Q(x,y,0)と考え
┌ ┐
│P(x,y,0)│
A↑=│Q(x,y,0)│
│ 0 │
└ ┘
┌ ┐
│ ↑i ↑j ↑k │ │ - ∂Q/∂z│
▽×A↑= rotA↑=│∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z│=│∂P/∂z │
│ P Q 0 │ │∂Q/∂x - ∂P/∂y│
└ ┘
n↑= (0, 0, 1).
rotA↑･n↑dS = (∂Q/∂x - ∂P/∂y)dS
∴∫rotA↑･n↑dS = ∬_D(∂Q/∂x - ∂P/∂y)dxdy ･････(#5-b)
935: 09/27(土)18:41 ID:vt9QpU1q(10/10)調 AAS
x = cosθ, y = sinθ
dx = -sinθdθ, dy = cosθdθ.
x:-1→1 θ:-π→π
?_C x^3 dx = -∫[-π〜π]cos^3θsinθdθ.
t = cosθ. dt = -sinθdt. θ:-π→π t:-1→1
-∫[-π〜π]cos^3θsinθdθ= ∫[-1〜1]t^3dt = 0
?_C x^3 dy = ∫[0-2π]cos^3θcosθdθ= ∫[0-2π]cos^4θdθ
= ∫[0-2π](3/8)+(1/2)cos2θ+(1/8)cos4θdθ
= (3/8)2π = 3π/4.
∂P/∂y = 0.
?_C x^3 dx = -∫[-π〜π]0*sinθdθ = 0.
∫0dx = F(x)= C.（常にF(x)= C ）
∫[a→b]0dx = F(b) - F(a) = C - C = 0
∂P/∂x = 3x^2.
?_C x^3 dx = ∬_D 3x^2 dxdy = 3∬_D x^2 dxdy
= 3∫[-1〜1]x^2 ∫[-√(1-x^2)〜√(1-x^2)]dy dx
= 3∫[-1〜1]x^2*2√(1-x^2)]dx
x = sint, dx = costdt. x:-1→1 t:-π/2→π/2
1 π/2
3∫x^2*2√(1-x^2)]dx = 3∫(sint)^2*2cost*cost dt
-1 -π/2
π/2 π/2
= 6∫(sint)^2*(cost)^2dt = 3/2∫(1-cos2t)(1+cos2t) dt
-π/2 -π/2
π/2
= 3/2∫(1-(cos2t)^2) dt
-π/2
π/2 π/2
= 3/2∫ dt - (3/4)∫1 + cos4t dt
-π/2 -π/2
= 3π/2 - 3π/4 = 3π/4
936: 与作 09/27(土)21:34 ID:crfbY5u5(4/4)調 AAS
ab=cdが成立つならば、
ab=kcd/kも成立つ。
937: 与作 09/28(日)10:11 ID:Y+IGluuV(1/3)調 AAS
ab=kcd/kが成立つならば、
a=kcのとき、b=d/kとなる。
938: 与作 09/28(日)20:13 ID:Y+IGluuV(2/3)調 AAS
n=2のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を無数に持つ。
X^2+Y^2=Z^2をy^2=(x+1)^2-x^2…(1)とおく。(y,xは有理数)
(1)を(y-1)(y+1)=2x…(2)とおく。
(2)は(y-1)=2のとき、(y+1)=xとなる。
(2)は成立つので、(y-1)(y+1)=k2x/kも成立つ。
∴n=2のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を無数に持つ。
939: 与作 09/28(日)22:09 ID:Y+IGluuV(3/3)調 AAS
n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
X^3+Y^3=Z^3をy^3=(x+1)^3-x^3…(1)とおく。(y,xは有理数)
(1)を(y-1)(y^2+y+1)=3(x^2+x)…(2)とおく。
(2)は(y-1)=3のとき、(y^2+y+1)=(x^2+x)とならない。
(2)は成立たないので、(y-1)(y^2+y+1)=k3(x^2+x)/kも成立たない。
∴n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
940(1): 09/29(月)06:30 ID:7S881PHT(1)調 AAS
実数や複素数の性質、解析学を全く使うことなしに、
フェルマの大定理の証明が果たしてできるのかはわからない。
941: 与作 09/29(月)10:19 ID:K6AP7y+r(1/4)調 AAS
>940
どうしてでしょうか？
942: 与作 09/29(月)10:22 ID:K6AP7y+r(2/4)調 AAS
私の証明が、証明になっていない点を教えてください。
943: 与作 09/29(月)19:00 ID:K6AP7y+r(3/4)調 AAS
nが奇素数のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
X^n+Y^n=Z^nをy^n=(x+1)^n-x^n…(1)とおく。(y,xは有理数)
(1)を(y-1)(y^(n-1)+…+y+1)=n(x^(n-1)+…+x)…(2)とおく。
(2)は(y-1)=nのとき、(y^(n-1)+…+y+1)=(x^(n-1)+…+x)とならない。
(2)は成立たないので、(y-1)(y^(n-1)+…+y+1)=kn(x^(n-1)+…+x)/kも成立たない。
∴nが奇素数のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
944: 与作 09/29(月)20:47 ID:K6AP7y+r(4/4)調 AAS
ab=cdが成立つならば、
ab=kcd/kも成立つ。
945: 09/29(月)22:06 ID:tsfKlyQm(1/8)調 AAS
r↑(θ,φ) = ( asinθcosφ, asinθsinφ, acosθ )
∂r↑/∂θ↑= ( acosθcosφ, acosθsinφ, -asinθ ).
∂r↑/∂φ↑= ( -asinθsinφ, asinθcosφ, 0 ).
∂r↑ ∂r↑
──×──
∂θ ∂φ
= ( |acosθsinφ -asinθ| |-asinθ acosθcosφ| | acosθcosφ, acosθsinφ|
|asinθcosφ 0 |, | 0 -asinθsinφ|, |-asinθsinφ, asinθcosφ | )
= ( a^2sin^2θcosφ, a^2sin^2θsinφ, a^2cos^2φsinθcosθ+ a^2sin^2φsinθcosθ )
= ( a^2sin^2θcosφ, a^2sin^2θsinφ, a^2sinθcosθ ).
|∂r↑ ∂r↑|
|──×── | = √( a^4sin^4θcos^2φ + a^4sin^4θsin^2φ+ a^4sin^2θcos^2θ)
|∂θ ∂φ |
= √( a^4sin^4θ + a^4sin^2θcos^2θ)
= √( a^4sin^2θ(sin^θ + cos^2θ) )
= √( a^4sin^2θ) = a^2sinθ.
∬_S 1 dS
|∂r↑ ∂r↑|
= ∬_D |──×── |dθdφ
|∂θ ∂φ |
= a^2∬[D] sinθdθdφ
= a^2∫[0,2π]dφ∫[0,π]sinθdθ
= 4πa^2
946: 09/29(月)22:07 ID:tsfKlyQm(2/8)調 AAS
S = |∂r↑/∂t×∂r↑/∂z|dtdz
=∫[0→3]∫[0→2π]2dtdz
=∫[0→3][2t][0→2π]dz
=∫[0→3]4πdz = 4π[z][0→3] = 12π.
S = |∂r↑/∂t×∂r↑/∂z|dtda
=∫[0→2]∫[0→2π]adtda
=∫[0→2][at][0→2π]dz
=∫[0→2]2πa]da = 2π[a^2/2][0→2] = 4π.
947: 09/29(月)22:09 ID:tsfKlyQm(3/8)調 AAS
A↑= ( f(x,y,z), g(x,y,z), h(x,y,z) )
∫∫∫divA↑dV = ∬A↑･n↑dS ･･････ (#1)
V S
┌ ┐┌ ┐
│∂/∂x││f│
divA↑= ∇･A↑ = │∂/∂y││g│= ∂f/∂x + ∂g/∂y + ∂h/∂z
│∂/∂z││h│
└ ┘└ ┘
α、β、γ（方向余弦）
┌ ┐┌ ┐
│f││cosα│
A↑･n↑ = │g││cosβ│= fcosα + gcosβ + hcosγ
│h││cosγ│
└ ┘└ ┘
∫∫∫(∂f/∂x + ∂g/∂y + ∂h/∂z)dV = ∬(fcosα + gcosβ + hcosγ)dS ･･････ (#2)
V S
∫∫∫∂h/∂z dV = ∬hcosγdS
V S
∫∫∫∂h/∂z dV =∫∫∫∂h(x,y,z)/∂z dzdydx
V V
948: 09/29(月)22:10 ID:tsfKlyQm(4/8)調 AAS
(sinz)^2 = (1-cos(2z))/2
1/(sinz)^2 = 2/(1-cos(2z))
= 2/{(2z)^2/2! - (2z)^4/4! + (2z)^6/6! - (2z)^8/8! + ･･･}
= (1/z^2)[1/{1-(2z)^2/4! + (2z)^4/6! - (2z)^6/8! + ･･･ }]
A = (2z)^2/4! - (2z)^4/6! + (2z)^6/8! - ･･･
1/(sinz)^2 = (1/z^2)(1+A+A^2+A^3+･･･)
1/z^2 + 1/12 - 11z^2/720 -･･･
z/(e^z-1)
= 1/(1+z/2! + z^2/3! + z^3/4! + ･･･
= 1 -(z/2!+z^2/3!+z^3/4!+･･･) + (z/2!+z^2/3!+z^3/4!+･･･)^2 - (z/2!+z^2/3!+z^3/4!+･･･)^3 + ･･･
= 1- z/2 + z^2/12 - z^4/720 + ･･･
949: 09/29(月)22:12 ID:tsfKlyQm(5/8)調 AAS
tan z = sin z / cos z
cos z の零点は、z = π/2 + mπ (m は整数)。
tan z は z = π/2 + mπ で一位の極をもつ(tan z の特異点)。
tan z = a/(z - α) + b + c(z - α) + ……
(z - α)tan z = a + b(z - α) + ??……?
α = π/2 + mπ では、z → α の極限を取り、
(z - α)tan z = sin z / {cos z/(z - α)}
→ sin α / cos' α = sin α / (- sin α) = - 1
z-pi/2=u とおくと、
tan(z) = -cos(u)/sin(u)
= (-1/u)*{1-u^2/2!+...}/{1-u^2/3!+...}
= (-1/u)*{1+3u^2+...}.
tan(z) = sin(z) / cos(z)
sin(z) は C 上特異点なし。
cos(z) の 零点 → tan(z) の特異点
cos(z) の 零点 (1/2+n) π
cos(z) = cos ( {z-(1/2+n)π} + (1/2+n)π )
= cos (z-(1/2+n)π)cos (1/2+n)π - sin(z-(1/2+n)π)sin (1/2+n)π
= (-1)^(n+1) sin (z-(1/2+n)π)
よって、
lim[z→(1/2+n)π](z-(1/2+n)π) / cos(z)
= (-1)^(n+1) lim[z→(1/2+n)π](z-(1/2+n)π) / sin(z - (1/2+n)π)
tan(z) = i{exp(2iz)-1}/{exp(2iz)+1}
z = (1/2+n)π
A = lim{z-(1/2+n)π}tan(z)
= lim i{exp(2iz)-1}/[{exp(2iz)+1}/{z-(1/2+n)π}]
A = 1
950: 09/29(月)22:13 ID:tsfKlyQm(6/8)調 AAS
∫[0→∞] (sin(x)/x)^2 dx
∫[0→∞] (sin(x)/x)^2 dx
= ∫[0→∞] (1/x^2) sin(x)^2 dx
= ∫[0→∞] (- 1/x)'sin(x)^2 dx
= [(- 1/x) sin(x)^2][0→∞] - ∫[0→∞] (- 1/x) (sin(x)^2)'dx
[(- 1/x) sin(x)^2][0→∞]
= [- sin(x)^2/x][0→∞]
= lim[x→∞](- sin(x)^2/x) - lim[x→0](- sin(x)^2/x)
= lim[x→∞](- sin(x)^2/x) - lim[x→0](- (sin(x)/x)^2 x)
= (- 0) - (- 1･0)
= 0
∫[0→∞] (- 1/x) (sin(x)^2)'dx
= ∫[0→∞] (- 1/x) 2 sin(x) cos(x) dx
= ∫[0→∞] (- 1/x) sin(2x) dx
= -∫[0→∞] sin(2x)/x dx
= -∫[0→∞] (sin(2x)/(2x))･2 dx
= -∫[0→∞] (sin(2x)/(2x)) (d (2x)/dx) dx
2x = t
∫[0→∞] (- 1/x) (sin(x)^2)'dx
= -∫[0→∞] (sin(t)/t) (dt/dx) dx
= -∫[0→∞] (sin(t)/t) dt
= -π/2
∫[0→∞] (sin(x)/x)^2 dx
= 0 - (- π/2)
= π/2
951: 09/29(月)22:15 ID:tsfKlyQm(7/8)調 AAS
I=∫[0→∞] sin2x cosx (1/x2)dx = (1/2)∫[0→∞] (sin2x sinx)(1/x2)dx
=(1/2){ [sin2x sinx(-1/x)][∞,0]
- ∫[0→∞] (2cos2x sinx + sin2x cosx) (-1/x)dx }
=(1/2)[ 0+∫[0→∞] (1/2){(sin3x-sinx) + (sin3x+sinx)}/x dx ]
=(1/4)∫[0→∞] (2sin3x)/x dx = (1/2)∫[0→∞] (sin3x)/(3x) d(3x)
=π/4・・・・・?
∫[0→∞] sin3x (1/x3)dx
=[sin3x (-1/2x2)][∞,0] - ∫[0→∞] 3sin2x cosx (-1/2x2)dx
(sin3x)/x2=sinx(sinx/x)2 → 0・1=0 (x→0) )
=-0+0+(3/2)∫[0→∞] (sin2x cosx)/x2 dx
=(3/2)∫[0→∞] (sin2x cosx)/x2 dx
= (3/2)I = 3π/8 (?から)
952: 09/29(月)22:16 ID:tsfKlyQm(8/8)調 AAS
?[0→∞]x^2/(x^2+1)^3dx＄
f(z) = z^2/(z^2+1)^3
Res[f(z),i]
= (1/2)lim_{z→i}{z^2/(z+i)^3}"
= (1/2)lim_{z→i}[2{z/(z+i)^3}'-3{z^2/(z+i)^4}']
= (1/2)lim_{z→i}[2{1/(z+i)^3-3z/(z+i)^4}-3{2z/(z+i)^4-4z^2/(z+i)^5}]
= (1/2)lim_{z→i}[2/(z+i)^3-12z/(z+i)^4+12z^2/(z+i)^5]
= lim_{z→i}[(z+i)^2-6z(z+i)+6z^2]/(z+i)^5
= lim_{z→i}(z^2-4iz-1)/(z+i)^5
= -i/16
∴∫_{C}f(z)dz
= i2πRes[f(z),i]
= π/8.
∫_{-R〜R}f(z)dz+∫_{Γ}f(z)dz = π/8
lim_{R→∞}∫_{Γ}f(z)dz
= lim_{R→∞}∫_{0〜π}[ie^(3it)/{Re^(2it)+1/R}^3]dt = 0
∴∫_{-∞〜∞}x^2/(x^2+1)^3dx = π/8.
∫_{0〜∞}x^2/(x^2+1)^3dx = π/16.
953: 与作 09/30(火)11:35 ID:zCyYE19J(1/4)調 AAS
ab=kcd/kが成立つならば、
a=kcのとき、b=d/kとなる。
954: 与作 09/30(火)18:28 ID:zCyYE19J(2/4)調 AAS
n=2のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を無数に持つ。
X^2+Y^2=Z^2をy^2=(x+1)^2-x^2…(1)とおく。(y,xは有理数)
(1)を(y-1)(y+1)=2x…(2)とおく。
(2)は(y-1)=2のとき、(y+1)=xとなる。
(2)は成立つので、(y-1)(y+1)=k2x/kも成立つ。
∴n=2のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を無数に持つ。
955: 与作 09/30(火)18:49 ID:zCyYE19J(3/4)調 AAS
n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
X^3+Y^3=Z^3をy^3=(x+1)^3-x^3…(1)とおく。(y,xは有理数)
(1)を(y-1)(y^2+y+1)=3(x^2+x)…(2)とおく。
(2)は(y-1)=3のとき、(y^2+y+1)=(x^2+x)とならない。
(2)は成立たないので、(y-1)(y^2+y+1)=k3(x^2+x)/kも成立たない。
∴n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
956: 与作 09/30(火)20:38 ID:zCyYE19J(4/4)調 AAS
nが奇素数のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
X^n+Y^n=Z^nをy^n=(x+1)^n-x^n…(1)とおく。(y,xは有理数)
(1)を(y-1)(y^(n-1)+…+y+1)=n(x^(n-1)+…+x)…(2)とおく。
(2)は(y-1)=nのとき、(y^(n-1)+…+y+1)=(x^(n-1)+…+x)とならない。
(2)は成立たないので、(y-1)(y^(n-1)+…+y+1)=kn(x^(n-1)+…+x)/kも成立たない。
∴nが奇素数のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
957: 10/01(水)13:03 ID:zxDjagoq(1)調 AAS
x = cosθ, y = sinθ
dx = -sinθdθ, dy = cosθdθ.
x:-1→1 θ:-π→π
?_C x^3 dx = -∫[-π〜π]cos^3θsinθdθ.
t = cosθ. dt = -sinθdt. θ:-π→π t:-1→1
-∫[-π〜π]cos^3θsinθdθ= ∫[-1〜1]t^3dt = 0
?_C x^3 dy = ∫[0-2π]cos^3θcosθdθ= ∫[0-2π]cos^4θdθ
= ∫[0-2π](3/8)+(1/2)cos2θ+(1/8)cos4θdθ
= (3/8)2π = 3π/4.
∂P/∂y = 0.
?_C x^3 dx = -∫[-π〜π]0*sinθdθ = 0.
∫0dx = F(x)= C.（常にF(x)= C ）
∫[a→b]0dx = F(b) - F(a) = C - C = 0
∂P/∂x = 3x^2.
?_C x^3 dx = ∬_D 3x^2 dxdy = 3∬_D x^2 dxdy
= 3∫[-1〜1]x^2 ∫[-√(1-x^2)〜√(1-x^2)]dy dx
= 3∫[-1〜1]x^2*2√(1-x^2)]dx
x = sint, dx = costdt. x:-1→1 t:-π/2→π/2
1 π/2
3∫x^2*2√(1-x^2)]dx = 3∫(sint)^2*2cost*cost dt
-1 -π/2
π/2 π/2
= 6∫(sint)^2*(cost)^2dt = 3/2∫(1-cos2t)(1+cos2t) dt
-π/2 -π/2
π/2
= 3/2∫(1-(cos2t)^2) dt
-π/2
π/2 π/2
= 3/2∫ dt - (3/4)∫1 + cos4t dt
-π/2 -π/2
= 3π/2 - 3π/4 = 3π/4
958: 与作 10/01(水)21:53 ID:grHnCAmh(1)調 AAS
ab=cdが成立つならば、
ab=kcd/kも成立つ。
959: 与作 10/02(木)12:16 ID:TswkfBUA(1)調 AAS
ab=kcd/kが成立つならば、
a=kcのとき、b=d/kとなる。
960: 10/03(金)07:02 ID:cs4+xj87(1/2)調 AAS
tan z = sin z / cos z
cos z の零点は、z = π/2 + mπ (m は整数)。
tan z は z = π/2 + mπ で一位の極をもつ(tan z の特異点)。
tan z = a/(z - α) + b + c(z - α) + ……
(z - α)tan z = a + b(z - α) + ??……?
α = π/2 + mπ では、z → α の極限を取り、
(z - α)tan z = sin z / {cos z/(z - α)}
→ sin α / cos' α = sin α / (- sin α) = - 1
z-pi/2=u とおくと、
tan(z) = -cos(u)/sin(u)
= (-1/u)*{1-u^2/2!+...}/{1-u^2/3!+...}
= (-1/u)*{1+3u^2+...}.
tan(z) = sin(z) / cos(z)
sin(z) は C 上特異点なし。
cos(z) の 零点 → tan(z) の特異点
cos(z) の 零点 (1/2+n) π
cos(z) = cos ( {z-(1/2+n)π} + (1/2+n)π )
= cos (z-(1/2+n)π)cos (1/2+n)π - sin(z-(1/2+n)π)sin (1/2+n)π
= (-1)^(n+1) sin (z-(1/2+n)π)
よって、
lim[z→(1/2+n)π](z-(1/2+n)π) / cos(z)
= (-1)^(n+1) lim[z→(1/2+n)π](z-(1/2+n)π) / sin(z - (1/2+n)π)
tan(z) = i{exp(2iz)-1}/{exp(2iz)+1}
z = (1/2+n)π
A = lim{z-(1/2+n)π}tan(z)
= lim i{exp(2iz)-1}/[{exp(2iz)+1}/{z-(1/2+n)π}]
A = 1
961: 与作 10/03(金)11:55 ID:BeuOGtss(1/3)調 AAS
n=2のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を無数に持つ。
X^2+Y^2=Z^2をy^2=(x+1)^2-x^2…(1)とおく。(y,xは有理数)
(1)を(y-1)(y+1)=2x…(2)とおく。
(2)は(y-1)=2のとき、(y+1)=xとなる。
(2)は成立つので、(y-1)(y+1)=k2x/kも成立つ。
∴n=2のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を無数に持つ。
962: 10/03(金)12:55 ID:cs4+xj87(2/2)調 AAS
∫[0→∞] (sin(x)/x)^2 dx
∫[0→∞] (sin(x)/x)^2 dx
= ∫[0→∞] (1/x^2) sin(x)^2 dx
= ∫[0→∞] (- 1/x)'sin(x)^2 dx
= [(- 1/x) sin(x)^2][0→∞] - ∫[0→∞] (- 1/x) (sin(x)^2)'dx
[(- 1/x) sin(x)^2][0→∞]
= [- sin(x)^2/x][0→∞]
= lim[x→∞](- sin(x)^2/x) - lim[x→0](- sin(x)^2/x)
= lim[x→∞](- sin(x)^2/x) - lim[x→0](- (sin(x)/x)^2 x)
= (- 0) - (- 1･0)
= 0
∫[0→∞] (- 1/x) (sin(x)^2)'dx
= ∫[0→∞] (- 1/x) 2 sin(x) cos(x) dx
= ∫[0→∞] (- 1/x) sin(2x) dx
= -∫[0→∞] sin(2x)/x dx
= -∫[0→∞] (sin(2x)/(2x))･2 dx
= -∫[0→∞] (sin(2x)/(2x)) (d (2x)/dx) dx
2x = t
∫[0→∞] (- 1/x) (sin(x)^2)'dx
= -∫[0→∞] (sin(t)/t) (dt/dx) dx
= -∫[0→∞] (sin(t)/t) dt
= -π/2
∫[0→∞] (sin(x)/x)^2 dx
= 0 - (- π/2)
= π/2
963: 与作 10/03(金)14:14 ID:BeuOGtss(2/3)調 AAS
n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
X^3+Y^3=Z^3をy^3=(x+1)^3-x^3…(1)とおく。(y,xは有理数)
(1)を(y-1)(y^2+y+1)=3(x^2+x)…(2)とおく。
(2)は(y-1)=3のとき、(y^2+y+1)=(x^2+x)とならない。
(2)は成立たないので、(y-1)(y^2+y+1)=k3(x^2+x)/kも成立たない。
∴n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
964: 与作 10/03(金)19:47 ID:BeuOGtss(3/3)調 AAS
nが奇素数のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
X^n+Y^n=Z^nをy^n=(x+1)^n-x^n…(1)とおく。(y,xは有理数)
(1)を(y-1)(y^(n-1)+…+y+1)=n(x^(n-1)+…+x)…(2)とおく。
(2)は(y-1)=nのとき、(y^(n-1)+…+y+1)=(x^(n-1)+…+x)とならない。
(2)は成立たないので、(y-1)(y^(n-1)+…+y+1)=kn(x^(n-1)+…+x)/kも成立たない。
∴nが奇素数のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
965: 与作 10/04(土)10:48 ID:IyD+R4lh(1/4)調 AAS
ab=cdが成立つならば、
ab=kcd/kも成立つ。
966: 10/04(土)12:50 ID:ay8RJHln(1/7)調 AAS
y'''(x) + 6y''(x) + 12y'(x) + 8y(x) = 5x^2e^(-2x) ･････(#)
y''' + 6y'' + 12y' + 8y = 5x^2e^(-2x), y(0) = 0, y'(0) = 5, y''(0) = 4
D^3 + 6D^2 + 12D + 8 = (D+2)^3 = 0
D = -2（3重解）
Y = (Cx^2+Bx+A)e^(-2x)
((D+2)^3)y = 5(x^2)e^(-2x)
y0 = 5(x^2)e^(-2x)/(D+2)^3
= 5e^(-2x)/( (2+1)(2+2)(2+3) )x^(2+3)
= (x^5/12)e^(-2x)
y(x) = (Cx^2+Bx+A)e^(-2x) + (x^5/12)e^(-2x)
y(0) = 0, y'(0) = 5, y''(0) = 4 のときの特殊解
y(0) = A = 0
y(x) = Cx^2*e^(-2x) + Bx*e^(-2x) + (x^5/12)e^(-2x)
y'(x) = C2xe^(-2x) - 2Cx^2*e^(-2x)
+ B*e^(-2x) - 2Bx*e^(-2x)
+ (5/12)5x^4*e^(-2x) - 2(x^5/12)*e^(-2x)
y'(0) = B = 5
y'(x) = 2Cxe^(-2x) - 2Cx^2*e^(-2x)
+ 5*e^(-2x) - 10x*e^(-2x)
+ (5/12)5x^4*e^(-2x) - 2(x^5/12)*e^(-2x)
y''(x) = 2Ce^(-2x) + 4Cxe^(-2x) - ( 4Cx*e^(-2x) - 2Cx^2(-2)e^(-2x) )
+ (-2)5*e^(-2x) - (10*e^(-2x) - 2*10x*e^(-2x) )
+ (5/12)20x^3*e^(-2x) - 2(5/12)5x^4*e^(-2x)
- ( 2(4x^4/12)*e^(-2x) - 2*2(x^5/12)*e^(-2x) )
y''(0) = 2C - 10 - 10 = 4
C = 12
∴y(x) = ( 12x^2+5x+(x^5/12) )e^(-2x)
967: 10/04(土)12:52 ID:ay8RJHln(2/7)調 AAS
x1' = -2x1 + x2.
x2' = x1 - 2x2.
┌ ┐ ┌ ┐┌ ┐
│x1'│=│-2 1││x1│
│x2'│ │ 1 -2││x2│
└ ┘ └ ┘└ ┘.
┌ ┐
A =│-2 1│
│ 1 -2│
└ ┘.
┌ ┐ ┌ ┐ ┌ ┐
LE - A =│L 0│-│-2 1│=│L+2 -1│
│0 L│ │ 1 -2│ │-1 L+2│
└ ┘ └ ┘ └ ┘.
│L+2 -1│
│-1 L+2│= (L+2)(L+2) - 1
= L^2 + 4L + 4 - 1
= L^2 + 4L + 3
= (L+1)(L+3) = 0. L = -1, -3.
L = -1:
┌ ┐ ┌ ┐┌ ┐ ┌ ┐
V1↑=│v1│ AV1↑= -V1↑. │-2 1││v1│= -│v1│
│v2│ │ 1 -2││v2│ │v2│
└ ┘. └ ┘└ ┘ └ ┘.
-2v1 + v2 = -v1. v2 = v1.
v1 - 2v2 = -v2. v1 = v2.
968: 10/04(土)12:53 ID:ay8RJHln(3/7)調 AAS
v1 = v1 = 1
┌ ┐
V1↑=│1│
│1│
└ ┘.
L = -3:
┌ ┐ ┌ ┐┌ ┐ ┌ ┐
V2↑=│v1│ AV2↑= -3V2↑. │-2 1││v1│= -3│v1│
│v2│ │ 1 -2││v2│ │v2│
└ ┘. └ ┘└ ┘ └ ┘.
-2v1 + v2 = -3v1. v2 = -v1.
v1 - 2v2 = -3v2. v1 = -v2.
v2 = 1
┌ ┐
v2↑=│-1│
│ 1│
└ ┘.
┌ ┐
P =［V1↑ V2↑］=│1 -1│
│1 1│
└ ┘.
AP = A[V1↑ V2↑] = [AV1↑ AV2↑]
┌ ┐ ┌ ┐
=［-V1↑ -3V2↑］=［V1↑ V2↑］│-1 0│= P│-1 0│
│ 0 -3│ │ 0 -3│
└ ┘ └ ┘.
┌ ┐ ┌ ┐ ┌ ┐
AP =│-1 0│= P│-1 0│ ∴ P^(-1)AP =│-1 0│
│ 0 -3│ │ 0 -3│ │ 0 -3│
└ ┘ └ ┘. └ ┘.
┌ ┐ ┌ ┐┌ ┐
│x1'│=│-2 1││x1│
│x2'│ │ 1 -2││x2│
└ ┘ └ ┘└ ┘.
969: 10/04(土)12:54 ID:ay8RJHln(4/7)調 AAS
X'↑= AX↑･････ (#1)
u↑ = P^(-1)X↑
X↑= Pu↑･････ (#2)
X'↑= APu↑
X'↑= Pu'↑
Pu'↑ = APu↑.
P^(-1)Pu'↑ = P^(-1)APu↑.
┌ ┐
u'↑ = P^(-1)APu↑=│-1 0│u↑.
│ 0 -3│
└ ┘
┌ ┐ ┌ ┐┌ ┐
│u1'│=│-1 0││u1│
│u2'│ │ 0 -3││u2│
└ ┘ └ ┘└ ┘.
u1'= -u1. ∴u1 = C1e^(-t).
u2'= -3u2. ∴u2 = C2e^(-3t).
X↑ = P u↑
┌ ┐ ┌ ┐┌ ┐
│x1│=│1 -1││C1e^(-t) │
│x2│ │1 1││C2e^(-3t)│
└ ┘ └ ┘└ ┘.
x1 = C1e^(-t) - C2e^(-3t).
x2 = C1e^(-t) + C2e^(-3t).
970: 10/04(土)13:00 ID:ay8RJHln(5/7)調 AAS
tan(1) = P/Q
1 1 1 (-1)^n
sin(1) = 1 - ── + ── - ── + … + ──── … .
3! 5! 7! (2n+1)!
1 1 1 (-1)^n
cos(1) = 1 - ── + ── - ── + … + ──── … .
2! 4! 6! (2n)!
1 1 1 1 1
sin(1) = 1 - ── + ── - ── + … + ──── - ──── + … .
3! 5! 7! (4P+1)! (4P+3)!
1 1 1 1 1
cos(1) = 1 - ── + ── - ── + … + ─── - ──── + … .
2! 4! 6! (4P)! (4P+2)!
(4P)! (4P)! (4P)!
sin(1)(4P)! = (4P)! - ─── + ─── - ── + … - 4P
3! 5! 7!
1 1
+ ─── - ────────── + … = A + s.
(4P+1) (4P+1)(4P+2)(4P+3)
971: 10/04(土)13:01 ID:ay8RJHln(6/7)調 AAS
(4P)! (4P)! (4P)!
cos(1)(4P)! = (4P)! - ─── + ─── - ─── + … + 1
2! 4! 6!
1 1
- ────── + ──────────── - …
(4P+1)(4P+2) (4P+1)(4P+2)(4P+3)(4P+4)
1 1
- (────── - ──────────── + …) = B - t.
(4P+1)(4P+2) (4P+1)(4P+2)(4P+3)(4P+4)
(A、B は整数)
1 1
s = ─── - ─────────-
(4P+1) (4P+1)(4P+2)(4P+3)
1 1
+ ─────────────── - ───────────────────── + … .
(4P+1)(4P+2)(4P+3)(4P+4)(4P+5) (4P+1)(4P+2)(4P+3)(4P+4)(4P+5)(4P+6)(4P7)
s = 1/(4P+1)
1 1
- ( ────────── - ───────────────
(4P+1)(4P+2)(4P+3) (4P+1)(4P+2)(4P+3)(4P+4)(4P+5)
1 1
+ ────────── - ──────────- + … )
(4P+1)(4P+2)…(4P7) (4P+1)(4P+2)…(4P9)
= 1/(4P+1) - j( j > 0). ∴0 < s < 1/(4P+1).
972: 10/04(土)13:02 ID:ay8RJHln(7/7)調 AAS
1 1
t = ─────── - ─────────────
(4P+1)(4P+2) (4P+1)(4P+2)(4P+3)(4P+4)
1
+ ────────── - ────────── + … > 0
(4P+1)(4P+2)…(4P+6) (4P+1)(4P+2)…(4P+8)
1
t = ───────
(4P+1)(4P+2)
1 1
- (────────── - ────────── + … )
(4P+1)(4P+2)…(4P+4) (4P+1)(4P+2)…(4P+6)
= 1/(4P+1)(4P+2) - k( k > 0). ∴0 < t < 1/(4P+1)(4P+2).
P A+s
── = ───. PB - Pt = QA + Qs.
Q B-t
PB - QA = Pt + Qs.
0 < Pt < P/(4P+1)(4P+2) < 1.
0 < Qs < Q/(4P+1) < 1.
P/Q = tan(1) > tan(π/4) = 1 より P > Q
P Q
0 < Pt + Qs < ─────── + ───
(4P+1)(4P+2) 4P+1
P + Q(4P+2) P + P(4P+2) P(4P+3)
= ─────── < ─────── = ────── < 1
(4P+1)(4P+2) (4P+1)(4P+2) (4P+1)(4P+2)
∴0 < Pt + Qs < 1.
973: 与作 10/04(土)16:01 ID:IyD+R4lh(2/4)調 AAS
ab=kcd/kが成立つならば、
a=kcのとき、b=d/kとなる。
974: 与作 10/04(土)18:58 ID:IyD+R4lh(3/4)調 AAS
n=2のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を無数に持つ。
X^2+Y^2=Z^2をy^2=(x+1)^2-x^2…(1)とおく。(y,xは有理数)
(1)を(y-1)(y+1)=2x…(2)とおく。
(2)は(y-1)=2のとき、(y+1)=xとなる。
(2)は成立つので、(y-1)(y+1)=k2x/kも成立つ。
∴n=2のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を無数に持つ。
975: 与作 10/04(土)21:53 ID:IyD+R4lh(4/4)調 AAS
n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
X^3+Y^3=Z^3をy^3=(x+1)^3-x^3…(1)とおく。(y,xは有理数)
(1)を(y-1)(y^2+y+1)=3(x^2+x)…(2)とおく。
(2)は(y-1)=3のとき、(y^2+y+1)=(x^2+x)とならない。
(2)は成立たないので、(y-1)(y^2+y+1)=k3(x^2+x)/kも成立たない。
∴n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
976: 10/05(日)00:21 ID:RAyhnXPg(1/6)調 AAS
y'''(x) + 6y''(x) + 12y'(x) + 8y(x) = 5x^2e^(-2x) ･････(#)
y''' + 6y'' + 12y' + 8y = 5x^2e^(-2x), y(0) = 0, y'(0) = 5, y''(0) = 4
D^3 + 6D^2 + 12D + 8 = (D+2)^3 = 0
D = -2（3重解）
Y = (Cx^2+Bx+A)e^(-2x)
((D+2)^3)y = 5(x^2)e^(-2x)
y0 = 5(x^2)e^(-2x)/(D+2)^3
= 5e^(-2x)/( (2+1)(2+2)(2+3) )x^(2+3)
= (x^5/12)e^(-2x)
y(x) = (Cx^2+Bx+A)e^(-2x) + (x^5/12)e^(-2x)
y(0) = 0, y'(0) = 5, y''(0) = 4 のときの特殊解
y(0) = A = 0
y(x) = Cx^2*e^(-2x) + Bx*e^(-2x) + (x^5/12)e^(-2x)
y'(x) = C2xe^(-2x) - 2Cx^2*e^(-2x)
+ B*e^(-2x) - 2Bx*e^(-2x)
+ (5/12)5x^4*e^(-2x) - 2(x^5/12)*e^(-2x)
y'(0) = B = 5
y'(x) = 2Cxe^(-2x) - 2Cx^2*e^(-2x)
+ 5*e^(-2x) - 10x*e^(-2x)
+ (5/12)5x^4*e^(-2x) - 2(x^5/12)*e^(-2x)
y''(x) = 2Ce^(-2x) + 4Cxe^(-2x) - ( 4Cx*e^(-2x) - 2Cx^2(-2)e^(-2x) )
+ (-2)5*e^(-2x) - (10*e^(-2x) - 2*10x*e^(-2x) )
+ (5/12)20x^3*e^(-2x) - 2(5/12)5x^4*e^(-2x)
- ( 2(4x^4/12)*e^(-2x) - 2*2(x^5/12)*e^(-2x) )
y''(0) = 2C - 10 - 10 = 4
C = 12
∴y(x) = ( 12x^2+5x+(x^5/12) )e^(-2x)
977: 10/05(日)00:23 ID:RAyhnXPg(2/6)調 AAS
y''(t) - 4y'(t) + 4y(t) = 6te^(2t), y(0) = 2, y'(0) = 4
L[y''(t)] = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) = s^2Y(s) - 2s - 4.
L[4y'(t)] = 4( sY(s) - y(0) ) = 4sY(s) - 8.
L[4y(t)] = 4Y(s).
L[6te^(2t)] = 6/(s-2)^2.
s^2Y(s) - 2s - 4 - (4sY(s) - 8) + 4Y(s)
= Y(s)( s^2 - 4s + 4) - 2s + 4 = 6/(s-2)^2.
Y(s)(s-2)^2 = 2s - 4 + 6/(s-2)^2 = 2(s-2) + 6/(s-2)^2.
Y(s) = 2/(s-2) + 6/(s-2)^4.
Y(s) = F(s-2) とおくと
L^(-1)[F(s-2)] = e^(2t)L^(-1)[F(s)]
= e^(2t)L^(-1)[2/s + 6/s^(3+1)]
= e^(2t)(2 + 6t^3/3!)
= e^(2t)(2 + t^3)
------------------------------------------
k^2 -4k + 4 = (k-2)^2 = 0. k = 2.
y''(t) - 4'y(t) + 4y(t) = 0
y0 = C1e^(2t) + C2te^(2t).
y1 = 1/(D-2)^2*6te^(2t)
= 1/(D-2)( 1/(D-2)*6te^(2t) )
= 1/(D-2)( e^(2t)(1/D)6t )
= 1/(D-2)( e^(2t)3t^2 )
= e^(2t)(1/D)3t^2
= e^(2t)*t^3
y(t) = C1e^(2t) + C2te^(2t) + e^(2t)*t^3.
y(0) = C1 = 2.
y'(t) = C1*2e^(2t) + C2( e^(2t) + t*2e^(2t) ) + 2e^(2t)*t^3 + e^(2t)*3t^2
y'(0) = 2*2 + C2 = 4. C2 = 0.
y~(t) = 2e^(2t) + e^(2t)･t^3.
= e^(2t)(2 + t^3)
978: 10/05(日)00:25 ID:RAyhnXPg(3/6)調 AAS
2/{z(z-1)(z-2)}
(1)
f(z)=2/{z(z-1)(z-2)}
=(2/z){-1/(z-1)+1/(z-2)}
=(2/z)(1/z)[-1/{1-(1/z)}+1/{1-(2/z)}]
=(2/z^2){-1/(1-a)+1/(1-b)}
ただし、a=1/z、b=2/z であり、ともに |a|<1、|b|<1 を満たす。従って、
f(z)=(2/z^2){-(1+a+a^2+a^3+…)-(1+b+b^2+b^3+…)}
=(2/z^2)Σ[n=0→∞]{a^n+b^n}
=(2/z^2)Σ[n=0→∞]{(1/z)^n+(2/z)^n}
=2Σ[n=0→∞](1+2^n)z^(-n-2)
|z/2|<1、|1/z|<1
f(z)=2/{z(z-1)(z-2)}
=(2/z){-1/(z-1)+1/(z-2)}
=(2/z){1/(1-z)+(1/z)(1/{1-(2/z)})}
=(2/z){Σ[n=0→∞]z^n+(1/z)Σ[n=0→∞](2/z)^n}
=(2/z){Σ[n=0→∞]z^n+Σ[n=0→∞]2^nz^(-n-1)}
=2Σ[n=0→∞]{z^(n-1)+2^nz^(-n-2)}
0<|z|<1
f(z)=2/{z(z-1)(z-2)}
=(2/z){-1/(z-1)+1/(z-2)}
=(2/z){1/(1-z)-1/(2-z)}
=(2/z){1/(1-z)-(1/2)(1/{1-(z/2)})}
=(2/z)Σ[n=0→∞]{z^n-(1/2)(z/2)^n}
=(2/z)Σ[n=0→∞]{1-2^(-n-1)}z^n
=2Σ[n=0→∞]{1-2^(-n-1)}z^(n-1)
979: 10/05(日)00:27 ID:RAyhnXPg(4/6)調 AAS
tan z = (sin z)/(cos z),
lim[z→π/2] (z - π/2)^1 tan z
= lim[z→π/2] (sin z)/{ cos z - cos(π/2))/(z - π/2) }
= sin(π/2)/cos’(π/2)
= sin(π/2)/{ -sin(π/2) }
= -1.
tan z = Σ[k=-1→∞] (c_k)(x - π/2)^k と書けます。
(z - π/2) tan z = Σ[j=0→∞] (c_(j-1))(x - π/2)^j です。 ←[2]
(d/dz)^m { (z - π/2) tan z } = Σ[j=m→∞] (c_(j-1))(jPm)(x - π/2)^(j-m) で、
lim[z→π/2] (d/dz)^m { (z - π/2) tan z } = c_(m-1) (m！) となります。
c_(-1) = lim[z→π/2] (d/dz)^0 { (z - π/2) tan z }/(0！)
= lim[z→π/2] { (z - π/2) tan z }/1
= -1,
c_0 = lim[z→π/2] (d/dz) { (z - π/2) tan z }/(1！)
= lim[z→π/2] { 1tan z + (z - π/2)/(cos z)^2 }/1
= lim[z→π/2] { (sin z)(cos z) + (z - π/2) }/(cos z)^2
= lim[z→π/2] { (d/dz) { (sin z)(cos z) + (z - π/2) } }/{ (d/dz) (cos z)^2 }
= lim[z→π/2] { cos(2z) + 1 }/{ - sin(2z) }
= ( -1 + 1 )/(-1)
= 0,
c_1 = lim[z→π/2] (d/dz)^2 { (z - π/2) tan z }/(2！)
= lim[z→π/2] (d/dz) { tan z + (z - π/2)/(cos z)^2 }/2
= lim[z→π/2] { 2/(cos z)^2 + (z - π/2)(2 sin z)/(cos z)^3 }/2
= lim[z→π/2] { (cos z) + (z - π/2)(sin z) }/(cos z)^3
= lim[z→π/2] { (d/dz) { (cos z) + (z - π/2)(sin z) } }/{ (d/dz) (cos z)^3 }
= lim[z→π/2] { (z - π/2)(cos z) }/{ 3 (cos z)^2 (- sin z) }
= lim[z→π/2] (-1/3)(1/sin z)/{ (cos z - 0)/(z - π/2) }
= (-1/3)(1/1)/{ -1 }
= 1/3.
980: 10/05(日)05:28 ID:RAyhnXPg(5/6)調 AAS
(1)
┌ ┐
│1 2 3 4 5 6 7 8 9│= (5 3 9 8 7 2 1 4 6) = (6 2)(1 7)(4 8)(2 9)(1 5)
│5 3 9 8 7 2 1 4 6│
└ ┘
┌ ┐ ┌ ┐ ┌ ┐
│1 2 3 4 5 6 7 8 9│(1 5)→│1 2 3 4 5 6 7 8 9│(2 3)→│1 2 3 4 5 6 7 8 9│(2 9)→
│1 2 3 4 5 6 7 8 9│ │5 2 3 4 1 6 7 8 9│ │5 3 2 4 1 6 7 8 9│
└ ┘ └ ┘ └ ┘
│1 2 3 4 5 6 7 8 9│(4 8)→│1 2 3 4 5 6 7 8 9│(1 7)→│1 2 3 4 5 6 7 8 9│(6 2)→
│5 3 9 4 1 6 7 8 2│ │5 3 9 8 1 6 7 4 2│ │5 3 9 8 7 6 1 4 2│
└ ┘ └ ┘ └ ┘
┌ ┐
│1 2 3 4 5 6 7 8 9│
│5 3 9 8 7 2 1 4 6│
└ ┘
(2)
┌ ┐
│1 2 3 4 5 6 7 8 9│= (3 4 6 7 8 9)
│1 2 4 6 5 7 8 9 3│
└ ┘
┌ ┐ ┌ ┐ ┌ ┐
│1 2 3 4 5 6 7 8 9│(3 4) →│1 2 3 4 5 6 7 8 9│(3 6)→│1 2 3 4 5 6 7 8 9│(3 7)→
│1 2 3 4 5 6 7 8 9│ │1 2 4 3 5 6 7 8 9│ │1 2 4 6 5 3 7 8 9│
└ ┘ └ ┘ └ ┘
┌ ┐ ┌ ┐ ┌ ┐
│1 2 3 4 5 6 7 8 9│(3 8)→│1 2 3 4 5 6 7 8 9│(3 9)→│1 2 3 4 5 6 7 8 9│
│1 2 4 6 5 7 3 8 9│ │1 2 4 6 5 7 8 3 9│ │1 2 4 6 5 7 8 9 3│
└ ┘ └ ┘ └ ┘
┌ ┐
∴│1 2 3 4 5 6 7 8 9│= (3 4 6 7 8 9) = (3 9)(3 8)(3 7)(3 6)(3 4)
│1 2 4 6 5 7 8 9 3│
└ ┘
981: 10/05(日)05:29 ID:RAyhnXPg(6/6)調 AAS
(3)
┌ ┐
│1 2 3 4 5 6 7 8 9│
│3 7 4 6 8 1 9 5 2│
└ ┘
┌ ┐ ┌ ┐ ┌ ┐
│1 2 3 4 5 6 7 8 9│(1 3)→│1 2 3 4 5 6 7 8 9│(2 7)→│1 2 3 4 5 6 7 8 9│(1 4)→
│1 2 3 4 5 6 7 8 9│ │3 2 1 4 5 6 7 8 9│ │3 7 1 4 5 6 2 8 9│
└ ┘ └ ┘ └ ┘ ┌ ┐ ┌ ┐ ┌ ┐
│1 2 3 4 5 6 7 8 9│(1 6)→│1 2 3 4 5 6 7 8 9│(5 8)→│1 2 3 4 5 6 7 8 9│(2 9)→
│3 7 4 1 5 6 2 8 9│ │3 7 4 6 5 1 2 8 9│ │3 7 4 6 8 1 2 5 9│
└ ┘ └ ┘ └ ┘
┌ ┐
│1 2 3 4 5 6 7 8 9│
│3 7 4 6 8 1 9 5 2│
└ ┘
982: 与作 10/05(日)19:27 ID:FSNS4f6G(1)調 AAS
nが奇素数のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
X^n+Y^n=Z^nをy^n=(x+1)^n-x^n…(1)とおく。(y,xは有理数)
(1)を(y-1)(y^(n-1)+…+y+1)=n(x^(n-1)+…+x)…(2)とおく。
(2)は(y-1)=nのとき、(y^(n-1)+…+y+1)=(x^(n-1)+…+x)とならない。
(2)は成立たないので、(y-1)(y^(n-1)+…+y+1)=kn(x^(n-1)+…+x)/kも成立たない。
∴nが奇素数のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
983: 10/06(月)05:02 ID:1Ye8GrkS(1/6)調 AAS
∂P(x,y)
?_C P(x,y)dx = -∬_D ────dxdy ･････ (#1)
∂y
∂P(x,y)
?_C P(x,y)dy = ∬_D ────dxdy ･････ (#2)
∂x
y = ±√(1-x^2), x = ±√(1-y^2)
φ1(x) = √(1-x^2), φ2(x) = -√(1-x^2)
ψ1(y) = √(1-y^2), ψ2(y) = -√(1-y^2)
b a
?_C P(x,y)dx = ∫ P( x,φ1(x) ) dx + ∫ P( x,φ2(x) ) dx
a b
b b
= ∫ P( x,φ1(x) ) dx - ∫P( x,φ2(x) ) dx
a a
b
= -{ ∫ P( x,φ2(x) ) - P( x,φ1(x) )dx }
a
b φ2(x)
= -{ ∫[P(x,y)] dy}
a φ1(x)
b φ2(x) ∂P(x,y) ∂P(x,y)
= -{ ∫∫ ────dy dx } = -∬_D ────dxdy
a φ1(x) ∂y ∂y
984: 10/06(月)05:02 ID:1Ye8GrkS(2/6)調 AAS
x = cosθ, y = sinθ
dx = -sinθdθ, dy = cosθdθ.
x:-1→1 θ:-π→π
?_C x^3 dx = -∫[-π〜π]cos^3θsinθdθ.
t = cosθ. dt = -sinθdt. θ:-π→π t:-1→1
-∫[-π〜π]cos^3θsinθdθ= ∫[-1〜1]t^3dt = 0
?_C x^3 dy = ∫[0-2π]cos^3θcosθdθ= ∫[0-2π]cos^4θdθ
= ∫[0-2π](3/8)+(1/2)cos2θ+(1/8)cos4θdθ
= (3/8)2π = 3π/4.
∂P/∂y = 0.
?_C x^3 dx = -∫[-π〜π]0*sinθdθ = 0.
∫0dx = F(x)= C.（常にF(x)= C ）
∫[a→b]0dx = F(b) - F(a) = C - C = 0
∂P/∂x = 3x^2.
?_C x^3 dx = ∬_D 3x^2 dxdy = 3∬_D x^2 dxdy
= 3∫[-1〜1]x^2 ∫[-√(1-x^2)〜√(1-x^2)]dy dx
= 3∫[-1〜1]x^2*2√(1-x^2)]dx
x = sint, dx = costdt. x:-1→1 t:-π/2→π/2
1 π/2
3∫x^2*2√(1-x^2)]dx = 3∫(sint)^2*2cost*cost dt
-1 -π/2
π/2 π/2
= 6∫(sint)^2*(cost)^2dt = 3/2∫(1-cos2t)(1+cos2t) dt
-π/2 -π/2
π/2
= 3/2∫(1-(cos2t)^2) dt
-π/2
π/2 π/2
= 3/2∫ dt - (3/4)∫1 + cos4t dt
-π/2 -π/2
= 3π/2 - 3π/4 = 3π/4
985: 10/06(月)05:04 ID:1Ye8GrkS(3/6)調 AAS
r↑(θ,φ) = ( asinθcosφ, asinθsinφ, acosθ )
∂r↑/∂θ↑= ( acosθcosφ, acosθsinφ, -asinθ ).
∂r↑/∂φ↑= ( -asinθsinφ, asinθcosφ, 0 ).
∂r↑ ∂r↑
──×──
∂θ ∂φ
= ( |acosθsinφ -asinθ| |-asinθ acosθcosφ| | acosθcosφ, acosθsinφ|
|asinθcosφ 0 |, | 0 -asinθsinφ|, |-asinθsinφ, asinθcosφ | )
= ( a^2sin^2θcosφ, a^2sin^2θsinφ, a^2cos^2φsinθcosθ+ a^2sin^2φsinθcosθ )
= ( a^2sin^2θcosφ, a^2sin^2θsinφ, a^2sinθcosθ ).
|∂r↑ ∂r↑|
|──×── | = √( a^4sin^4θcos^2φ + a^4sin^4θsin^2φ+ a^4sin^2θcos^2θ)
|∂θ ∂φ |
= √( a^4sin^4θ + a^4sin^2θcos^2θ)
= √( a^4sin^2θ(sin^θ + cos^2θ) )
= √( a^4sin^2θ) = a^2sinθ.
∬_S 1 dS
|∂r↑ ∂r↑|
= ∬_D |──×── |dθdφ
|∂θ ∂φ |
= a^2∬[D] sinθdθdφ
= a^2∫[0,2π]dφ∫[0,π]sinθdθ
= 4πa^2
986: 与作 10/06(月)10:27 ID:Q83LqTaT(1/4)調 AAS
ab=cdが成立つならば、
ab=kcd/kも成立つ。
987: 与作 10/06(月)12:31 ID:Q83LqTaT(2/4)調 AAS
ab=kcd/kが成立つならば、
a=kcのとき、b=d/kとなる。
988: 与作 10/06(月)15:44 ID:Q83LqTaT(3/4)調 AAS
n=2のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を無数に持つ。
X^2+Y^2=Z^2をy^2=(x+1)^2-x^2…(1)とおく。(y,xは有理数)
(1)を(y-1)(y+1)=2x…(2)とおく。
(2)は(y-1)=2のとき、(y+1)=xとなる。
(2)は成立つので、(y-1)(y+1)=k2x/kも成立つ。
∴n=2のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を無数に持つ。
989: 与作 10/06(月)17:52 ID:Q83LqTaT(4/4)調 AAS
n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
X^3+Y^3=Z^3をy^3=(x+1)^3-x^3…(1)とおく。(y,xは有理数)
(1)を(y-1)(y^2+y+1)=3(x^2+x)…(2)とおく。
(2)は(y-1)=3のとき、(y^2+y+1)=(x^2+x)とならない。
(2)は成立たないので、(y-1)(y^2+y+1)=k3(x^2+x)/kも成立たない。
∴n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
990: 10/06(月)19:54 ID:1Ye8GrkS(4/6)調 AAS
r↑(θ,φ) = ( asinθcosφ, asinθsinφ, acosθ )
∂r↑/∂θ↑= ( acosθcosφ, acosθsinφ, -asinθ ).
∂r↑/∂φ↑= ( -asinθsinφ, asinθcosφ, 0 ).
∂r↑ ∂r↑
──×──
∂θ ∂φ
= ( |acosθsinφ -asinθ| |-asinθ acosθcosφ| | acosθcosφ, acosθsinφ|
|asinθcosφ 0 |, | 0 -asinθsinφ|, |-asinθsinφ, asinθcosφ | )
= ( a^2sin^2θcosφ, a^2sin^2θsinφ, a^2cos^2φsinθcosθ+ a^2sin^2φsinθcosθ )
= ( a^2sin^2θcosφ, a^2sin^2θsinφ, a^2sinθcosθ ).
|∂r↑ ∂r↑|
|──×── | = √( a^4sin^4θcos^2φ + a^4sin^4θsin^2φ+ a^4sin^2θcos^2θ)
|∂θ ∂φ |
= √( a^4sin^4θ + a^4sin^2θcos^2θ)
= √( a^4sin^2θ(sin^θ + cos^2θ) )
= √( a^4sin^2θ) = a^2sinθ.
∬_S 1 dS
|∂r↑ ∂r↑|
= ∬_D |──×── |dθdφ
|∂θ ∂φ |
= a^2∬[D] sinθdθdφ
= a^2∫[0,2π]dφ∫[0,π]sinθdθ
= 4πa^2
991: 10/06(月)19:55 ID:1Ye8GrkS(5/6)調 AAS
∫∫∫divA↑dV = ∬A↑･n↑dS ･･････ (#1)
V S
┌ ┐┌ ┐
│∂/∂x││f│
divA↑= ∇･A↑ = │∂/∂y││g│= ∂f/∂x + ∂g/∂y + ∂h/∂z
│∂/∂z││h│
└ ┘└ ┘
α、β、γ（方向余弦）
┌ ┐┌ ┐
│f││cosα│
A↑･n↑ = │g││cosβ│= fcosα + gcosβ + hcosγ
│h││cosγ│
└ ┘└ ┘
∫∫∫(∂f/∂x + ∂g/∂y + ∂h/∂z)dV = ∬(fcosα + gcosβ + hcosγ)dS ･･････ (#2)
V S
∫∫∫∂h/∂z dV = ∬hcosγdS
V S
∫∫∫∂h/∂z dV =∫∫∫∂h(x,y,z)/∂z dzdydx
V V
992: 10/06(月)19:55 ID:1Ye8GrkS(6/6)調 AAS
y'''(x) + 6y''(x) + 12y'(x) + 8y(x) = 5x^2e^(-2x) ･････(#)
y''' + 6y'' + 12y' + 8y = 5x^2e^(-2x), y(0) = 0, y'(0) = 5, y''(0) = 4
D^3 + 6D^2 + 12D + 8 = (D+2)^3 = 0
D = -2（3重解）
Y = (Cx^2+Bx+A)e^(-2x)
((D+2)^3)y = 5(x^2)e^(-2x)
y0 = 5(x^2)e^(-2x)/(D+2)^3
= 5e^(-2x)/( (2+1)(2+2)(2+3) )x^(2+3)
= (x^5/12)e^(-2x)
y(x) = (Cx^2+Bx+A)e^(-2x) + (x^5/12)e^(-2x)
y(0) = 0, y'(0) = 5, y''(0) = 4 のときの特殊解
y(0) = A = 0
y(x) = Cx^2*e^(-2x) + Bx*e^(-2x) + (x^5/12)e^(-2x)
y'(x) = C2xe^(-2x) - 2Cx^2*e^(-2x)
+ B*e^(-2x) - 2Bx*e^(-2x)
+ (5/12)5x^4*e^(-2x) - 2(x^5/12)*e^(-2x)
y'(0) = B = 5
y'(x) = 2Cxe^(-2x) - 2Cx^2*e^(-2x)
+ 5*e^(-2x) - 10x*e^(-2x)
+ (5/12)5x^4*e^(-2x) - 2(x^5/12)*e^(-2x)
y''(x) = 2Ce^(-2x) + 4Cxe^(-2x) - ( 4Cx*e^(-2x) - 2Cx^2(-2)e^(-2x) )
+ (-2)5*e^(-2x) - (10*e^(-2x) - 2*10x*e^(-2x) )
+ (5/12)20x^3*e^(-2x) - 2(5/12)5x^4*e^(-2x)
- ( 2(4x^4/12)*e^(-2x) - 2*2(x^5/12)*e^(-2x) )
y''(0) = 2C - 10 - 10 = 4
C = 12
∴y(x) = ( 12x^2+5x+(x^5/12) )e^(-2x)
993: 10/07(火)06:35 ID:5ZCx7vHN(1/5)調 AAS
EGCalc で使える関数
sqr // A 累乗 3^2 sqr(3) = 9
cub // B 三乗 3^3 cub(3) = 27
root // C 平方根 √3 root(3) = 1.73205080756888
abs // D 絶対値 |-3| abs(-3) = 3
asin // E
acos // F
atan // G
sin // H
cos // I
tan // J
log // K
exp // L exp(-0.012521549851925) = 0.987556518567828
int // M int(123.456) = 123
frac // N Frac(123.456) = 0.456
pos // O
─────────────────────────────────────────
p1 = p0*exp(-ρ0･g･z1/p0)
p2 = p0*exp(-ρ0･g･z2/p0)
ρ0*g*z1/p0 = 1.293*9.81*100/101300 = 0.012521549851925
ρ0*g*z2/p0 = 1.293*9.81*950/101300 = 0.118954723593287
exp(-0.012521549851925) = 0.987556518567828
exp(-0.118954723593287) = 0.887847998419016
p1 = 101300*0.987556518567828 = 100039.475330921
p2 = 101300*0.887847998419016 = 89939.0022398463
p1-p2 = 100039.475330921-89939.0022398463 = 10100.4730910747
994: 10/07(火)06:41 ID:5ZCx7vHN(2/5)調 AAS
1 + r = (e^r-1)/r
r + r^2 = e^r - 1
e^r = r^2 + r + 1
f(x) = e^x - x^2 - x - 1
とおくと
f'(x) = e^x - 2x - 1
f''(x) = e^x - 2
e^x - 2 = 0, e^x = 2, x = log2.
f''(x) は単調増加関数なので
x < log2 ⇒ f''(x) < 0 ∴f(x)は上に凸、f'(x) は x < log2 で減少
x > log2 ⇒ f''(x) > 0 ∴f(x)は下に凸、f'(x) は x > log2 で増加
f'(0) = 0
f'(1) = e - 3 < 0
f'(2) = e^2 - 5 > 0
なのでαを
f'(α) = 0, 1 < α < 2
を満たす値とするとf'(x) は
x < log2 で減少するから x < 0 で正
x = 0 で 0
x > log2 で増加するから α < x で正
0 < x < αで負
となる。よって f(x) は x < 0 で増加、0 < x < αで減少、α < x で増加
f(0) = 0
f(1) = e - 3 < 0
f(2) = e^2 - 7 > 0
なのでβを
f(β) = 0, 1 < β < 2
を満たす値とすると f(x) は
x < 0 で負, x = 0 で 0, 0 < x < βで負, β < x で正
となるから f(x) = 0 の解は x = 0,βの2つである。
e^2 ≒ 7.4 から f(2) ≒ 0.4 なのでβは 2 より少し小さい値
a[0] = 2 として
a[n+1] = { a[n] - (e^a[n]-a[n]^2-a[n]-1) } / (e^a[n] -2a[n] -1 )
= { (a[n]-1)e^a[n]-a[n]^2+1 } / (e^a[n] - 2a[n] - 1 )
によりニュートン法で計算すると
a[1] = 1.8371507060
a[2] = 1.7957938603
a[3] = 1.7932909822
a[4] = 1.7932821330
a[5] = 1.7932821329
a[6] = 1.7932821329
a[7] = 1.7932821329
したがって f(x) = 0 の解は x ≒ 0,1.7932821329 なので 1+r = (e^r-1)/r の解は
r ≒ 1.7932821329
995: 10/07(火)06:45 ID:5ZCx7vHN(3/5)調 AAS
x + y + 2z = 1、x^2 + y^2 + 4z^2 = 3
x + y + 2z = 1 ･････(#1)
x^2 + y^2 + 4z^2 = 3 ･････(#2)
(x+y+2z)^2 - 2(xy+2yz+2zx) = 3
xy + 2yz + 2zx = -1 ･････(#3)
u = xyz
2xyz = 2u ･････(#4)
t^3-t^2-t-2u = 0 ･････(#5)
f(t) = t^3-t^2-t-2u ･････(#6)
f'(t) = 3t^2-2t-1
= (3t+1)(t-1)
-11/27-2u≧0 ･････(#7)
-1-2u≦0 ･････(#8)
(#7)(#8)より
-1/2≦u≦-11/54
-11/54,-1/2
996: 10/07(火)23:42 ID:5ZCx7vHN(4/5)調 AAS
function GaussJordanPv(N: Integer):Integer;
var
pRow,pv, k, j: Integer;
mMax,R_pivot, temp: Extended;
begin
for k := 1 to N do
for j := 1 to N do
if k = j then RA[k][j] := 1.0
else RA[k][j] := 0.0;
for pv := 1 to N do //行ループ
begin
mMax := 0.000001;
for k := pv to N do //行ループ 最大値探索
begin
if Abs(A[k][pv]) > mMax then
begin
mMax := Abs(A[k][pv]);
pRow := k;
end;
end;
if mMax <= 0.000001 then //誤差対策
begin
MessageDlg('解が存在しないかまたは不定です！', mtwarning, [mbok], 0);
Result := 0;
Exit;
end;
//行の入れ替え
if pv <> pRow then
begin
for k := 1 to N+1 do //列ループ
begin
temp := A[pv][k];
A[pv][k] := A[pRow][k];
A[pRow][k] := temp;
end;
997: 10/07(火)23:42 ID:5ZCx7vHN(5/5)調 AAS
for k := 1 to N do //列ループ 単位行列
begin
temp := RA[pv][k];
RA[pv][k] := RA[pRow][k];
RA[pRow][k] := temp;
end;
end;
//pivot行の処理 ⇒ 対角成分 = 1
R_pivot := 1.0/A[pv][pv]; //pivotの逆数
for j := 1 to N+1 do //列ループ
A[pv][j] := A[pv][j]*R_pivot;
for j := 1 to N do //列ループ 単位行列
RA[pv][j] := RA[pv][j]*R_pivot;
//pivot 行以外 pivot 列を 0 にする
for k := 1 to N do
begin
temp := A[k][pv]; //pivot 行以外の pivot 列
begin
for j := pv to N+1 do //pivot 列以降を処理
if k <> pv then
A[k][j] := A[k][j] - temp*A[pv][j];
for j := 1 to N do //全列処理（単位行列）
if k <> pv then
RA[k][j] := RA[k][j] - temp*RA[pv][j];
end;
end;
end;
Result := 1;
end;
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