雑談はここに書け！【６７】

雑談はここに書け！【６７】 (468ﾚｽ)
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380: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/25(木) 17:24:22.68 ID:ABGVOhvU

π^π を代数的数と仮定する
π＞1 から π^π は正の実数だから、π^π に対して
或る実代数的数aが存在して π^π＝a であって a＞π＞1＞0 であるから π＝a^{1/π} である
π^π＝a なることに注意して、確かに a＞1 なる実数aに対して
定義される実変数xの指数関数 f(x)＝a^x を考えれば a＞π だから π＝a^{1/π}＞π^{1/π} である
πは無理数であって、πの π＝2Σ _{k^-0,1,…,+∞}(((2k−1)!!)/((2k＋1)((2k)!!)) なる
有理級数表示に注意すれば、無理数πに収束する単調増加な有理数列は存在する
無理数πに収束する単調増加な有理数列を {b_n} ∀b_n＞1 とする
正の整数nを任意に取れば、nに対して定義される
実数列 {b_n} の第n項 b_n 、第n+1項 b_{n+1}は両方共に有理数だから、
nに対して b_{n+1} の b_n 乗列 c(n) が定義されて c(n)＝(b_{n+1})^{b_n} とおくことが可能である
よって、実数列 {b_{n+1}^{b_n}} は π^π に収束する単調増加な実代数的数の列である
正の整数nを任意に取る。このとき、b_{n+1}＞b_n＞1 であるから 1＞1/(b_n)＞1/(b_{n+1})＞0 から
1＞1/((b_{n+1}))^{b_n})＞1/(b_{n+1}) であって b_{n+1}＞(b_{n+1})^{b_n} である
正の整数nは任意であるから、n→+∞ のとき b_{n+1}→π かつ n→+∞ のとき b_n→π から π≧π^π を得る
しかし、π≧π^π なることは π^π＞π なることに矛盾する
この矛盾は、π^π を代数的数と仮定したことから生じたから、
背理法が適用出来て、背理法を適用すれば、π^π は超越数である

同様に考えて一般化すれば、a、bを a＞1、b＞1 なる無理数とする
このとき、実数aに収束する単調増加な有理数列 {a_n} ∀a_n＞1
と 実数bに収束する単調増加な有理数列 {b_n} ∀b_n＞1 が
両方共に存在するならば、a^a、b^b、a^b、b^a はすべて超越数である

故に、a＝π、b＝e とすれば、π＞e＞1 であって、π^π、e^e、e^π、π^e はすべて超越数である

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736754850/380

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