万物は「地」からできている (657ﾚｽ)
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523: 🐙 01/07(火)14:54 ID:m0t5ckzE(1/45) AAS
emanの物理学など物理学の解説をしています。
524: 🐙 01/07(火)14:54 ID:m0t5ckzE(2/45) AAS
ブラケット記法のメリットは
それで表現できる数式があるということだ
～という数式を│a>として複雑な数式を簡略化することができる
行列と同じように表現の一種が欲しかったのだ
525: 🐙 01/07(火)14:56 ID:m0t5ckzE(3/45) AAS
AA省
526: [Φ|(|´|Д|`|)|Φ] BBxed!! 🐙 01/07(火)14:56 ID:m0t5ckzE(4/45) AAS
2成分スピノルとは
ユニタリ行列の資格を持つ回転行列U（Rt=R^-1）で
2回転のユニタリ変換Uz（4π）しなければスピンの値を得られない
スピノルで表現される2成分のスピンである
527: 🐙 01/07(火)14:57 ID:m0t5ckzE(5/45) AAS
ローレンツ変換はt´=0,x´=0のベクトルでの座標変換すればいい
ガリレイ変換が成り立つのは慣性系の座標（x,t）=（x´,t´）のベクトルが同じ時という言葉の意味を理解するべき
528: 🐙 01/07(火)14:58 ID:m0t5ckzE(6/45) AAS
微分の問題（難しめ）
（∂/∂t）^2cos（kx-ωt+θ）=（-ω^2）cos（kx-ωt+θ）
であっているかな
529: [Φ|(|´|Д|`|)|Φ] BBxed!! 🐙 01/07(火)14:59 ID:m0t5ckzE(7/45) AAS
場の量子論（5）
正準交換関係を原理に据えることで場の量子化をすることを正準量子化と呼ぶ
530: [Φ|(|´|Д|`|)|Φ] BBxed!! 🐙 01/07(火)15:00 ID:m0t5ckzE(8/45) AAS
量子ゼノ効果では砂糖水を使った光学実験があります
砂糖水は縦偏光から横偏光へと回転させる性質があります
この回転を観測し続けると量子ゼノ効果により回転が起こりにくくなります
531: [Φ|(|´|Д|`|)|Φ] BBxed!! 🐙 01/07(火)15:01 ID:m0t5ckzE(9/45) AAS
場の量子論（4）
クラインゴルドン場のφは波動関数であり波の性質を持っている
波動性と粒子性を表す時、第二量子化と言われる
具体的にはAcosθのAを生成消滅演算子âにすることだが
生成演算子では粒子性を表すため一つの粒子â†と波cosθを生成する
こうして粒子と反粒子を表す実スカラー場が完成する
532: [Φ|(|´|Д|`|)|Φ] BBxed!! 🐙 01/07(火)15:01 ID:m0t5ckzE(10/45) AAS
場の量子論（3）
ディラック場はガンマ行列を導入することでラグランジアン密度を導ける
533: [Φ|(|´|Д|`|)|Φ] BBxed!! 🐙 01/07(火)15:02 ID:m0t5ckzE(11/45) AAS
場の量子論（2）
クラインゴルドン場はラグランジアン密度によって複素スカラー場となる
φは波動関数だが粒子と反粒子を記述するために使われる
複素スカラー場である
534: [Φ|(|´|Д|`|)|Φ] BBxed!! 🐙 01/07(火)15:02 ID:m0t5ckzE(12/45) AAS
4元運動量と共変微分の計算式
p^μ=（E/c,p）
pμp^μ=ημνp^μp^μ=-（E/c）^2+p^2
∂νφ=（∂/∂xν）φ
∂νφ∂^νφ=ημν∂νφ∂νφ=-（∂0φ）^2+（∂1φ）^2+（∂2φ）^2+（∂3φ）^2
535: [Φ|(|´|Д|`|)|Φ] BBxed!! 🐙 01/07(火)15:03 ID:m0t5ckzE(13/45) AAS
場の量子論の序
ラグランジアン密度とは
連続体（ひも）の解析力学で
L=T-Vの式から（ひもの）全質点の運動エネルギーΣaとポテンシャルエネルギーΣbにより
L=Σa-ΣbからL=∫a-bdx
L=∫𝓛dxとなる𝓛である
このひもを点粒子として系の運動を表すのが場の量子論である
536: [Φ|(|´|Д|`|)|Φ] BBxed!! 🐙 01/07(火)15:04 ID:m0t5ckzE(14/45) AAS
エディントンのイプシロンは
εijk=+1 偶置換（0,2回置換）
-1 奇置換（1回置換）
0（それ以外）
である
つまり
εijk=
+1=ε123=ε231=ε312）
-1=ε132=ε213=ε321）
0 otherwise
省8
537: [Φ|(|´|Д|`|)|Φ] BBxed!! 🐙 01/07(火)15:04 ID:m0t5ckzE(15/45) AAS
ブラケットを使った運動量表示とは
シュレディンガー方程式を立てたとき
波動関数は微分しても変わらない指数関数にすると
運動量が取り出しやすいのだった
つまり│p＞を作るにはe^ixを係数にすると上手く行くのだ
538: [Φ|(|´|Д|`|)|Φ] BBxed!! 🐙 01/07(火)15:05 ID:m0t5ckzE(16/45) AAS
AA省
539: [Φ|(|´|Д|`|)|Φ] BBxed!! 🐙 01/07(火)15:06 ID:m0t5ckzE(17/45) AAS
ユニタリ行列とは
U†U=UU†=E
であり
AB=BA=Eなので
逆行列A^-1=Bを満たし
U^-1=U†となる
これをユニタリ変換と呼ぶ
＜A│U†U│B＞=＜A││B＞というような使い方をする
540: [Φ|(|´|Д|`|)|Φ] BBxed!! 🐙 01/07(火)15:10 ID:m0t5ckzE(18/45) AAS
アインシュタイン=ドハースの実験分かったのは
スピンは自転といわれるがxyzの向きがある
これは右や左向きという意味ではなく
磁場の向きと同じ角度で球に中心からベクトルを伸ばした
方位成分が上や下向きに影響を与えているのである
541: [Φ|(|´|Д|`|)|Φ] BBxed!! 🐙 01/07(火)15:10 ID:m0t5ckzE(19/45) AAS
AA省
542: [Φ|(|´|Д|`|)|Φ] BBxed!! 🐙 01/07(火)15:11 ID:m0t5ckzE(20/45) AAS
シュルテン=ゲラッハの実験で分かったのは
方位量子数がl、状態の数が2個なので2l+1=2というルールでl=1/2
磁気量子数mはl～-lの値から1個ずつ選び取ってm=+-1/2
そこにスピン量子数h/2（h=hbar）が加わるということだ
スピン量子数はSU（2）とも関わってくる
543: [Φ|(|´|Д|`|)|Φ] BBxed!! 🐙 01/07(火)15:11 ID:m0t5ckzE(21/45) AAS
世界間隔の理解に苦労した
光は時空図で点0から斜め45度に進むct=cTのときx=cT（距離=速度×時間）
なので（cT）^2=x^2が光的になりローレンツ変換に不変になるということだった
544: [Φ|(|´|Д|`|)|Φ] BBxed!! 🐙 01/07(火)15:12 ID:m0t5ckzE(22/45) AAS
AA省
545: [Φ|(|´|Д|`|)|Φ] BBxed!! 🐙 01/07(火)15:13 ID:m0t5ckzE(23/45) AAS
球面調和関数はI=0,m=0のときP₀(x) = 1となりcosθが消えることにより
Y＿lm=1/2√πとなるこれは角度に関わらず定数になる（球対称）ということになる
これにより電子の軌道が求められる
球面調和関数はシュレディンガー方程式の位置と角度の変数分離として求められる
546: [Φ|(|´|Д|`|)|Φ] BBxed!! 🐙 01/07(火)15:13 ID:m0t5ckzE(24/45) AAS
物質波とは量子ではない物質も波動性を持つということだ
λ=h/pで表される
野球ボールなどはプランク定数に対して速度が小さすぎるため
波長が小さくなり過ぎるため波動性を考慮しなくとも良い
故に粒子の本質は波であるが量子は観測することで粒子にもなる不思議な性質がある
これが観測問題である
547: [Φ|(|´|Д|`|)|Φ] BBxed!! 🐙 01/07(火)15:14 ID:m0t5ckzE(25/45) AAS
∫daρ（x,t）a
これが期待値の定義で
量子の位置の期待値は
∫│Ψ│^2xdx=∫ΨxΨ*dx
である
量子ゆらぎのため時刻tの位置や運動量が定まらないため
何度も測定した平均の値が期待値と呼ばれている
548: [Φ|(|´|Д|`|)|Φ] BBxed!! 🐙 01/07(火)15:15 ID:m0t5ckzE(26/45) AAS
E=hω
E=hk（h=hbar）
E=hν
p=h/λ
ω=2πν
1/T=ν
E=pc
c=λν
この辺の覚え方はひとそれぞれ
549: [Φ|(|´|Д|`|)|Φ] BBxed!! 🐙 01/07(火)15:16 ID:m0t5ckzE(27/45) AAS
シュレディンガー方程式は
エネルギーの式にΨをかけた
EΨ=p^2/2mΨ+VΨに波動関数Ψをtとxで偏微分した
∂Ψ/∂t=EΨと∂Ψ/∂x=p^2Ψの関係式で代入すると求まるようです
意外と簡単に求まりました
550: [Φ|(|´|Д|`|)|Φ] BBxed!! 🐙 01/07(火)15:17 ID:m0t5ckzE(28/45) AAS
シュテルン＝ゲルラッハの実験で分かったのは
銀原子ビームが二手に分かれるのは
z軸方向の+-1/2スピンがあるという量子の持つ性質があるためだった
古典論（量子力学ではない）では磁気モーメント（不揃いな磁石）により磁場の影響を受けて
自由な方向に曲がるという予測に反した実験となったらしい
551: [Φ|(|´|Д|`|)|Φ] BBxed!! 🐙 01/07(火)15:17 ID:m0t5ckzE(29/45) AAS
多項式環の足し算と掛け算は
Σax+Σbx=Σ（a+b）x
Σax・Σbx=Σabx
ということらしい
552: [Φ|(|´|Д|`|)|Φ] BBxed!! 🐙 01/07(火)15:18 ID:m0t5ckzE(30/45) AAS
テイラー展開の一次の項で近似すると
f（a+h）=f´（a）h+f（a）
です覚えておいて損はないです
テイラー展開とは点a周りのΣによる関数の解析です
553: [Φ|(|´|Д|`|)|Φ] BBxed!! 🐙 01/07(火)15:19 ID:m0t5ckzE(31/45) AAS
軌道角運動量はL=r×p
スピン角運動量はs
全角運動量はJ=L+s
全角運動量はLとsの合成である
554: [Φ|(|´|Д|`|)|Φ] BBxed!! 🐙 01/07(火)15:19 ID:m0t5ckzE(32/45) AAS
AA省
555: [Φ|(|´|Д|`|)|Φ] BBxed!! 🐙 01/07(火)15:20 ID:m0t5ckzE(33/45) AAS
演算子は行列である
例えば微分演算子Âを行列に作用させると
Â（1,0,0）=（0,0,0）
と1が微分されて0になる微分演算子Âは行列だったのだ
これを量子力学において行列表示という
Â│Ψ＞=│Ψ´＞
としてベクトルを微分して新たなベクトル（行列）を作るという表現もできる
556: [Φ|(|´|Д|`|)|Φ] BBxed!! 🐙 01/07(火)15:20 ID:m0t5ckzE(34/45) AAS
熱の準粒子だったら熱粒子（そんなものはないが）といった具合に
音の準粒子はフォノンという名がつけられる
557: [Φ|(|´|Д|`|)|Φ] BBxed!! 🐙 01/07(火)15:21 ID:m0t5ckzE(35/45) AAS
準粒子をいろいろ調べまわってた
準粒子とは簡単に言えばパケット（分割されたデータ）であり
フォノンは振動というデータが分割された振動のパケットと呼ばれるものを量子化したものである
相互作用という衣を着た粒子とも言われ集団で活性になっている対象を粒子として扱われている
558: [Φ|(|´|Д|`|)|Φ] BBxed!! 🐙 01/07(火)15:22 ID:m0t5ckzE(36/45) AAS
トンネル効果とはポテンシャルの壁（低い壁）に粒子が波として回折し回り込むことがあるという現象
存在確率が期待値（Ψ，αΨ）として表される
粒子の本質が波であることの証拠
素粒子も波である
559: [Φ|(|´|Д|`|)|Φ] BBxed!! 🐙 01/07(火)15:23 ID:m0t5ckzE(37/45) AAS
量子が飛び飛びの値になるのは
電子のエネルギー準位が光子エネルギーのhν（エネルギーの最小単位）を受けたり放出したりするかららしい
それによってクーロン力と遠心力のバランスを取っているということだった
560: [Φ|(|´|Д|`|)|Φ] BBxed!! 🐙 01/07(火)15:23 ID:m0t5ckzE(38/45) AAS
L=r×p
この角運動量を微分すると
r×dp/dt=r×F
N=r×F
r∥Fの場合Nが0になるので
r×F=0となり角運動量が保存される
よってケプラーの法則が導かれる
よし分かったと思う…
561: [Φ|(|´|Д|`|)|Φ] BBxed!! 🐙 01/07(火)15:24 ID:m0t5ckzE(39/45) AAS
超弦理論の序を読んだ
I～∫p^4J-8d^Dp
のループ積分でスピン2のグラビトンを代入することで重力場の量子化し
計算結果はI～∫d^4pで運動量が発散するので不確定性原理
⊿x⊿p～h/2πのp→∞x→0となり
x→0の点粒子を弦に置き換えることでx→有限にカットオフされp→有限に抑えられる
という話だった
562: [Φ|(|´|Д|`|)|Φ] BBxed!! 🐙 01/07(火)15:25 ID:m0t5ckzE(40/45) AAS
弦理論の序
重力の量子化はまず不確定性原理で⊿x⊿p～h/2πの運動量に
スピン2の重力子のループ積分の計算結果p→∞を代入するとゼロ次元の点粒子がx→0になるので
x→有限の一次元の弦を使ってp→有限に抑え込める
これが粒子=弦を使う意味である
563: [Φ|(|´|Д|`|)|Φ] BBxed!! 🐙 01/07(火)15:28 ID:m0t5ckzE(41/45) AAS
4元位置ベクトルは定義だ
この定義の意味を知ったのは光円錐を理解したのが大きい
x0=ctはローレンツ変換で使う
4元運動量pμはアインシュタインの縮約で総和になる
エルミート演算子は例えば運動量演算子がz=z*で実数であることを示す
それにより測定することができる
564: [Φ|(|´|Д|`|)|Φ] BBxed!! 🐙 01/07(火)15:28 ID:m0t5ckzE(42/45) AAS
量子力学の「実在」とは
位置と運動量が測定する前からセットで定まっている状態だが
不確定性原理により測定しなければ位置か運動量だけのぼんやりとした状態しか分からないから
実在しないのではないかとアインシュタインは思っていたらしい
565: [Φ|(|´|Д|`|)|Φ] BBxed!! 🐙 01/07(火)15:29 ID:m0t5ckzE(43/45) AAS
量子力学の「実在」とは
位置と運動量が測定する前からセットで定まっている状態だが
不確定性原理により測定しなければ位置か運動量だけのぼんやりとした状態しか分からないから
実在しないのではないかとアインシュタインは思っていたらしい
566: [Φ|(|´|Д|`|)|Φ] BBxed!! 🐙 01/07(火)15:31 ID:m0t5ckzE(44/45) AAS
群って長々と定義されてるけど
線形代数で簡潔に表現されるって本当かな
長々と定義されたものが限定された数式つまり
数式⊃SU（N）と分かったらただの線形代数だったし
表現論やってみようかな
567: [Φ|(|´|Д|`|)|Φ] BBxed!! 🐙 01/07(火)16:40 ID:m0t5ckzE(45/45) AAS
混成軌道は
水素原子の場合
低エネルギー状態がψ+=ψ1sa+ψ1sb
と安定し強め合う（+）の関係になり
高エネルギー状態がψ-=ψ1sa-ψ1sb
と不安定で弱め合う（-）の関係になる
sp2混成軌道の炭素の場合
ψ1=√（1/3）ψ2s+√（2/3）ψ2px
ψ2=√（1/3）ψ2s-√（1/6）ψ2px+√（1/2）ψ2py
ψ3=…
省1
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