フェルマーの最終定理の証明 (639ﾚｽ)
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560: 08/02(土)10:19 ID:JM3Uouko(1/8)調 AAS
?+ax ?+bx=0 ???
λ^2+aλ+b=0
λ=α, β ⇒ x= C_1 e^αt+C_2 e^βt
λ=α (重解) ⇒ x= C_1 e^αt+C_2 te^βt
λ=α±βi ⇒ x= e^αt (C_1 cos?(βt)+C_2 cos?(βt))
λ^2-μ=0
0^2-4(-μ)=4μ
(?@)μ>0のときλ=±√μなので
X= C_1 e^(√μ x)+C_2 e^(-√μ x)
X^'= C_1 √μ e^(√μ x)-C_2 √μ e^(-√μ x)
境界条件 u_x (0,t)=u_x (1,t)=0より
u_x (0,t)=X^' (0)= C_1 √μ e^0-C_2 √μ e^0=(C_1-C_2 ) √μ=0
μ>0なので
C_1-C_2=0 C_1=C_2
u_x (1,t)=X^' (1)= C_1 √μ e^√μ-C_2 √μ e^(-√μ)=(C_1 e^√μ-C_2 e^(-√μ) ) √μ=0
C_1=C_2なので
(C_1 e^√μ-C_1 e^(-√μ) ) √μ= C_1 (e^√μ-e^(-√μ) ) √μ=0
μ>0、e^√μ-e^(-√μ)≠0なのでC_1=C_2=0
（※e^√μ=e^(-√μ)となるのはμ=0のときだけ）
X(x)=0 ∴u(x,t)=X(x)T(t)=0
(?A)μ=0のとき重解なので
X= C_1 e^0x+C_2 xe^0x=C_1+C_2 x
境界条件 u_x (0,t)=u_x (1,t)=0より
X^' (0)=X^' (1)= C_2=0
X=C_1

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561: 08/02(土)10:20 ID:JM3Uouko(2/8)調 AAS
∫_α^β??(x-α)^m (β-x)^n ? dx=m!n!/(m+n+1)! (β-α)^(m+n+1)
t=(β-α)x+α dt=(β-α)dx dx=dt/(β-α)
x:0→1 t:α→β
x=(t-α)/(β-α) 1-x=(β-α-(t-α))/(β-α)=(β-t)/(β-α)
∫_0^1?x^m (1-x)^n dx
=∫_α^β??((t-α)/(β-α))^m ((β-t)/(β-α))^n ? dt/(β-α)=∫_α^β?((t-α)^m (β-t)^m)/(β-α)^(m+n+1) dt
=1/(β-α)^(m+n+1) ∫_α^β??(t-α)^m (β-t)^m ? dt=m!n!/(m+n+1)!
∴∫_α^β??(x-α)^m (β-x)^n ? dx=m!n!/(m+n+1)! (β-α)^(m+n+1)

m=1,n=1⇒∫_α^β?(x-α)(x-β) dx=-∫_α^β?(x-α)(β-x) dx
=-1/6 (β-α)^3
m=2,n=1⇒∫_α^β?(x-α)(x-β) dx=-∫_α^β??(x-α)^2 (β-x) ? dx
=-1/12 (β-α)^4
m=2,n=2⇒∫_α^β??(x-α)^2 (x-β)^2 ? dx=∫_α^β??(x-α)^2 (β-x)^2 ? dx
=(2?2)/(5?4?3?2?1) (β-α)^5=1/30 (β-α)^5

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562: 08/02(土)10:21 ID:JM3Uouko(3/8)調 AAS
74x≡117 (mod 403)
74x + 403y = 117
403 = 74*5 + 33
74 = 33*2 + 8
33 = 8*4 + 1
1 = 33 - 8*4
= 33 - (74-33*2)*4
= 33*9 - 74*4
= (403-74*5)*9 - 74*4
= 403*9 - 74*49
74x + 403y = 117
74(-49)*117 + 403*9*117 = 117
74(x+117*49) - 403(y-9*17) = 0
74(x+5733) = 403(y-153) = 0
x + 5733 = 403k
x = 403k - 5733
x≡-5733≡-5733 + 403*15 = 312 (mod 403)
[確認]
312*74 = 23088 = 23088 - 403*57≡117 (mod 403)

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563: 08/02(土)10:22 ID:JM3Uouko(4/8)調 AAS
E(t)=Ri(t)+1/C ∫?i(t) dt
i(t)=dq(t)/dt ∫?dq(t)/dt dt=q(t)
E(t)=R dq(t)/dt+q(t)/C
L[Rq^' ]=RsQ(s)-Rq(0)=RsQ(s)
L[q(t)/C]=Q(s)/C L[E]=E/s
E/s=RsQ(s)+Q(s)/C=Q(s)(Rs+1/C)
Q(s)= E/s 1/(Rs+1/C)=E/s(Rs+1/C) =(E/R)/s(s+1/CR) =E/R 1/s(s+1/CR)
1/s(s+1/CR) =A/s+B/(s+1/CR) 1=A(s+1/CR)+Bs
s=0⇒A/CR=1 A=CR
s=-1/CR⇒-B 1/CR=1 B=-CR
Q(s)=E/R (A/s+B/(s+1/CR))=E/R (CR/s-CR/(s+1/CR))=CE/s-CE/(s+1/CR)
L^(-1) [CE/s-CE/(s+1/CR)]=CE(L^(-1) [1/s-1/(s+1/CR)])=CE(1-e^(-1/CR t) )

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564: 08/02(土)14:14 ID:JM3Uouko(5/8)調 AAS
Q? √(6&2^(2x^2+15)/x^(4x+30) ) (x=√2n, n?5) ･････(#12)
x=e^logx 2=e^log2
2^(2x^2+15) = ?(e^log2)?^(2x^2+15)=e^((2x^2+15)log2)
x^(4x+30)=?(e^logx)?^(4x+30)=e^((4x+30)logx)
　ここで
(2x^2+15)log2 >(4x+30)logx (x?12) ･････(#14)
2^(2x^2+15)/x^(4x+30) =e^((2x^2+15)log2)/e^((4x+30)logx) =e^((2x^2+15)log2-(4x+30)logx)>e^0
√(6&2^(2x^2+15)/x^(4x+30) )>√(e^0 )=1
x=√2n?12 、つまりn?72
のとき(#15)は成り立つ。
37?n?71⇒n?73?2n
19?n?36⇒n?37?2n
10?n?18⇒n?19?2n
6?n?9⇒n?11?2n
n=4,5⇒n?7?2n
n=3⇒3?6?6
n=2⇒2?3?4
n=1⇒1?2?2

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565: 08/02(土)14:14 ID:JM3Uouko(6/8)調 AAS
y''+6y'+10y=2sin(x).
D^2+6D+10=0. D=-3±i
(D^2+6D+10)y=2sin(x)
(D-(-3+i))(D-(-3-i))y=i(e^(-ix)-e^ix)
y=1/(D-(-3+i))∙1/(D-(-3-i)) i(e^(-ix)-e^ix)
a=-3+i, b = -3-i, f(x)=i(e^(-ix)-e^ix)
と置くと
y=1/(D-a)∙1/(D-b) f(x)=1/(D-b)∙1/(D-a) f(x)
=1/(D-b) e^ax 1/D e^(-ax) f(x)=1/(D-b) e^ax ∫▒〖e^(-ax) f(x)〗 dx
=e^bx 1/D e^(-bx) e^ax ∫▒〖e^(-ax) f(x)〗 dx
=e^bx 1/D e^(a-b)x ∫▒〖e^(-ax) f(x)〗 dx
=e^bx ∫▒(e^(a-b)x ∫▒〖e^(-ax) f(x)〗 dx) dx
=e^(-(3+i)x) ∫▒(e^2ix ∫▒〖e^((3-i)x) i(e^(-ix)-e^ix)〗 dx) dx
=e^(-(3+i)x) ∫▒(〖ie〗^2ix ∫▒〖e^((3-2i)x)-e^3x 〗 dx) dx
=e^(-(3+i)x) i∫▒e^2ix (e^((3-2i)x)/(3-2i)-e^3x/3+A)dx
=e^(-(3+i)x) i∫▒〖e^3x/(3-2i)-e^((3+2i)x)/3+A〗 e^2ix dx
=e^(-(3+i)x) (〖ie〗^3x/(3(3-2i))-〖ie〗^((3+2i)x)/(3(3+2i))+A (i2e^2ix)/2i+B)
=e^(-ix) e^(-3x) ((ie^3x)/(3(3-2i))-(〖ie〗^2ix e^3x)/(3(3+2i))+Ae^2ix+B)
=e^(-ix) (i/(3(3-2i))-〖ie〗^2ix/(3(3+2i))+Ae^((2i-3)x)+Be^(-3x) )
=(ie^(-ix))/(3(3-2i))-(ie^ix)/(3(3+2i))+Ae^((i-3)x)+Be^(-(3+i)x)

=i (3+2i)/3∙(cosx-isinx)/13-i (3-2i)/3∙(cosx+isinx)/13+e^(-3x) (Ae^ix+Be^(-ix))
=i (4icosx-6isinx)/39+e^(-3x) (Acosx+iAsinx+Bcosx-iBsinx)
=(-4cosx+6sinx)/39+e^(-3x) ((A+B)cosx+i(A-B)sinx)
=2sinx/13-4cosx/39+e^(-3x) (C_1 cosx+C_2 sinx)

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569: 08/02(土)20:14 ID:JM3Uouko(7/8)調 AAS
x ?+ax ?+bx=0 ???
λ^2+aλ+b=0
λ=α, β ⇒ x= C_1 e^αt+C_2 e^βt
λ=α (重解) ⇒ x= C_1 e^αt+C_2 te^βt
λ=α±βi ⇒ x= e^αt (C_1 cos?(βt)+C_2 cos?(βt))
λ^2-μ=0
0^2-4(-μ)=4μ
(?@)μ>0のときλ=±√μなので
X= C_1 e^(√μ x)+C_2 e^(-√μ x)
X^'= C_1 √μ e^(√μ x)-C_2 √μ e^(-√μ x)
境界条件 u_x (0,t)=u_x (1,t)=0より
u_x (0,t)=X^' (0)= C_1 √μ e^0-C_2 √μ e^0=(C_1-C_2 ) √μ=0
μ>0なので
C_1-C_2=0 C_1=C_2
u_x (1,t)=X^' (1)= C_1 √μ e^√μ-C_2 √μ e^(-√μ)=(C_1 e^√μ-C_2 e^(-√μ) ) √μ=0
C_1=C_2なので
(C_1 e^√μ-C_1 e^(-√μ) ) √μ= C_1 (e^√μ-e^(-√μ) ) √μ=0
μ>0、e^√μ-e^(-√μ)≠0なのでC_1=C_2=0
（※e^√μ=e^(-√μ)となるのはμ=0のときだけ）
X(x)=0 ∴u(x,t)=X(x)T(t)=0
(?A)μ=0のとき重解なので
X= C_1 e^0x+C_2 xe^0x=C_1+C_2 x
境界条件 u_x (0,t)=u_x (1,t)=0より
X^' (0)=X^' (1)= C_2=0
X=C_1

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570: 08/02(土)20:14 ID:JM3Uouko(8/8)調 AAS
∫_α^β??(x-α)^m (β-x)^n ? dx=m!n!/(m+n+1)! (β-α)^(m+n+1)
t=(β-α)x+α dt=(β-α)dx dx=dt/(β-α)
x:0→1 t:α→β
x=(t-α)/(β-α) 1-x=(β-α-(t-α))/(β-α)=(β-t)/(β-α)
∫_0^1?x^m (1-x)^n dx
=∫_α^β??((t-α)/(β-α))^m ((β-t)/(β-α))^n ? dt/(β-α)=∫_α^β?((t-α)^m (β-t)^m)/(β-α)^(m+n+1) dt
=1/(β-α)^(m+n+1) ∫_α^β??(t-α)^m (β-t)^m ? dt=m!n!/(m+n+1)!
∴∫_α^β??(x-α)^m (β-x)^n ? dx=m!n!/(m+n+1)! (β-α)^(m+n+1)

m=1,n=1⇒∫_α^β?(x-α)(x-β) dx=-∫_α^β?(x-α)(β-x) dx
=-1/6 (β-α)^3
m=2,n=1⇒∫_α^β?(x-α)(x-β) dx=-∫_α^β??(x-α)^2 (β-x) ? dx
=-1/12 (β-α)^4
m=2,n=2⇒∫_α^β??(x-α)^2 (x-β)^2 ? dx=∫_α^β??(x-α)^2 (β-x)^2 ? dx
=(2?2)/(5?4?3?2?1) (β-α)^5=1/30 (β-α)^5

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