バナッハ=タルスキの定理の証明見たけど選択公理は本質じゃないだろ (85ﾚｽ)
上下前次1-新
1(6): 2024/12/24(火)02:25 ID:DQhPqq6a(1/3)調 AAS
4-正則樹木グラフを全単射でうつした軌道集合の時点で、2倍と分割合同の現象が起きてるんだから
選択公理がこの定理の不思議さに起因する本質的なものじゃないだろ
2: 2024/12/24(火)02:26 ID:DQhPqq6a(2/3)調 AAS
Youtubeでテキトーに解説してる連中は証明をちゃんと理解してるとは思えんのだが
3(1): 2024/12/24(火)02:28 ID:DQhPqq6a(3/3)調 AAS
確かに球で示そうとするには選択公理使うけど
使うからといって本質とは限らんだろ
スマホは充電口が必要だけど、充電口こそがスマホたらしめているもの、とは言えないだろ
4: 2024/12/24(火)02:36 ID:7Z7CNCM/(1)調 AAS
はい
5(3): 2024/12/24(火)10:29 ID:D46E5rBk(1)調 AAS
無限木が自然に埋め込める（ノンコンパクトな）空間なら選択公理は要らない
そうじゃないコンパクトな空間の変換群でも
階数２以上の自由群が部分群として存在する場合の話は
選択公理を必要とする
１が考える本質（木と自由群の性質）は、選択公理とは無関係
でも、球とかに当てはめるなら、選択公理を必要とする
それが本質的かどうかは、何を本質と考えるかによる
6(2): 2024/12/24(火)10:50 ID:huPLPomA(1)調 AAS
じゃあ選択公理なしで球を二つに増やしてください
7(1): 2024/12/24(火)10:52 ID:nSqZQevx(1)調 AAS
>>6
>>3を読んでね
8: 2024/12/24(火)11:25 ID:4L+pRdAz(1/4)調 AAS
二分論、ありかなしか
9: 2024/12/24(火)11:50 ID:bktlSzP+(1)調 AAS
>>7
>スマホは充電口が必要だけど、充電口こそがスマホたらしめているもの、とは言えないだろ
あー、これは選択公理なしでバナッハタルスキの定理が証明できてますね
失礼しました
解決したのでこのスレは終了です
10: 2024/12/24(火)11:58 ID:ppPSEpLO(1)調 AAS
参考文献
https://www.kyoritsu-pub.co.jp/book/b10030018.html
バナッハ-タルスキーのパラドックス 原著第2版
https://www.iwanami.co.jp/book/b352611.html
新版 バナッハ-タルスキーのパラドックス
http://www.seidosha.co.jp/book/index.php?id=1739
バナッハ=タルスキの逆説
11: 2024/12/24(火)12:44 ID:4L+pRdAz(2/4)調 AAS
バナッハ=タルスキーのパラドックス 小沢
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/H27-ozawa.pdf
12: 2024/12/24(火)13:18 ID:dg5Z7biM(1)調 AAS
たぶん外延性公理がなければバナッハ・タルスキーを証明できないと思うが、
それを根拠に外延性公理がパラドキシカルだと言う人はいない
同様に選択公理もパラドキシカルではない
13: 2024/12/24(火)13:25 ID:sil6ct50(1/7)調 AAS
>>5
正論
14: 2024/12/24(火)13:26 ID:sil6ct50(2/7)調 AAS
>>6
とんち小僧か
15(1): 2024/12/24(火)14:03 ID:hP3BO5M7(1)調 AAS
選択公理なしにルベーグ非可測な集合はつくれないんだから、どうみても選択公理が本質
16: 2024/12/24(火)14:23 ID:PtULtEp7(1/3)調 AAS
バナッハ･タルスキーの定理の証明を自己完結かつ行間(ほぼ)ゼロで解説してるサイト･PDF教えてくれ
17: 2024/12/24(火)14:59 ID:uKlKQegc(1/2)調 AAS
>>15
外延性公理なしでも多分作れないが
18(1): 2024/12/24(火)15:05 ID:u2S8C/Iw(1)調 AAS
外延性公理とか言ってる奴、何が云いたい？
19(1): 2024/12/24(火)15:26 ID:N6Rle+ly(1/5)調 AAS
選択公理より真に弱いハーン・バナッハの定理からパラドキシカルな分割が構成できる。
その意味で選択公理は本質的ではない。
20(1): 2024/12/24(火)15:50 ID:uKlKQegc(2/2)調 AAS
>>18
国語力を鍛えろ
21(2): 2024/12/24(火)16:01 ID:GelClr/h(1/2)調 AAS
「AがなければXを証明できない」ならば「AはXに本質的」ならば、
外延性公理がなければバナッハタルスキーは証明できないので、外延性公理はバナッハタルスキーに本質的
「Aを仮定するとパラドックスが導ける」ならは「Aがパラドキシカル」ならば、
外延性公理を仮定してパラドックスを導けるので、外延性公理はパラドキシカル
ということになる
22(1): 2024/12/24(火)16:27 ID:N6Rle+ly(2/5)調 AAS
>>21
全くの間違い
23: 2024/12/24(火)16:29 ID:4L+pRdAz(3/4)調 AAS
>>20
夏目漱石を読めばいいのか？
24: 2024/12/24(火)16:42 ID:GelClr/h(2/2)調 AAS
>>22
どこが間違いなの？
25(2): 2024/12/24(火)17:37 ID:sil6ct50(3/7)調 AAS
本質的ってのを定義しようとしている下らない奴が居そう
ZF前提でAC追加して作れるんだから作るのにACの他にZFも要るんだってのを本質的だろって誰も是認せんだろ
26(1): 2024/12/24(火)17:38 ID:AaAbUjRF(1)調 AAS
>>25
論理が理解できないアホ発見
27: 2024/12/24(火)18:40 ID:4L+pRdAz(4/4)調 AAS
訂正
国語が理解できないアホ発見
28: 2024/12/24(火)19:15 ID:sil6ct50(4/7)調 AAS
>>26
はぁ
お前が書いてるのは外延性公理が必要だってだけで
そりゃあZFで考えてるんだから当然だろ
29: 2024/12/24(火)19:17 ID:sil6ct50(5/7)調 AAS
本質的ってのを使われてて必要だっていうことにしたいってのが下らないお前が言っていること
だれも是認しないだろうよ
30(1): >>1 2024/12/24(火)19:18 ID:nhDZJMfr(1/2)調 AAS
>>1です
とりあえず賛同する人がちらほらいて一安心
だけどなんかスレ内で意図のすれ違いが起きてるなあ
>>21の言いたいことは
「選択公理がバナッハタルスキにおいて必要だから本質的」という主張がもし容認されるならおかしいよねってのを背理法的に述べてるだけじゃん
だから「選択公理は本質じゃない派」なのはおkとして
>>25は>>21の主張を誤解してないか？
それともそんなの反論になってない、選択公理は本質的だよという立ち位置なのか
31: 2024/12/24(火)19:24 ID:sil6ct50(6/7)調 AAS
>>19
>その意味で選択公理は本質的ではない
こっちの意味なら是認する人は居ようが
どこまで弱められるかという割と不毛な議論になるので
ツマンナイネ
32: >>1 2024/12/24(火)19:26 ID:nhDZJMfr(2/2)調 AAS
でもド専門家の木田先生の修士レポートでは「本質的」って書いてるんだな…
33: 2024/12/24(火)19:27 ID:sil6ct50(7/7)調 AAS
>>30
>それともそんなの反論になってない、選択公理は本質的だよという立ち位置なのか
本質的という言い方を再定義するのは不毛だという立ち位置
大方の人が本質的だと思っていてそれで十分それ以上考えるのは無駄という立ち位置
34: >>1 2024/12/24(火)19:40 ID:dMLlUL0Z(1/2)調 AAS
まあ結局はその人がどの段階で不思議、パラドキシカルだと思うのかという信条、信念に依存した話だから議論の意味がないって意見も分かる
だとしてもYoutubeに蔓延ってる、この選択公理こそが重要なんだ〜！！これこそがこのおかしな定理を生んでいる主犯人なんだ〜！みたいな動画はやっぱりどうかと思うし、証明を理解しているのかとても怪しく思う
35(1): >>1 2024/12/24(火)20:04 ID:dMLlUL0Z(2/2)調 AAS
>>5にある通り、「ノンコンパクトなら当然だよね、でもコンパクトなのにこんな現象起こるのはすごい！不思議！」って立場なら「選択公理本質！」って意見も分かる
でも大抵の動画は「一個の図形をバラバラに分解して組み直したらコピーが出来て2倍になる！すごい！実は選択公理が原因！」
みたいなのばかり、いやいやその現象自体は選択公理必要としねえから と思ってしまう
36: 2024/12/24(火)21:17 ID:N6Rle+ly(3/5)調 AAS
>>5
もっと弱い公理でも成り立つからどっちみち選択公理は本質的ではない
37: 2024/12/24(火)21:18 ID:N6Rle+ly(4/5)調 AAS
>>35
藁人形論法
38: 2024/12/24(火)21:21 ID:N6Rle+ly(5/5)調 AAS
コンパクトがどうこう言ってる人が複数いるのは何故だろう？
これは位相の問題ではなく、測度の問題
39: 2024/12/24(火)21:56 ID:hmg/0kUq(1)調 AAS
もはや数学板に知性は望むべくもない
40(1): 2024/12/24(火)23:09 ID:nXO5yMV1(1)調 AAS
1=2の証明
a=b
a^2=ab
a^2-b^2=ab-b^2
(a+b)(a-b)=b(a-b)
a+b=b
2b=b
2=1
普通の人「0除算が原因」
>>1「0除算する前の(a+b)(a-b)=b(a-b)の時点で不思議なことが起きてる！0除算は本質じゃない！ギャオオオン！」
41(2): 2024/12/24(火)23:40 ID:PtULtEp7(2/3)調 AAS
今日、alg-dさんのPDFでバナッハ･タルスキーの定理の証明をざぁ～っと眺めたけど、代数的議論が主題で俺には向いてなかったな。
42: 2024/12/24(火)23:41 ID:PtULtEp7(3/3)調 AAS
ところで、alg-d氏って研究者なんかな?
詳しすぎるやろ、あのACとの同値命題一覧のサイト
43: >>1 2024/12/25(水)03:33 ID:cTBQX/GF(1)調 AAS
>>40
今回の話と全く無関係で、何も的を射てない例えを作って妄想でお人形遊びして楽しいかな
44: 2024/12/25(水)09:22 ID:d4m1+r5p(1/5)調 AAS
苦笑
>代数的議論が主題で俺には向いてなかったな
45: 2024/12/25(水)14:16 ID:3QvSsu9z(1/3)調 AAS
>>41
>代数的議論が主題
群の作用の話だから
46(1): 2024/12/25(水)14:46 ID:IoWAaSg8(1/2)調 AAS
>>41
代数的本質
二元集合{ρ, τ}で生成される自由群を F2 と書く．
命題 W(σ) := { x1…xn∈F2 | x1=σ} と置けば
F2
= {1}\sqcupW(ρ)\sqcup W(ρ^-1)\sqcupW(τ)\sqcupW(τ^-1)
= W(ρ)\sqcupρW(ρ^-1)
= W(τ)\sqcupτW(τ^-1).
47(1): 2024/12/25(水)14:47 ID:IoWAaSg8(2/2)調 AAS
>>46の図示
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%90%E3%83%8A%E3%83%83%E3%83%8F%EF%BC%9D%E3%82%BF%E3%83%AB%E3%82%B9%E3%82%AD%E3%83%BC%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9#/media/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Paradoxical_decomposition_F2.svg
48: 2024/12/25(水)14:51 ID:VtWHmnKo(1)調 AAS
>>47の赤の箇所と青の箇所が"合同"、というのが代数的本質
あとは球面上の点で自由群F2で移り合うものを同値とする関係で同値類を作って
そこから１点代表をとった集合をつくればいいだけ
球面の場合は選択公理が必要だが
双曲平面だったら具体的に集合をつくれるので選択公理不要
49: 2024/12/25(水)16:23 ID:aWpunPfB(1)調 AAS
結局はこの現象の肝は選択公理じゃなくて
本質的にはヒルベルトの無限ホテルのパラドックスと同じ類の仕組みなんだよな
50: 2024/12/25(水)16:26 ID:xfUIAcab(1/5)調 AAS
バナッハ･タルスキーの定理の証明を簡潔にまとめたPDF
https://alg-d.com/math/ac/banach_tarski.pdf
51(1): 2024/12/25(水)16:42 ID:xfUIAcab(2/5)調 AAS
https://alg-d.com/blog/2013/05/12.shtml より引用(start)
ところで、Banach-Tarskiの証明はそれなりの長さがありますが、その内容は殆ど「群」や「群が作用している集合」についての議論であって、選択公理は関係ありません。そして選択公理を使うのは「商集合の代表系」を一回とるだけです。つまり、実はBanach-Tarskiは選択公理とはあまり関係がないのです。証明を見ると分かりますが、Banach-Tarskiはどちらかというと自由群 F2 の性質から来ているような感じがします。
引用(end)
52: 2024/12/25(水)17:43 ID:3QvSsu9z(2/3)調 AAS
>>51
>Banach-Tarskiは選択公理とはあまり関係がない
代表系を取れないと話にならないのに関係ないとは言い難くない？
53: 2024/12/25(水)17:46 ID:d4m1+r5p(2/5)調 AAS
そもそも集合・位相はAC無しでは無理だろ、馬鹿か
54: 2024/12/25(水)17:54 ID:d4m1+r5p(3/5)調 AAS
代数だってACを多用してるｗ
55: 2024/12/25(水)18:17 ID:H9DnHvmb(1/2)調 AAS
パラドキシカルな分解は2階自由群が本質かと思っていたら違うらしい
amenable groupで調べたら大きな分野だった
56(1): 2024/12/25(水)18:19 ID:YKHHwxYU(1)調 AAS
有限の大きさの球ってのがパラドックスのミソで
途中で非可測集合作るんだから本質でしょ
57(1): 2024/12/25(水)18:34 ID:3QvSsu9z(3/3)調 AAS
自由群の交換子群は自由群だそうだけど証明は簡単なの？
58: 2024/12/25(水)18:42 ID:/Rhu5yjT(1)調 AAS
コンパクトかノンコンパクトかで
選択公理を使う必要があるかないか
違ってくると思われる
59: 2024/12/25(水)18:44 ID:d4m1+r5p(4/5)調 AAS
>>56
スレタイ 箱入り無数目を語る部屋27(あほ二人の”アナグマの姿焼き”ｗ)
2chｽﾚ:math
60(1): 2024/12/25(水)19:33 ID:H9DnHvmb(2/2)調 AAS
>>57
自由群の部分群は自由群
ただし選択公理を使う
61(1): 2024/12/25(水)19:36 ID:qa3Sudh1(1)調 AAS
数学板のチンピラ
http://hissi.org/read.php/math/20241225/ZDRtMStyNXA.html
62: 2024/12/25(水)19:38 ID:ABNX/WJw(1)調 AAS
>>60
ありがと
どこか書かれてるページとかありませんかね
63: 2024/12/25(水)20:08 ID:d4m1+r5p(5/5)調 AAS
>>61
成りすまし野郎
64: 2024/12/25(水)21:27 ID:xfUIAcab(3/5)調 AAS
”可算選択公理を使っただけにも関わらず、結果として得られるのが直感に反するような定理”ってある？
65: 2024/12/25(水)21:30 ID:xfUIAcab(4/5)調 AAS
あ、バナッハ･タルスキーの定理の証明で使ってんのは可算選択公理やな
66: 2024/12/25(水)21:30 ID:xfUIAcab(5/5)調 AAS
いや、違うな
67: 2024/12/26(木)08:50 ID:cmRYoiTK(1)調 AAS
直感に反するとは？
68: 2024/12/26(木)09:15 ID:HqiqaKqU(1/2)調 AAS
こういう
数学理論の何らかの評価については
数学的な定義はできまいし
大概が不毛な話題になるから
ある程度言い合ったら
もうやめておくがいいよ
69: 2024/12/26(木)09:53 ID:OfiNnOgH(1)調 AAS
数学以前に国語力の問題やぞｗ
常人の素朴な感覚とでも理解しとけ
70: 2024/12/26(木)18:38 ID:YFrEaDbd(1/4)調 AAS
数学の好事家がはまるわな、パラドックス、0^0ｗ
71: 2024/12/26(木)19:14 ID:hIXXeVlV(1)調 AAS
でも俺は思想こそが数学を作ってると信じてるから
こういう議論は不毛ではないと思う
72: 2024/12/26(木)19:27 ID:YFrEaDbd(2/4)調 AAS
屑数
73: 2024/12/26(木)19:44 ID:L+Fq08vq(1)調 AAS
今日のチンピラ
http://hissi.org/read.php/math/20241226/WUZyRWFEYmQ.html
74: 2024/12/26(木)20:52 ID:YFrEaDbd(3/4)調 AAS
効いてるな
75: 2024/12/26(木)22:04 ID:YFrEaDbd(4/4)調 AAS
分からない問題はここに書いてね 472
330 ：１３２人目の素数さん[]：2024/12/26(木) 21:46:14.82 ID:HqiqaKqU
と思ったら違うのか
76: 2024/12/26(木)22:23 ID:HqiqaKqU(2/2)調 AAS
このスレのチンピラが何か言いたそうだね
77: 2024/12/27(金)00:06 ID:suvE7960(1)調 AAS
例えば決定性公理の下ではルベーグ非可測な集合はつくれない
そして決定性公理はZFとは矛盾しない（選択公理とは矛盾する）
だから選択公理が本質なのは明らか
78(1): 2024/12/27(金)08:56 ID:Lh3Zwbej(1/2)調 AAS
アマゾンのカスタマーレビュー：
この本は、大学1年生で学ぶような基本的な線形代数を知っている人向けです。数学科の2年生以上の線形代数を解説した教科書としては、現在普通に手に入る本では最良のものです。
79(1): 2024/12/27(金)16:35 ID:YGw71Leb(1/2)調 AAS
>>78
関係ないレスを書き込むのは荒らし行為。耄碌されましたかね？
80: 2024/12/27(金)16:37 ID:YGw71Leb(2/2)調 AAS
「双曲平面でのバナッハ-タルスキーのパラドックス」
の話を聞いて
『バナッハ-タルスキーのパラドックス 原著第2版』
https://www.kyoritsu-pub.co.jp/book/b10030018.html
を早速購入したと言っていた某元教授は、ちゃんと内容を
読んだのだろうか？ 「買っただけで満足して本棚の肥やし
にする」という一番ダメな読者になっていなければいいが。
この本の「4.3 双曲平面全体の上でのBanach-Tarskiの逆理」
が、選択公理なしで構成できる例になっている。
こんな大きな本を買わなくても、この事実自体は自分の頭で
考えれば分かる話。自分で思いつかないのは、数学者として
ボケているのかもしれない。
81(2): 2024/12/27(金)17:31 ID:6qWdmkmn(1)調 AAS
パラドックスと言われる本質って、(有限)分割に、連結を要請しないところにあるんじゃね?
任意の集合Aは、A=(A∩Q)∪(A∩(R-Q))と分割出来てしまう。R^nでも同様。
82: 2024/12/27(金)21:52 ID:Lh3Zwbej(2/2)調 AAS
>>79
遅ればせながら
誤爆スマソ
83: 2024/12/29(日)08:47 ID:3Novfna8(1)調 AAS
>>81
それは一般化しすぎ
ある意味普通の解釈で自己同型な幾つかの集合に分けるのが重要
84: 08/23(土)03:50 ID:m9lE3V26(1)調 AAS
>>81
連結を要請してもパラドキシカルな分解は可能
youtu.be/45Qvcc3ITVk
85: 08/27(水)20:20 ID:8xW7oa6O(1)調 AAS
金塊を2倍にできるのが実用化できるなら、多大な投資がなされるはずだから、
たぶん実用の役には立たないのだろう。
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