コラッツ予想解いたんだけど (37ﾚｽ)
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27: 03/07(金)07:23 ID:r6avM1wY(1/8)調 AAS
>>14
まず、4ページ目のケース(5)で
d(T^n x, T^{n＋1} x)^2 ≦ …… ≦ A^n d(x, T x)^2
を導出している場面がある。つまり
d(T^n x, T^{n＋1} x) ≦ A^{n/2} d(x, T x)
である。xとnに制限はないので、結局、ケース(5)の場合、
任意のx∈Xと任意のn≧1で上記の不等式が成り立つことになる。
28: 03/07(金)07:25 ID:r6avM1wY(2/8)調 AAS
そして、コラッツ写像に対する不動点定理の適用もケース(5)なので、
実践の場面では単に
d(T^n x, T^{n＋1} x) ≦ A^{n/2} d(x, T x)
を適用すればいいだけである。論文の中では X＝N, d(x,y)＝｜x−y｜, A＝1/2 なので
d(T^n x, T^{n＋1} x) ≦ (1/√2)^n d(x, Tx)
となる。
29: 03/07(金)07:27 ID:r6avM1wY(3/8)調 AAS
(1/√2)^n d(x, Tx) ＜ 1 が成り立つような n の範囲を求めると、
n ＞ log d(x,Tx) / log√2 となる。このとき d(T^n x, T^{n＋1} x) ＜ 1 である。
今回の設定では、d(x,y)＝｜x−y｜(x,y∈N) は非負整数の値しか取らないので、
d(T^n x, T^{n＋1} x) ＝ 0 となるしかない。
つまり、n ＞ log d(x,Tx) / log√2 のとき、T^n x はずっと定数になる。
30: 03/07(金)07:28 ID:r6avM1wY(4/8)調 AAS
ところで、論文の中では
T(x)＝ 1 (x＝1), x/2 (xは偶数), (3x＋1)/2 (xは3以上の奇数)
と定義されている。特に x が3以上の奇数の場合を考えると、
d(x, Tx)＝｜x−(3x＋1)/2｜＝(x＋1)/2
なので、( log d(x,Tx) ) / log√2 ＝ ( log((x＋1)/2) ) / log√2
となる。すなわち、初期値 x ごとに、
n ＞ ( log((x＋1)/2) ) / log√2 ならば T^n x はずっと定数になる。
31: 03/07(金)07:30 ID:r6avM1wY(5/8)調 AAS
T^k x ＝ T^{k＋1}x のとき、y＝T^k x と置けば、
T(y)＝T^{k＋1}x＝T^k x＝y すなわち T(y)＝y であり、
これを満たす y は 1 しかない。よって、初期値 x ごとに、
n ＞ ( log((x＋1)/2) ) / log√2 ならば T^n x ＝ 1 が成り立つことになる。
32: 03/07(金)07:31 ID:r6avM1wY(6/8)調 AAS
念のため、x ごとに n に関する追加の制限がないか確認してみたが、
そんなものは無いように見える。つまり、本当に
n ＞ ( log((x＋1)/2) ) / log√2
のとき、T^n x ＝ 1 が成り立つことになる。
33: 03/07(金)07:33 ID:r6avM1wY(7/8)調 AAS
ここまで来れば具体的に検証可能で、プログラムを組んで検証してみると、
反例がたくさん出てくる。たとえば x = 77031 の時点で成り立ってない。
34: 03/07(金)07:36 ID:r6avM1wY(8/8)調 AAS
もし論文の内容が正しいなら、
n ＞ log((77031＋1)/2) / log√2 (≒30.466…)
のとき T^n x ＝ 1 になってるはずで、特に T^31 x ＝ 1 のはずだが、
実際には T^31 x ≠ 1 であり、実は221回目で初めて 1 になる。
つまり T^220 x≠1 かつ T^221 x ＝ 1 である。
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