行列の特性多項式の係数は、detとtr以外も行列の成分で書けるの？ (12ﾚｽ)
行列の特性多項式の係数は、detとtr以外も行列の成分で書けるの？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744729738/
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1: １３２人目の素数さん [] 2025/04/16(水) 00:08:58.96 ID:nVnUDAFO おしえて http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744729738/1
2: １３２人目の素数さん [] 2025/04/16(水) 00:27:48.98 ID:P28xgXfN ニュートンの恒等式 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8B%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%B3%E3%81%AE%E6%81%92%E7%AD%89%E5%BC%8F e_k(x_1, ..., x_n)をx_1, ..., x_nのk次の基本対称式、p_kをx_1, ..., x_nのk乗和とする。つまり、 e_0 = 1 e_k = Σ_{1≤i1<...<ik≤n} x_{i1} ... x_{ik} (k = 1, ..., n) p_k = (x_1)^k + ... + (x_n)^k。 このとき、 ke_k = Σ_{i=1}^{k} (-1)^{i-1} e_{k-i} p_i。 x_1, ..., x_nをn次正方行列Aの固有値とすると、p_k = tr(A^k) なので、帰納法よりe_kはぜんぶAの成分の多項式で書けることが分かる http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744729738/2
3: １３２人目の素数さん [sage] 2025/04/16(水) 00:29:09.78 ID:gblACL9B det( xI - A ) なんだからあったりまえやん http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744729738/3
4: １３２人目の素数さん [sage] 2025/04/16(水) 05:21:37.65 ID:VwL9tavP >>1 単発質問禁止 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744729738/4
5: １３２人目の素数さん [] 2025/04/16(水) 11:47:57.11 ID:0lX9btpV >>3 具体的に http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744729738/5
6: １３２人目の素数さん [sage] 2025/04/16(水) 18:35:50.19 ID:sgEksmoX Q. (n次正方)行列Aの特性多項式の係数は、det(A)(定数項)とtr(A)(n-1次の項)以外も行列Aの成分で書けるの？ A.はい まず特性多項式は、det( xI - A ) なので、 detを定義式通りに計算すれば、各係数は必ず求まるし 当然Aの成分以外のものは出て来ようがありません まあ、線形代数を理解していればdetを定義式で計算する馬鹿はいないでしょう nが大きくなれば手数が膨大になり現実的でないからです 基本変換で階段化すれば対角要素を掛けることでdetは求まります この方法で特性多項式が計算できることは 例えば堀田良之「加群十話」にも書かれてます さらに １．特性多項式の根は固有値であり、したがって特性多項式の係数は固有値の基本対称式である ２．Aのｎ乗のtrは、Aの固有値のｎ乗和である ３．基本対称式は、べき和対称式を使って表すことができる という３つの事実を知っていれば、特性多項式の係数をAとそのべき乗のtrを使って表せると分かります これで1の質問に完璧に答えたのでこのスレッドは終了しました さいなら さいなら さいなら http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744729738/6
7: １３２人目の素数さん [] 2025/04/16(水) 18:56:43.02 ID:5HZYvw+j >>6 答えを出すことが目的化していては、学問をしているとは言わないよ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744729738/7
8: １３２人目の素数さん [] 2025/04/16(水) 19:19:26.03 ID:sgEksmoX >>7 自己批判大変結構 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744729738/8
9: １３２人目の素数さん [] 2025/04/16(水) 23:35:50.50 ID:b/WcLcOc なんでdetとtrは現れるのに、それ以外は数学に現れないの？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744729738/9
10: １３２人目の素数さん [] 2025/04/17(木) 00:36:20.19 ID:cKRhmuHd 統計とか微分幾何とかでは暗に出てくるような だいたいtr(A^n)の形の方だけど http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744729738/10
11: 死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ [] 2025/04/17(木) 04:16:48.79 ID:PjFThsjA 可能性がないなら根回しでもして可能性を作り出せばいい。よって答えはイエス。今すぐにということもない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744729738/11
12: １３２人目の素数さん [sage] 2025/04/17(木) 04:31:33.46 ID:3iTMDDvx >>9 detもtrで表せる http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744729738/12
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