論理的思考力を鍛えよう Part1 (785ﾚｽ)
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705(4): 2012/08/21(火)02:45 AAS
まず十分性について示す。
○×のうち少ない方の印をA、多い方の印をBとする。
（同数の場合は、どちらか一方をA他方をBとする、どちらがAでもよい）
額にAの印が付いている人をpA、Bの付いている人をpBとする。
また、pA、pBが複数いる場合、各pA、pB個人が得られる情報には差異はなく
各個人は同じように論理的なので、pAはpAどうし,pBはpBどうし全て同じ行動を取る。
よってpA一人の行動が(乱数などを含まず)論理的に一意に決まれば
他のpAも同様の行動をとると考えて良い。pBも同様。
706: 705 2012/08/21(火)02:46 AAS
続き
命題(1)： pAがn人の時、n日目の夜はpAが村を出ていくのに十分な時である (ただしn≧1)
pAが１人の時
pA自分以外が全てAでない印が付いている事を知り
その夜(1日目の夜)に出ていくので命題(1)は正しい …(2)
pAがk人のときに命題(1)が正しいとの仮定の下で
pAがk+1人のときを考える
もしpAがk日目以前に村を出ていたら命題(1)は正しい
k日目までにpAが出ていかなかった場合
pAは全てk人のpAを知っている
自分についてはわからないのでpAの人数はk人またはk+1人のどちらか
しかし、仮定よりpAがk人だった場合にはk日目の夜までには出ていっているので
k+1日目にはpAはk+1人であり、当人もpAであることがわかる
よって、k+1日目の夜にk+1人のpAは村を出ていく、命題(1)は正しい …(3)
(2)(3)から数学的帰納法により全てのn>1について命題(1)が正しいことが示された。
以上のことより、pAがn人ならばn日目の夜はpAは出ていくのに十分な時であり
pAが出ていくことによりその翌日の夜はpBも自分の印がわかり村を出ていくのに十分である
（ただしpApB同数の場合はその対称性により、pBもn日目で十分)
必要性はまた後で（というか誰か頼む）
709(1): 2012/08/24(金)11:24 AAS
あ、>>704にもう書いてあったか。すまん。
矛盾が起こることを、全てのケースについていっぺんに示すのは
おそらくけっこう面倒な事になるので
>>705でやっているように、n日目についてだけを考えて
あとは数学的帰納法ってのが見通しがよさそう。
719: 2012/08/31(金)04:49 AAS
必要性というのがいまひとつわからないんだけど
>>705じゃダメなの？
720: 2012/09/01(土)02:31 AAS
>>705だと、例えば○がｎ人いる場合（×はもっと多い）について
○の人がn日目に自分の印を知る方法が示されている。
しかし、それよりも前の日に自分の印を知る方法は
存在しないことについてはなにも触れていない。
つまり、遅くともn日目の夜までには○は皆出ていくことは分かったが
実際には（と言う言い方も変だが）それよりも早く出ていくかもしれない。
ｎ日目の夜よりももっと早く出ていく可能性が否定できないということ。
遅くともn日目という十分性だけの答で満足するかどうかは
それぞれ個人が決めればいいことだが
自分には、１＋１≦２ と書かれた式（もちろんこの式は正しい）を見て
できれば １＋１＝２ にしてくれないかなあ と感じるくらいの違和感はある。
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