フェルマーの最終定理の証明

フェルマーの最終定理の証明 (997ﾚｽ)
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905: １３２人目の素数さん [] 2025/09/24(水) 20:31:58.72 ID:0JqH39k2

2025/09/17(水) 05:04:24.75ID:erGd2uYu
∫[0→π/2]( tan(x) )^(1/n) dx　　(n≧2)
∫_0^(π/2)?(tan(x))^(1/n) dx を求める。
t=?sin?^2 x=(sin(x))^2
?sin?^2 x=1-?cos?^2 x ?cos?^2 x=1-t
dt=2sin(x)cos(x)dx=2√t √(1-t) dx
dx=dt/(2√t √(1-t))=(t^(-1/2) (1-t)^(1/2))/2 dt
(sin(x))^(1/n)=(√t)^(1/n)=t^(1/2n) (cos(x))^(1/n)=(√(1-t))^(1/n)=(1-t)^(1/2n)
∫_0^(π/2)?(tan(x))^(1/n) dx=∫_0^(π/2)?( (sin(x))^(1/n))/( (cos(x))^(1/n) ) dx=∫_0^(π/2)?( t^(1/2n))/(1-t)^(1/2n) (t^(-1/2) (1-t)^(1/2))/2 dt

=1/2 ∫_0^(π/2)???t^(1/2n) (1-t)^(-1/2n) t?^(-1/2) (1-t)^(-1/2) ? dt
=1/2 ∫_0^(π/2)??t^(1/2n-1/2) (1-t)^(-1/2n-1/2) ? dt
=1/2 ∫_0^(π/2)??t^(1/2+1/2n-1) (1-t)^(1/2-1/2n-1) ? dt
=1/2 ∫_0^(π/2)??t^(1/2+1/2n-1) (1-t)^(1/2-1/2n-1) ? dt
(1/2) B(1/2+1/(2n), 1/2-1/(2n))
= (1/2) Γ( 1/2+1/(2n) ) Γ( 1/2-1/(2n) ) / Γ( 1/2+1/(2n) + 1/2-1/(2n) )
= (1/2) Γ(z) Γ(1-z) / Γ(1)
= (1/2) ( π/sin(πz) ) / 0！
= π/( 2 sin(πz) )
= π/( 2 sin(π/2+π/(2n)) )
= π/( 2 cos(π/(2n)) ).

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745314067/905

916: １３２人目の素数さん [] 2025/09/26(金) 06:16:04.41 ID:Ek58bAv0

f(θ)=a_0/2+納k=1→∞](a_k cos(kθ)+b_k sin(kθ))
a_k=1/π ∫[-π→π]f(θ)cos(kθ)dθ)
b_k=1/π ∫[-π→π]f(θ)sin(kθ)dθ

e^jθ =cosθ+jsinθ
e^(-jθ)=cosθ-jsinθ
cosθ=(e^jθ+e^(-jθ))/2. sinθ=(e^jθ-e^(-jθ))/2j.
f(θ)=a_0/2+納k=1→∞](a_k (e^jkθ+e^(-jkθ))/2+b_k (e^jkθ-e^(-jkθ))/2j)
=a_0/2+納k=1→∞](a_k(e^jkθ+e^(-jkθ))/2+?jb?_k (e^(-jkθ)-e^jkθ)/2)
=a_0/2+納k=1→∞]((a_k-jb_k)/2 e^jkθ) +納k=1→∞]((a_k+jb_k)/2 e^(-jkθ) )
a_(-k)=(1/π)∫[-π→π]f(θ)cos(-kθ)dθ)
=(1/π)∫[-π→π]f(θ)cos(kθ)dθ)=a_k
b_(-k)=(1/π)∫[-π→π]f(θ)sin(-kθ)dθ
= -1/π ∫[-π→π]f(θ)sin(kθ)dθ= -b_k
f(θ)
=納k=1→∞]((a_k+jb_k)/2 e^(-jkθ) ) +a_0/2+納k=1→∞]((a_k-jb_k)/2 e^jkθ )
=(a_2+jb_2)/2 e^(-j2θ)+(a_1+jb_1)/2 e^(-j1θ)+a_0/2+(a_1-jb_1)/2 e^j1θ+(a_2-jb_2)/2e^j2θ+?
=(a_(-2)-jb_(-2))/2 e^j2θ+(a_(-1)-jb_(-1))/2 e^j1θ+a_0/2+(a_1-jb_1)/2 e^j1θ+(a_2-jb_2)/2 e^j2θ+?
=農(k=-∞)^∞?((a_k-jb_k)/2 e^jkθ )
c_k=(a_k-jb_k)/2
f(θ)=納k=-∞→∞]c_k e^jkθ
c_k=(a_k-jb_k)/2
=(1/2π)∫[-π→π]f(θ)cos(kθ)dθ-(j/2π)∫[-π→π]f(θ)sin(kθ)dθ
=(1/2π)∫[-π→π]f(θ)(cos(kθ)-jsin(kθ))dθ
=(1/2π)∫[-π→π]f(θ)(cos(-kθ)+jsin(-kθ))dθ
=(1/2π)∫[-π→π]f(θ)(cos(-kθ)+jsin(-kθ))dθ
=(1/2π)∫[-π→π]f(θ)e^(-jkθ)dθ

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745314067/916

917: １３２人目の素数さん [] 2025/09/26(金) 06:16:37.08 ID:Ek58bAv0

f^((k) ) (z)=(n!/2πi)?_Cf(ζ)/(ζ-z)^(k+1)dζ
?@)n=1のとき
f(z)=1/( 2πi) ?_Cf(ζ)/((ζ-z) ) dζ
f(z+h)=1/( 2πi) ?_Cf(ζ)/(ζ-(z+Δz) ) dζ
f(z+h)-f(z)=1/( 2πi) ?_Cf(ζ)/(ζ-(z+h) )-f(ζ)/((ζ-z) ) dζ
=1/( 2πi) ?_Cf(ζ)((ζ-z)-(ζ-z-h))/(ζ-z-h)(ζ-z)dζ
=1/( 2πi) ?_Cf(ζ)(ζ-z-ζ+z+h)/(ζ-z-h)(ζ-z)dζ
=1/( 2πi) ?_Cf(ζ)h/(ζ-z-h)(ζ-z)dζ
=h/( 2πi) ?_Cf(ζ)/(ζ-z-h)(ζ-z)dζ
( f(z+h)-f(z))/h=1/( 2πi) ?_Cf(ζ)/(ζ-z-h)(ζ-z)dζ
　h→0
f'(z)= f^((1)) (z)=1/2πi ?_C(f(ζ))/(ζ-z)^2dζ
?A)n=k(k=1,2,3,…)のとき
f^((k)) (z)=k!/2πi ?_C(f(ζ))/(ζ-z)^(k+1)dζ ⇒f^((k+1)) (z)=(k+1)!/( 2πi) ?_Cf(ζ)/(ζ-z)^(k+2)dζ
f^((k)(z+h)- f^((k) ) (z))/h
=k!/( 2πih) ?_Cf(ζ)/(ζ-(z+h))^(k+1) -f(ζ)/(ζ-z)^(k+1)dζ
=k!/( 2πih) ?_C((ζ-z)^(k+1)-(ζ-z-h)^(k+1))/((ζ-z-h)^(k+1) (ζ-z)^(k+1) ) f(ζ)dζ??※
(a+b)^(k+1)
=(_k+1^ )C_0 a^n b^0+(_k+1^ )C_1 a^(k+1-1) b^1+(_k+1^ )C_2 a^(k+1-2) b^2+?+(_k+1^ )C_r a^(k+1-r) b^r+?+b^(k+1)
=a^(k+1)+(k+1) a^k b+(_k+1^ )C_2 a^(k-1) b^2+?+(_k+1^ )C_r a^(k+1-r) b^r+? +b^(k+1)
(ζ-z-h)^(k+1)
=(ζ-z)^(k+1)-(k+1) (ζ-z)^k h + (_k+1^ )C_2 (ζ-z)^(k-1) h^2-?+h^(k+1)
(ζ-z)^(k+1)-(ζ-z-h)^(k+1)
=(k+1) (ζ-z)^k h-(_k+1^ )C_2 (ζ-z)^(k-1) h^2+?-h^(k+1)
( f^((k) ) (z+h)- f^((k) ) (z))/h
=k!/( 2πih) ?_C((k+1) (ζ-z)^k h-(_k+1^ )C_2 (ζ-z)^(k-1) h^2+?-h^(k+1))/((ζ-z-h)^(k+1) (ζ-z)^(k+1) ) f(ζ)dζ
=(k+1)!/( 2πi) ?_Cf(ζ)/((ζ-z-h)^(k+1) (ζ-z) ) dζ-k!/( 2πi) ?_C((_k+1^ )C_2 (ζ-z)^(k-1) h-?+h^k)/((ζ-z-h)^(k+1) (ζ-z)^(k+1) ) f(ζ)dζ
　h→0

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745314067/917

929: １３２人目の素数さん [] 2025/09/27(土) 12:24:18.06 ID:vt9QpU1q

∬_S f(x,y,z) dS
　　　　　　　　　　　　　　　　　　|∂r↑　∂r↑|
　= ∬_D f( x(u,v), y(u,v), z(u,v) )|──-×──-|dudv
　　　　　　　　　　　　　　　　　　| ∂u　　∂v |
　　　　　┌ ┐　　　 ┌ ┐　　　 ┌ ┐
　　　　　│1│　　　 │0│　　　 │0│
　　 i↑ =│0│,　j↑=│1│,　k↑=│0│
　　　　　│0│　　　 │0│　　　 │1│
　　　　　└ ┘　　　 └ ┘　　　 └ ┘
　　r↑(u,v) = x(u,v)i↑+ x(u,v)j↑+ z(u,v)k↑

∂r↑(u,v)　　　　　　∂x(u,v)　　　∂y(u,v)　　　∂z(u,v)
　　───── = v(t)↑= ────-i↑+ ────-j↑+ ────-k↑
　　　　du　　　　　　　　　du　　　　　　du　　　　　　du
　　　　　　　　┌　　　　　 ┐　┌　　　┐
　　　　　　　　│∂x(u,v)/du│　│∂x/du│
　　　　　　　 =│∂y(u,v)/du│ =│∂y/du│
　　　　　　　　│∂z(u,v)/du│　│∂z/du│
　　　　　　　　└　　　　　 ┘　└　　　┘
　　　　　　　　┌　　　　　 ┐　┌　　　┐
　　∂r↑(u,v)　│∂x(u,v)/dv│　│∂x/dv│
　　───── =│∂y(u,v)/dv│ =│∂y/dv│
　　　　dv　　　│∂z(u,v)/dv│　│∂z/dv│
　　　　　　　　└　　　　　 ┘　└　　　┘
　　df = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy
　x = x(u,v)、y = y(u,v)、z = z(u,v)の全微分は
　　dx = (∂x/∂u)du + (∂x/∂v)dv
　　dy = (∂y/∂u)du + (∂y/∂v)dv
　　dz = (∂z/∂u)du + (∂z/∂v)dv
　　r↑(u,v) = ( x(u,v), y(u,v), z(u,v) )
　　　　　┌　　　　　　　　　　　　 ┐
　　　　　│(∂x/∂u)du + (∂x/∂v)dv│
　　dr↑ =│(∂y/∂u)du + (∂y/∂v)dv│
　　　　　│(∂z/∂u)du + (∂z/∂v)dv│
　　　　　└　　　　　　　　　　　　 ┘

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745314067/929

935: １３２人目の素数さん [] 2025/09/27(土) 18:41:37.87 ID:vt9QpU1q

x = cosθ, y = sinθ
　　dx = -sinθdθ,　dy = cosθdθ.
　　x:-1→1　θ:-π→π
　　?_C x^3 dx = -∫[-π〜π]cos^3θsinθdθ.
　　t = cosθ.　　dt = -sinθdt.　 θ:-π→π　t:-1→1
　　-∫[-π〜π]cos^3θsinθdθ= ∫[-1〜1]t^3dt = 0
　　?_C x^3 dy = ∫[0-2π]cos^3θcosθdθ= ∫[0-2π]cos^4θdθ
　　= ∫[0-2π](3/8)+(1/2)cos2θ+(1/8)cos4θdθ
　　= (3/8)2π = 3π/4.
　　∂P/∂y = 0.
　　?_C x^3 dx = -∫[-π〜π]0*sinθdθ = 0.
　　∫0dx = F(x)= C.（常にF(x)= C ）
　　∫[a→b]0dx = F(b) - F(a) = C - C = 0
　　∂P/∂x = 3x^2.
　　?_C x^3 dx = ∬_D 3x^2 dxdy = 3∬_D x^2 dxdy
　= 3∫[-1〜1]x^2 ∫[-√(1-x^2)〜√(1-x^2)]dy dx
　= 3∫[-1〜1]x^2*2√(1-x^2)]dx
　　x = sint,　dx = costdt.　 x:-1→1　t:-π/2→π/2
　　 1　　　　　　　　　　　π/2
　　3∫x^2*2√(1-x^2)]dx = 3∫(sint)^2*2cost*cost dt
　　-1　　　　　　　　　　 -π/2
　　　 π/2　　　　　　　　　　　π/2
　 = 6∫(sint)^2*(cost)^2dt = 3/2∫(1-cos2t)(1+cos2t) dt
　　　-π/2　　　　　　　　　　 -π/2
　　　 π/2
　 = 3/2∫(1-(cos2t)^2) dt
　　　-π/2
　　　 π/2　　　　　π/2
　 = 3/2∫　 dt - (3/4)∫1 + cos4t dt
　　　-π/2　　　　　-π/2
　 = 3π/2 - 3π/4 = 3π/4

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745314067/935

949: １３２人目の素数さん [] 2025/09/29(月) 22:12:27.99 ID:tsfKlyQm

tan z = sin z / cos z
　cos z の零点は、z = π/2 + mπ (m は整数)。
　tan z は z = π/2 + mπ で一位の極をもつ(tan z の特異点)。
　　tan z = a/(z - α) + b + c(z - α) + ……
　　(z - α)tan z = a + b(z - α) + ??……?
　α = π/2 + mπ では、z → α の極限を取り、
　　(z - α)tan z = sin z / {cos z/(z - α)}
→ sin α / cos' α = sin α / (- sin α) = - 1
　z-pi/2=u とおくと、
　　tan(z) = -cos(u)/sin(u)
　　　　　 = (-1/u)*{1-u^2/2!+...}/{1-u^2/3!+...}
　　　　　 = (-1/u)*{1+3u^2+...}.
　　tan(z) = sin(z) / cos(z)
　　sin(z) は C 上特異点なし。
　　cos(z) の 零点 → tan(z) の特異点
　　cos(z) の 零点 (1/2+n) π

cos(z) = cos ( {z-(1/2+n)π} + (1/2+n)π )
　　　　　 = cos (z-(1/2+n)π)cos (1/2+n)π - sin(z-(1/2+n)π)sin (1/2+n)π
　　　　　 = (-1)^(n+1) sin (z-(1/2+n)π)
　よって、
　　lim[z→(1/2+n)π](z-(1/2+n)π) / cos(z)
　= (-1)^(n+1) lim[z→(1/2+n)π](z-(1/2+n)π) / sin(z - (1/2+n)π)
　　tan(z) = i{exp(2iz)-1}/{exp(2iz)+1}
　　z = (1/2+n)π
　　A = lim{z-(1/2+n)π}tan(z)
　　　= lim i{exp(2iz)-1}/[{exp(2iz)+1}/{z-(1/2+n)π}]
　　A = 1

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745314067/949

957: １３２人目の素数さん [] 2025/10/01(水) 13:03:22.98 ID:zxDjagoq

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745314067/957

960: １３２人目の素数さん [] 2025/10/03(金) 07:02:46.58 ID:cs4+xj87

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745314067/960

966: １３２人目の素数さん [] 2025/10/04(土) 12:50:14.24 ID:ay8RJHln

y'''(x) + 6y''(x) + 12y'(x) + 8y(x) = 5x^2e^(-2x) ･････(#)
　　y''' + 6y'' + 12y' + 8y = 5x^2e^(-2x), y(0) = 0, y'(0) = 5, y''(0) = 4

D^3 + 6D^2 + 12D + 8 = (D+2)^3 = 0
　　D = -2（3重解）
　　Y = (Cx^2+Bx+A)e^(-2x)
　　((D+2)^3)y = 5(x^2)e^(-2x)
　　y0 = 5(x^2)e^(-2x)/(D+2)^3
　　　 = 5e^(-2x)/( (2+1)(2+2)(2+3) )x^(2+3)
　　　 = (x^5/12)e^(-2x)
　　y(x) = (Cx^2+Bx+A)e^(-2x) + (x^5/12)e^(-2x)
　　y(0) = 0, y'(0) = 5, y''(0) = 4 のときの特殊解
　　y(0) = A = 0
　　y(x) = Cx^2*e^(-2x) + Bx*e^(-2x) + (x^5/12)e^(-2x)
　　y'(x) = C2xe^(-2x) - 2Cx^2*e^(-2x)
　　　　　+ B*e^(-2x) - 2Bx*e^(-2x)
　　　　　+ (5/12)5x^4*e^(-2x) - 2(x^5/12)*e^(-2x)
　　y'(0) = B = 5
　　y'(x) = 2Cxe^(-2x) - 2Cx^2*e^(-2x)
　　　　　+ 5*e^(-2x) - 10x*e^(-2x)
　　　　　+ (5/12)5x^4*e^(-2x) - 2(x^5/12)*e^(-2x)
　　y''(x) = 2Ce^(-2x) + 4Cxe^(-2x) - ( 4Cx*e^(-2x) - 2Cx^2(-2)e^(-2x) )
　　　　　+ (-2)5*e^(-2x) - (10*e^(-2x) - 2*10x*e^(-2x) )
　　　　　+ (5/12)20x^3*e^(-2x) - 2(5/12)5x^4*e^(-2x)
　　　　　- ( 2(4x^4/12)*e^(-2x) - 2*2(x^5/12)*e^(-2x) )
　　y''(0) = 2C - 10 - 10 = 4
　　C = 12

∴y(x) = ( 12x^2+5x+(x^5/12) )e^(-2x)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745314067/966

976: １３２人目の素数さん [] 2025/10/05(日) 00:21:30.46 ID:RAyhnXPg

y'''(x) + 6y''(x) + 12y'(x) + 8y(x) = 5x^2e^(-2x) ･････(#)
　　y''' + 6y'' + 12y' + 8y = 5x^2e^(-2x), y(0) = 0, y'(0) = 5, y''(0) = 4

∴y(x) = ( 12x^2+5x+(x^5/12) )e^(-2x)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745314067/976

977: １３２人目の素数さん [] 2025/10/05(日) 00:23:24.45 ID:RAyhnXPg

y''(t) - 4y'(t) + 4y(t) = 6te^(2t), y(0) = 2, y'(0) = 4

L[y''(t)] = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) = s^2Y(s) - 2s - 4.
　　L[4y'(t)] = 4( sY(s) - y(0) ) = 4sY(s) - 8.
　　L[4y(t)] = 4Y(s).
　　L[6te^(2t)] = 6/(s-2)^2.

s^2Y(s) - 2s - 4 - (4sY(s) - 8) + 4Y(s)
　= Y(s)( s^2 - 4s + 4) - 2s + 4 = 6/(s-2)^2.
　　Y(s)(s-2)^2 = 2s - 4 + 6/(s-2)^2 = 2(s-2) + 6/(s-2)^2.
　　Y(s) = 2/(s-2) + 6/(s-2)^4.

Y(s) = F(s-2) とおくと
　　L^(-1)[F(s-2)] = e^(2t)L^(-1)[F(s)]
　　　　　　　　　 = e^(2t)L^(-1)[2/s + 6/s^(3+1)]
　　　　　　　　　 = e^(2t)(2 + 6t^3/3!)
　　　　　　　　　 = e^(2t)(2 + t^3)
------------------------------------------
　　k^2 -4k + 4 = (k-2)^2 = 0.　 k = 2.
　　y''(t) - 4'y(t) + 4y(t) = 0
　　y0 = C1e^(2t) + C2te^(2t).
　　y1 = 1/(D-2)^2*6te^(2t)
　　　 = 1/(D-2)( 1/(D-2)*6te^(2t) )
　　　 = 1/(D-2)( e^(2t)(1/D)6t )
　　　 = 1/(D-2)( e^(2t)3t^2 )
　　　 = e^(2t)(1/D)3t^2
　　　 = e^(2t)*t^3
　　y(t) = C1e^(2t) + C2te^(2t) + e^(2t)*t^3.
　　y(0) = C1 = 2.
　　y'(t) = C1*2e^(2t) + C2( e^(2t) + t*2e^(2t) ) + 2e^(2t)*t^3 + e^(2t)*3t^2
　　y'(0) = 2*2 + C2 = 4.　 C2 = 0.
　　y~(t) = 2e^(2t) + e^(2t)･t^3.
　　　　　= e^(2t)(2 + t^3)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745314067/977

979: １３２人目の素数さん [] 2025/10/05(日) 00:27:19.95 ID:RAyhnXPg

tan z = (sin z)/(cos z),
lim[z→π/2] (z - π/2)^1 tan z
= lim[z→π/2] (sin z)/{ cos z - cos(π/2))/(z - π/2) }
= sin(π/2)/cos’(π/2)
= sin(π/2)/{ -sin(π/2) }
= -1.
tan z = Σ[k=-1→∞] (c_k)(x - π/2)^k と書けます。
(z - π/2) tan z = Σ[j=0→∞] (c_(j-1))(x - π/2)^j です。　←[2]
(d/dz)^m { (z - π/2) tan z } = Σ[j=m→∞] (c_(j-1))(jPm)(x - π/2)^(j-m) で、
lim[z→π/2] (d/dz)^m { (z - π/2) tan z } = c_(m-1) (m！) となります。

c_(-1) = lim[z→π/2] (d/dz)^0 { (z - π/2) tan z }/(0！)
　　　= lim[z→π/2] { (z - π/2) tan z }/1
　　　= -1,
c_0 = lim[z→π/2] (d/dz) { (z - π/2) tan z }/(1！)
　　= lim[z→π/2] { 1tan z + (z - π/2)/(cos z)^2 }/1
　　= lim[z→π/2] { (sin z)(cos z) + (z - π/2) }/(cos z)^2
　　= lim[z→π/2] { (d/dz) { (sin z)(cos z) + (z - π/2) } }/{ (d/dz) (cos z)^2 }
　　= lim[z→π/2] { cos(2z) + 1 }/{ - sin(2z) }
　　= ( -1 + 1 )/(-1)
　　= 0,
c_1 = lim[z→π/2] (d/dz)^2 { (z - π/2) tan z }/(2！)
　　= lim[z→π/2] (d/dz) { tan z + (z - π/2)/(cos z)^2　}/2
　　= lim[z→π/2] { 2/(cos z)^2 + (z - π/2)(2 sin z)/(cos z)^3 }/2
　　= lim[z→π/2] { (cos z) + (z - π/2)(sin z) }/(cos z)^3
　　= lim[z→π/2] { (d/dz) { (cos z) + (z - π/2)(sin z) } }/{ (d/dz) (cos z)^3 }
　　= lim[z→π/2] { (z - π/2)(cos z) }/{ 3 (cos z)^2 (- sin z) }
　　= lim[z→π/2] (-1/3)(1/sin z)/{ (cos z - 0)/(z - π/2) }
　　= (-1/3)(1/1)/{ -1 }
　　= 1/3.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745314067/979

980: １３２人目の素数さん [] 2025/10/05(日) 05:28:40.52 ID:RAyhnXPg

(1)
　　┌　　　　　　　　 ┐
　　│1 2 3 4 5 6 7 8 9│= (5 3 9 8 7 2 1 4 6) = (6 2)(1 7)(4 8)(2 9)(1 5)
　　│5 3 9 8 7 2 1 4 6│
　　└　　　　　　　　 ┘
　　┌　　　　　　　　 ┐　　　 ┌　　　　　　　　 ┐　　　 ┌　　　　　　　　 ┐
　　│1 2 3 4 5 6 7 8 9│(1 5)→│1 2 3 4 5 6 7 8 9│(2 3)→│1 2 3 4 5 6 7 8 9│(2 9)→
　　│1 2 3 4 5 6 7 8 9│　　　 │5 2 3 4 1 6 7 8 9│　　　 │5 3 2 4 1 6 7 8 9│
　　└　　　　　　　　 ┘　　　 └　　　　　　　　 ┘　　　 └　　　　　　　　 ┘
　　│1 2 3 4 5 6 7 8 9│(4 8)→│1 2 3 4 5 6 7 8 9│(1 7)→│1 2 3 4 5 6 7 8 9│(6 2)→
　　│5 3 9 4 1 6 7 8 2│　　　 │5 3 9 8 1 6 7 4 2│　　　 │5 3 9 8 7 6 1 4 2│
　　└　　　　　　　　 ┘　　　 └　　　　　　　　 ┘　　　 └　　　　　　　　 ┘
　　┌　　　　　　　　 ┐
　　│1 2 3 4 5 6 7 8 9│
　　│5 3 9 8 7 2 1 4 6│
　　└　　　　　　　　 ┘
(2)
　　┌　　　　　　　　 ┐
　　│1 2 3 4 5 6 7 8 9│= (3 4 6 7 8 9)
　　│1 2 4 6 5 7 8 9 3│
　　└　　　　　　　　 ┘
　　┌　　　　　　　　 ┐　　　　┌　　　　　　　　 ┐　　　 ┌　　　　　　　　 ┐
　　│1 2 3 4 5 6 7 8 9│(3 4) →│1 2 3 4 5 6 7 8 9│(3 6)→│1 2 3 4 5 6 7 8 9│(3 7)→
　　│1 2 3 4 5 6 7 8 9│　　　　│1 2 4 3 5 6 7 8 9│　　　 │1 2 4 6 5 3 7 8 9│
　　└　　　　　　　　 ┘　　　　└　　　　　　　　 ┘　　　 └　　　　　　　　 ┘
　　┌　　　　　　　　 ┐　　　 ┌　　　　　　　　 ┐　　　 ┌　　　　　　　　 ┐
　　│1 2 3 4 5 6 7 8 9│(3 8)→│1 2 3 4 5 6 7 8 9│(3 9)→│1 2 3 4 5 6 7 8 9│
　　│1 2 4 6 5 7 3 8 9│　　　 │1 2 4 6 5 7 8 3 9│　　　 │1 2 4 6 5 7 8 9 3│
　　└　　　　　　　　 ┘　　　 └　　　　　　　　 ┘　　　 └　　　　　　　　 ┘
　　　┌　　　　　　　　 ┐
　　∴│1 2 3 4 5 6 7 8 9│= (3 4 6 7 8 9) = (3 9)(3 8)(3 7)(3 6)(3 4)
　　　│1 2 4 6 5 7 8 9 3│
　　　└　　　　　　　　 ┘

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984: １３２人目の素数さん [] 2025/10/06(月) 05:02:33.51 ID:1Ye8GrkS

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745314067/984

992: １３２人目の素数さん [] 2025/10/06(月) 19:55:54.99 ID:1Ye8GrkS

y'''(x) + 6y''(x) + 12y'(x) + 8y(x) = 5x^2e^(-2x) ･････(#)
　　y''' + 6y'' + 12y' + 8y = 5x^2e^(-2x), y(0) = 0, y'(0) = 5, y''(0) = 4

∴y(x) = ( 12x^2+5x+(x^5/12) )e^(-2x)

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994: １３２人目の素数さん [] 2025/10/07(火) 06:41:35.35 ID:5ZCx7vHN

1 + r = (e^r-1)/r
　　r + r^2 = e^r - 1
　　e^r = r^2 + r + 1
　　f(x) = e^x - x^2 - x - 1
とおくと
　　f'(x) = e^x - 2x - 1
　　f''(x) = e^x - 2
　　e^x - 2 = 0,　 e^x = 2,　 x = log2.
　f''(x) は単調増加関数なので
　　x < log2 ⇒ f''(x) < 0　 ∴f(x)は上に凸、f'(x) は x < log2 で減少
　　x > log2 ⇒ f''(x) > 0　 ∴f(x)は下に凸、f'(x) は x > log2 で増加
　　f'(0) = 0
　　f'(1) = e - 3 < 0
　　f'(2) = e^2 - 5 > 0
なのでαを
　　f'(α) = 0,　 1 < α < 2
を満たす値とするとf'(x) は
　　x < log2 で減少するから x < 0 で正
　　x = 0 で 0
　　x > log2 で増加するから α < x で正
　　0 < x < αで負
となる。よって f(x) は x < 0 で増加、0 < x < αで減少、α < x で増加
　　f(0) = 0
　　f(1) = e - 3 < 0
　　f(2) = e^2 - 7 > 0
なのでβを
　　f(β) = 0,　 1 < β < 2
を満たす値とすると f(x) は
　　x < 0 で負, x = 0 で 0, 0 < x < βで負, β < x で正
となるから f(x) = 0 の解は x = 0,βの2つである。
　e^2 ≒ 7.4 から f(2) ≒ 0.4 なのでβは 2 より少し小さい値
　a[0] = 2 として

a[n+1] = { a[n] - (e^a[n]-a[n]^2-a[n]-1) } / (e^a[n] -2a[n] -1 )
　　　　　 = { (a[n]-1)e^a[n]-a[n]^2+1 } / (e^a[n] - 2a[n] - 1 )

によりニュートン法で計算すると
　　a[1] = 1.8371507060
　　a[2] = 1.7957938603
　　a[3] = 1.7932909822
　　a[4] = 1.7932821330
　　a[5] = 1.7932821329
　　a[6] = 1.7932821329
　　a[7] = 1.7932821329
　したがって f(x) = 0 の解は x ≒ 0,1.7932821329 なので 1+r = (e^r-1)/r の解は
　　r ≒ 1.7932821329

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