フェルマーの最終定理の証明 (791ﾚｽ)
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685: 08/21(木)00:21 ID:bs1zgXNt(1/5)調 AAS
y^''+y=sin(2x)
λ^2+1=0 λ=0±i
y_0=C_1 cos(x)+C_2 sin(x)
y_1=cos(x), y_2=sin(x)
?y_1?^'=-sin(x), ?y_2?^'=cos(x)
W=|?( cos(x)@-sin(x) )?( sin(x) @ cos(x) )|
=?cos?^2 (x)+?sin?^2 (x)=1
y_s (x)=-y_1 ∫?(y_2 R(x))/W dx+y_2 ∫?(y_1 R(x))/W dx
=-cos(x) ∫?sin(x)sin(2x) dx+sin(x) ∫?cos(x)sin(2x) dx
∫?sin(2x)sin(x) dx=-1/2 ∫??cos(2x+x)-cos(2x-x) ? dx
=-1/2 ∫??cos(3x)-cos(x) ? dx=-1/2?1/3 sin(3x)+1/2 sin(x)
=-1/6 sin(3x)+1/2 sin(x)
∫?sin(2x)cos(x) dx=1/2 ∫??sin(2x+x)+sin(2x-x) ? dx
=1/2 ∫??sin(3x)+sin(x) ? dx=1/2?(-1)/3 cos(3x)+(-1)/2 cos(x)
=-1/6 cos(3x)-1/2 cos(x)
y_s (x)
=-cos(x)(-1/6 sin(3x)+1/2 sin(x))+sin(x)(-1/6 cos(3x)-1/2 cos(x))
=1/6 sin(3x)cos(x)-1/2 sin(x)cos(x)-1/6 cos(3x)sin(x)-1/2 sin(x)cos(x)
=1/6 sin(3x-x)-sin(x)cos(x)=1/6 sin(2x)-1/2 sin(2x)
=-1/3 sin(2x)
∴y=C_1 cos(x)+C_2 sin(x)-1/3 sin(2x)

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686: 08/21(木)03:56 ID:bs1zgXNt(2/5)調 AAS
　　x1' = -2x1 +　x2
　　x2' =　 x1 - 2x2
　　┌　 ┐ ┌　　　┐┌　┐
　　│x1'│=│-2　 1││x1│
　　│x2'│ │ 1　-2││x2│
　　└　 ┘ └　　　┘└　┘
　　　 ┌　　　┐
　　A =│-2　 1│
　　　 │ 1　-2│
　　　 └　　　┘
　　　　　　┌　　 ┐ ┌　　　┐ ┌　　　　┐
　　LE - A =│L　 0│-│-2　 1│=│L+2　 -1│
　　　　　　│0　 L│ │ 1　-2│ │-1　 L+2│
　　　　　　└　　 ┘ └　　　┘ └　　　　┘
　　│L+2　 -1│
　　│-1　 L+2│= (L+2)(L+2) - 1
　　　　　　　　= L^2 + 4L + 4 - 1
　　　　　　　　= L^2 + 4L + 3
　　　　　　　　= (L+1)(L+3) = 0　 L = -1, -3

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687: 08/21(木)03:57 ID:bs1zgXNt(3/5)調 AAS
　　L = -1:
　　　　 ┌　┐　　　　　　　　　　　┌　　　┐┌　┐　 ┌　┐
　　V1↑=│v1│　　 AV1↑= -V1↑　 　│-2　 1││v1│= -│v1│
　　　　 │v2│　　　　　　　　　　　│ 1　-2││v2│　 │v2│
　　　　 └　┘　　　　　　　　　　 └　　　┘└　┘　 └　┘
　　-2v1 +　v2 = -v1　　v2 = v1
　　　v1 - 2v2 = -v2　　v1 = v2
　v1 = v1 = 1 とすると
　　　　 ┌ ┐
　　V1↑=│1│
　　　　 │1│
　　　　 └ ┘
　　L = -3:
　　　　 ┌　┐　　　　　　　　　　　 ┌　　　┐┌　┐　　┌　┐
　　V2↑=│v1│　　 AV2↑= -3V2↑　　 │-2　 1││v1│= -3│v1│
　　　　 │v2│　　　　　　　　　　　 │ 1　-2││v2│　　│v2│
　　　　 └　┘　　　　　　　　　　　 └　　　┘└　┘　　└　┘
　　-2v1 +　v2 = -3v1　　v2 = -v1
　　　v1 - 2v2 = -3v2　　v1 = -v2
　v2 = 1 とすると
　　　　 ┌　┐
　　v2↑=│-1│
　　　　 │ 1│
　　　　 └　┘

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688: 08/21(木)03:57 ID:bs1zgXNt(4/5)調 AAS
　　　　　　　　　　 ┌　　 ┐
　　P =［V1↑ V2↑］=│1　-1│
　　　　　　　　　　 │1　 1│
　　　　　　　　　　 └　　 ┘
　　AP = A[V1↑ V2↑] = [AV1↑ AV2↑]
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　┌　　 ┐　 ┌　　 ┐
　　　 =［-V1↑ -3V2↑］=［V1↑ V2↑］│-1　0│= P│-1　0│
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　│ 0 -3│　 │ 0 -3│
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　└　　 ┘　 └　　 ┘
　　　　┌　　 ┐　 ┌　　 ┐　　　　　　　　　 ┌　　 ┐
　　AP =│-1　0│= P│-1　0│　　　∴ P^(-1)AP =│-1　0│
　　　　│ 0 -3│　 │ 0 -3│　　　　　　　　　 │ 0 -3│
　　　　└　　 ┘　 └　　 ┘　　　　　　　　 　└　　 ┘
　　┌　 ┐ ┌　　　┐┌　┐
　　│x1'│=│-2　 1││x1│
　　│x2'│ │ 1　-2││x2│
　　└　 ┘ └　　　┘└　┘
　　X'↑= AX↑･････ (#1)
　　u↑ = P^(-1)X↑
　　X↑= Pu↑･････ (#2)
　　X'↑= APu↑
　　X'↑= Pu'↑
　　Pu'↑ = APu↑
　　P^(-1)Pu'↑ = P^(-1)APu↑

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689: 08/21(木)03:59 ID:bs1zgXNt(5/5)調 AAS
　　　　　　　　　　　 ┌　　 ┐
　　u'↑ = P^(-1)APu↑=│-1　0│u↑
　　　　　　　　　　　 │ 0 -3│
　　　　　　　　　　　 └　　 ┘
　　┌　 ┐ ┌　　 ┐┌　┐
　　│u1'│=│-1　0││u1│
　　│u2'│ │ 0 -3││u2│
　　└　 ┘ └　　 ┘└　┘
　　u1'=　-u1　　∴u1 = C1e^(-t)
　　u2'= -3u2　　∴u2 = C2e^(-3t)
　　　X↑ =　　P　　　u↑
　　┌　┐ ┌　　 ┐┌　　　　 ┐
　　│x1│=│1　-1││C1e^(-t) │
　　│x2│ │1　 1││C2e^(-3t)│
　　└　┘ └　　 ┘└　　　　 ┘
　　x1 = C1e^(-t) - C2e^(-3t)
　　x2 = C1e^(-t) + C2e^(-3t)

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