行列の特性多項式の係数は、detとtr以外も行列の成分で書けるの？ (12ﾚｽ)
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1(1): 04/16(水)00:08 ID:nVnUDAFO(1)調 AAS
おしえて
2: 04/16(水)00:27 ID:P28xgXfN(1)調 AAS
ニュートンの恒等式
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8B%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%B3%E3%81%AE%E6%81%92%E7%AD%89%E5%BC%8F
e_k(x_1, ..., x_n)をx_1, ..., x_nのk次の基本対称式、p_kをx_1, ..., x_nのk乗和とする。つまり、
e_0 = 1
e_k = Σ_{1≤i1<...<ik≤n} x_{i1} ... x_{ik} (k = 1, ..., n)
p_k = (x_1)^k + ... + (x_n)^k。
このとき、
ke_k = Σ_{i=1}^{k} (-1)^{i-1} e_{k-i} p_i。
x_1, ..., x_nをn次正方行列Aの固有値とすると、p_k = tr(A^k)
なので、帰納法よりe_kはぜんぶAの成分の多項式で書けることが分かる
3(1): 04/16(水)00:29 ID:gblACL9B(1)調 AAS
det( xI - A ) なんだからあったりまえやん
4: 04/16(水)05:21 ID:VwL9tavP(1)調 AAS
>>1
単発質問禁止
5: 04/16(水)11:47 ID:0lX9btpV(1)調 AAS
>>3
具体的に
6(1): 04/16(水)18:35 ID:sgEksmoX(1/2)調 AAS
Q. (n次正方)行列Aの特性多項式の係数は、det(A)(定数項)とtr(A)(n-1次の項)以外も行列Aの成分で書けるの？
A.はい
まず特性多項式は、det( xI - A ) なので、
detを定義式通りに計算すれば、各係数は必ず求まるし
当然Aの成分以外のものは出て来ようがありません
まあ、線形代数を理解していればdetを定義式で計算する馬鹿はいないでしょう
nが大きくなれば手数が膨大になり現実的でないからです
基本変換で階段化すれば対角要素を掛けることでdetは求まります
この方法で特性多項式が計算できることは
例えば堀田良之「加群十話」にも書かれてます
さらに
１．特性多項式の根は固有値であり、したがって特性多項式の係数は固有値の基本対称式である
２．Aのｎ乗のtrは、Aの固有値のｎ乗和である
３．基本対称式は、べき和対称式を使って表すことができる
という３つの事実を知っていれば、特性多項式の係数をAとそのべき乗のtrを使って表せると分かります
これで1の質問に完璧に答えたのでこのスレッドは終了しました
さいなら さいなら さいなら
7(1): 04/16(水)18:56 ID:5HZYvw+j(1)調 AAS
>>6
答えを出すことが目的化していては、学問をしているとは言わないよ
8: 04/16(水)19:19 ID:sgEksmoX(2/2)調 AAS
>>7
自己批判大変結構
9(1): 04/16(水)23:35 ID:b/WcLcOc(1)調 AAS
なんでdetとtrは現れるのに、それ以外は数学に現れないの？
10: 04/17(木)00:36 ID:cKRhmuHd(1)調 AAS
統計とか微分幾何とかでは暗に出てくるような
だいたいtr(A^n)の形の方だけど
11: 死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ 04/17(木)04:16 ID:PjFThsjA(1)調 AAS
可能性がないなら根回しでもして可能性を作り出せばいい。よって答えはイエス。今すぐにということもない。
12: 04/17(木)04:31 ID:3iTMDDvx(1)調 AAS
>>9
detもtrで表せる
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