面白い数学の問題おしえて～な 44問目 (287ﾚｽ)
上下前次1-新
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1(5): 05/01(木)12:31 ID:gmHMkXUG(1) AAS
面白い数学の問題を紹介して解き合うスレです
質問スレではありません
出題者が答えを知らない問題はお控えください
統計学などはスレ違い、数学以外の話題は論外です
荒らし、煽りはスルー推奨
前スレ
面白い数学の問題おしえて～な 43問目
2chｽﾚ:math
まとめwiki
外部ﾘﾝｸ:w.atwiki.jp
161: 07/21(月)10:23 ID:+XuY0woP(1/2) AAS
実数の濃度がアレフ2らしいけど
それなら非加算で稠密で排反な
2つに分けられるのかな
アレフ2でなくてもできるのかな
162: 07/21(月)10:25 ID:+XuY0woP(2/2) AAS
スレチでしたね
無視して
163: 07/25(金)07:53 ID:/2kjOwp5(1/2) AAS
関数 f:R→R は、任意の実数xについて lim_(t→x+0) f(t) = f(x) を満たす。
この時、少なくとも１つの実数 x について lim_(t→x) f(t) = f(x) が成り立つことを示せ。
164: 07/25(金)15:33 ID:rZ8dIIWn(1/2) AAS
Fix n∈ℕ. 𝒪ₙ := { I ; I is open interval st. diam( f(I) ) < 1/n }. As f is right continuous, we can find q(x)>x such that (x,a(x)) ∈𝒪ₙ q(x)∈ℚ
165(1): 07/25(金)15:33 ID:rZ8dIIWn(2/2) AAS
Suppose there exists x,y ∈ ℝ such that q(x) = q(y). If x < y, then y∈ (x,q(x)) ⊂ ∪𝒪ₙ. Thus y cannot be in ℝ＼∪𝒪ₙ. Thus at least one of x,y cannot be in ∪𝒪ₙ. Thus the restriction q on ℝ＼∪𝒪ₙ is injective. Thus ℝ＼∪𝒪ₙ is countable. Thus ℝ＼∩ₙ ∪𝒪ₙ is also countable. On the other hand f is continuous on ℝ＼∩ₙ ∪𝒪ₙ.
166: 07/25(金)16:51 ID:r7J1qQpv(1/2) AAS
高々可算じゃね？
167: 07/25(金)17:08 ID:r7J1qQpv(2/2) AAS
よく見たら最後の集合が反転してるtypoのせいかな
そこ直せば高々可算でも問題ないな
168: 07/25(金)20:03 ID:/2kjOwp5(2/2) AAS
>>165
なんと！高々可算の点以外で両側連続になることを示したのか
正解お見事です！（最後の on the other hand は in other words ってことかしら）
169: 07/29(火)22:48 ID:KSc+c9bT(1) AAS
Show that n + (n-1)z¹ + (n-2)z² + ... + zⁿ⁻¹ has no roots in { z ; |z| ≦ 1 }.
170: イナ ◆/7jUdUKiSM 07/31(木)20:05 ID:pjVHkYGR(1/2) AAS
前>>121
>>160
❤AとJokerにより残り51枚は三つのエリアに分割配置される.
等分なら17枚、❤は12枚、それ以外のスートが13枚ずつあり、4種類とも間に入る可能性はかなりある.
❤AとJokerがとなりあったら間は0枚0種類.
❤AとJokerの間が1枚のとき1種類.
2枚のとき1種類か2種類.
3枚のとき1種類か2種類か3種類.
4〜13枚のとき1種類か2種類か3種類か4種類.
14〜26枚のとき2種類か3種類か4種類.
省10
171: イナ ◆/7jUdUKiSM 07/31(木)20:17 ID:pjVHkYGR(2/2) AAS
前>>121
>>160
❤AとJokerにより残り51枚は三つのエリアに分割配置される.
等分なら17枚、❤は12枚、それ以外のスートが13枚ずつあり、4種類とも間に入る可能性はかなりある.
❤AとJokerがとなりあったら間は0枚0種類.
❤AとJokerの間が1枚のとき1種類.
2枚のとき1種類か2種類.
3枚のとき1種類か2種類か3種類.
4〜13枚のとき1種類か2種類か3種類か4種類.
14〜26枚のとき2種類か3種類か4種類.
省10
172: 07/31(木)20:39 ID:+g6XRK9w(1) AAS
❤AとJoker の間に♣が１枚以上ならぶ確率は♣13個と❤一個、Ｊ一個をならべて❤とＪが並ばない確率であり1-14/₁₅C₂＝13/15。よってCを❤とＪのあいだにクラブがはいらないとき1、入るとき0をとる確率変数とすれば E(C) = 13/15。同様の確率変数をスペード、ダイア、❤A以外のハートについて定めたものを S,D,H とすれば E(S)=E(D)=13/15、E(H)=6/7。よって
E(C+S+D+H) = 13/15+13/15+13/15+6/7 = 121/35
173: 08/02(土)00:58 ID:7Nw+VIWF(1) AAS
Let F be a finite set and Λ be a set of non empty subset of F, and align Λ = {λ₁,λ₂,...}.
Let (Aₘₙ) be a matrix of order 2^#F - 1 defined as :
. Aₘₙ = 1 ( if λₘ∩λₙ ≠ ∅ )
. = 0 ( if λₘ∩λₙ = ∅ ) .
Find det(Aₘₙ).
174: 08/02(土)16:43 ID:U+vtQmLl(1/4) AAS
1元集合じゃないところは、1元集合たちの線型結合で書けそうだから0っぽい気がする
#F=1かどうかが罠だけど
175: 08/02(土)20:02 ID:L7dFYWin(1/2) AAS
例
F={a,b} のとき Λ = {{a},{b},{a,b}} でこの表記の順どおりにならべたなら
Aₘₙ =
{{ 1,0,1 },
{ 0,1,1 },
{ 1,1,1 }}
で det(Aₘₙ) = -1。
176: 08/02(土)20:56 ID:U+vtQmLl(2/4) AAS
あー0と1が逆か
177: 08/02(土)21:50 ID:M2md+IIM(1) AAS
k元集合FのΛに対して(k+1)元集合F∪{c} （cはFに属さない元）のΛ'を
λ'_n = λ_n (n<2^kの時), λ_n∪{c} (2^k≦n<2^(k+1)-1の時), {c} (k=2^(k+1)-1の時)
と定めれば、行列A'は
A A O
A I I
O I 1
（ただし行、列ともに2^k-1, 2^k-1, 1で区切り。I は全ての値が1、Oは全ての値が0とする。）
の姿をしている。detを変えない変換により
A O O
O -A O
省3
178: 08/02(土)22:10 ID:L7dFYWin(2/2) AAS
正解！
動画ﾘﾝｸ[YouTube]
179: 08/02(土)22:22 ID:U+vtQmLl(3/4) AAS
真面目にやろ
要素が1個増えると行列は
B0B
011
B11
の(n+1+n)×(n+1+n)ブロックになる。Bは要素を増やす前の行列
少し掃き出して
B0B
010
B00
省6
180: 08/02(土)22:23 ID:U+vtQmLl(4/4) AAS
よかったあってた
181: 08/03(日)14:59 ID:ji91oaUv(1/2) AAS
Determine the coefficient of the numerator, in the irreducible factor, of the coefficient of the Maclaurin expansion of (x²-x+1)exp(x).
182(1): 08/03(日)18:53 ID:YL1BmXMV(1/2) AAS
(x^2-x+1)e^x=Σa_n x^nとして
a_nを約分したあとの分子を聞いてるんだよな
a0=1
a1=0で、n≧2だと
a_n=1/n!-1/(n-1)!+1/(n-2)!
=(n-1)/n(n-2)!
になるけど、n-1が素数のときはこれ以上約分できないからn-1
そうでなくて、素数の2乗でない場合は完全に約分できるから、1
素数の2乗のときは
n-1=p^2として
省11
183(1): 08/03(日)19:11 ID:mL9auLBV(1) AAS
m, nは互いに素な自然数とする
分数(m+n-1)! / m!n!は自然数であることを証明せよ
184: 08/03(日)19:37 ID:YL1BmXMV(2/2) AAS
m+n個からm個選ぶやり方の数がm+nで割り切れることを示したいから、選び方全体に群構造をいれて、位数がm+nの元を見つけてきたい(願望)
185: 08/03(日)23:08 ID:ji91oaUv(2/2) AAS
>>182
正解！
動画ﾘﾝｸ[YouTube]
186: 08/04(月)06:31 ID:nGNfnz6K(1) AAS
白玉m個、赤玉n個円形に並べる場合の数ではダメ？
187: 08/04(月)16:12 ID:wklzv92S(1/4) AAS
まあ変な願望は捨てて真面目に互除法の構造に対する帰納法でやると
m=1,n=1のときは自明
m,nについて成り立つと仮定して、m,m+nのときは
(m+m+n-1)!/m!(m+n)!
=(m+n-1)!/m!n! × _{2m+n-1}C_{m+n-1}
なので自然数
188: 08/04(月)18:41 ID:wklzv92S(2/4) AAS
計算間違ってるやん
189(1): 08/04(月)22:17 ID:AGReftOh(1) AAS
その方針でいけるん？
190: 08/04(月)22:43 ID:wklzv92S(3/4) AAS
>>189
だめだっから最初の対称性を使って解き直したとこ
191: 08/04(月)22:51 ID:wklzv92S(4/4) AAS
S=ℤ_{m+n}
X={x⊂S | #x=m}
として、#Xがm+nで割り切れることを示す
G={+rする平行移動 | r∈S}はXに作用する
x∈Xとg∈Gに対して、gx=xとするとg=e
なぜなら、a∈xを1個取ってきて、列g^kaを作るとどこかでaに戻ってくる。この長さをNとすると、これはaに依らないので、この軌道によりxは等分され、Nはmの約数である。gの平行移動量をrとすると、Nr=0であり、Nはm+nの約数である。よってN=1でr=0
というわけで、xの軌道Gxの要素数は#G=m+nになるため、#Xはm+nで割り切れる
あってるかな？
192: 08/05(火)00:22 ID:HCN69fB4(1) AAS
よさげ
193: 08/05(火)03:08 ID:Srdf2A9W(1) AAS
最後微妙に間違えてた
Nr=0で、Nとm+nも互いに素だから、Nで割れてr=0だった
194: 08/05(火)08:29 ID:H+D/CLH1(1) AAS
例えば、基準を2^3(=8)で考えると、
1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15
0-1-0-2-0-1-0-3-0-1 -0 -2 -0 -1 -0 ←素数2の因数の個数
こんな感じで対称性があるでしょ？
これは、基準となる素数の種類やその冪数に限らず成り立つので、
割り切れるのでは？
どうやって、証明するか分からないが。
195: 08/05(火)13:57 ID:MAmUP/aR(1) AAS
(n＋m)_C_n ＝ (n＋m)！/(n！m！)
＝ (n＋m) (n＋m−1)！/(n！(m−1)！) / m
＝ (n＋m) (n＋m−1)_C_n / m
すなわち (n＋m)_C_n ＝ (n＋m) (n＋m−1)_C_n / m である。左辺は整数なので右辺も整数。
よって、(n＋m) (n＋m−1)_C_n は m で割り切れる。n,mは互いに素だから、
(n＋m) と m は互いに素。よって、(n＋m−1)_C_n は m で割り切れる。
特に、(n＋m−1)_C_n / m は整数。
(n＋m−1)_C_n / m ＝ (n＋m−1)！/(n！(m−1)！) / m ＝ (n＋m−1)！/(n！m！)
なので、(n＋m−1)！/(n！m！) は整数。
196: 183 08/05(火)14:17 ID:X4eXuEzQ(1) AAS
↑お見事です
197: 08/06(水)19:04 ID:jvXHE856(1) AAS
極限
lim[n→∞] n*{∫[0,1] {e^(-nx)}/(1+x^2) dx}
を求めよ。
198: 08/06(水)20:15 ID:UPpSHNbr(1) AAS
∫[0,1]n exp(-nx)/(1+x^2) dx
=∫[0,n] exp(-y)/(1+y^2/n^2) dy
=∫[0,∞) 1_{[0,n]}exp(-y)/(1+y^2/n^2) dy
被積分関数はnに関して単調増加だから、単調収束定理より
→∫[0,∞) lim 1_{[0,n]}exp(-y)/(1+y^2/n^2) dy
=∫[0,∞) exp(-y)dy
=1
199: 08/07(木)16:41 ID:v7ISirIJ(1) AAS
下記の東大の問題のような面白い定積分の極限の問題を教えてください！
lim[n→∞] n*[ ∫[1,2] log{(1+x^(1/n))/2} dx ]
200: 08/07(木)20:59 ID:DhukNUyo(1) AAS
ちゃんと勉強したかを試す問題なのはわかる
で、どこがどう面白い？
201: 08/11(月)01:28 ID:fRqBIPZy(1) AAS
Find all non-constant functions
f:ℤ → ℤ
such that
f(x-f(y)) = f(f(x)) - f(y) -1
holds for all x,y ∈ℤ.
202: 08/11(月)17:07 ID:LKCAkMsb(1) AAS
宿題なんですが提出締め切り過ぎたので教えてください
a[1]>1 ,
a[1]+a[2]+…+a[n]=a[1]×a[2]×…×a[n] (n≧2) をみたす数列{a[n]}について、
( 1/(a[1]-1) + 1/(a[2]-1) + 1/(a[3]-1) + … + 1/(a[n]-1) )/n^2 のn→∞の極限を求めよ。
203: 08/11(月)22:48 ID:Pq2BAI/Y(1/2) AAS
普通に再来月号を買えばいいだけの話なのに、こんなところでわざわざ解答乞食する理由は？
204: 08/11(月)22:53 ID:Pq2BAI/Y(2/2) AAS
あと付け加えると、面白い問題とは思えない
205: 08/12(火)05:14 ID:08QF4Run(1) AAS
これ懸賞問題だったのか
あっぶ
206(1): 08/12(火)10:06 ID:VI166Ty2(1/2) AAS
自然数nに対して
(1/x)+(1/y)=1/n
を満たす整数x, yの組は奇数組であることを証明せよ
207(1): 08/12(火)13:00 ID:epvPvzIT(1) AAS
>>206
x=yの場合
x=y=2nで成立
x≠yの場合
xとyを入れ替えても成立するので偶数組
よって解の総数は奇数
208: 08/12(火)17:14 ID:VI166Ty2(2/2) AAS
>>207
お見事です
209: 08/12(火)19:22 ID:MToRQVN4(1) AAS
ｎが任意定数なのか、変数なのか？
奇数組って、xとyが奇数の組なのか、組の総数が奇数なのか？
日本語は解り難い言語やな。
210: 08/12(火)21:51 ID:9WhM+6C5(1) AAS
何にせよ少なくとも有限個かどうかは示さないとだめくね
211: 08/13(水)03:48 ID:IPcCDEha(1) AAS
そういうことではないんじゃない？
xとyを入れ替えたものを除いても確かに奇数組ある
1
=1/2+1/2
1/2
=1/(-2)+1/1
=1/3+1/6
=1/4+1/4
1/3
=1/(-6)+1/2
省8
212(1): 08/13(水)04:03 ID:v773YyBJ(1/5) AAS
a₁ < 2 の場合は初項を a₁/(a₁-1) にとりかえれば第3項以降は同じになるので a₁ ≧ 2 と仮定してよい。Sₙ = Σₖ₌₁ⁿaₖ、Pₙ = Πₖ₌₁ⁿaₖ とする。aₙ₊₁ = Sₙ/(Pₙ-1) が成立する。
213: 08/13(水)04:03 ID:v773YyBJ(2/5) AAS
補題 Sₙ = Pₙ
(∵) n=1 では明らかに成立する。n=m で成立すると仮定する。aₘ₊₁ = Sₘ/(Pₘ-1) = Sₘ/(Sₘ-1) であるから Sₘ₊₁ = aₘ₊₁ + Sₘ = Sₘ/(Sₘ-1) + Sₘ = Sₘ²/(Sₘ-1)、Pₘ₊₁ = aₘ₊₁Sₘ = Sₘ/(Sₘ-1)Sₘ = Sₘ²/(Sₘ-1) により n=m+1 でも成立する。□
214: 08/13(水)04:03 ID:v773YyBJ(3/5) AAS
補題 n+1 ≦ Sₙ ≦ a₁ + n + log(n)
(∵)
Sₙ₊₁ = Sₙ + 1 + 1/Sₙ + 1/Sₙ² + ...
≦ Sₙ + 1 + 1/(n+1) + 1/(n+1)² + ..
= Sₙ + 1 + 1/n
≦ a + n +1 + log(n) + 1/n
≦ a + n +1 + log(n+1)
Sₙ₊₁ = Sₙ + 1 + 1/Sₙ + 1/Sₙ² + ...
≧ n+2
□
215: 08/13(水)04:04 ID:v773YyBJ(4/5) AAS
1/(aₙ-1) = 1/( Sₙ₋₁/(Sₙ₋₁-1) - 1 ) = Sₙ₋₁-1 (∀n≧2 )
216: 08/13(水)04:04 ID:v773YyBJ(5/5) AAS
Σₖ₌₁ⁿ1/(aₖ-1) = 1/2n(n+1) + o(n²)
217: 08/13(水)15:57 ID:+55xP2/J(1) AAS
lim[n→∞] ∫[1/n,1] {e^(-nx)-1}/{x^(n)} dx
を求めよ。
218(1): 08/13(水)20:45 ID:nQyqYDxf(1) AAS
n＞r＞sを満たす自然数n, r, sに対し、二項係数nCrとnCsは互いに素ではないことを証明せよ
219: 08/13(水)21:12 ID:YyYKqHVs(1) AAS
>>212 -216
すばらしい。ありがとうございます。
それにひきかえしょーもない書き込みしかできない203ときたら。
220: 08/14(木)01:55 ID:itMo6PT5(1) AAS
上で言われてる雑誌の懸賞って話は本当なの？
221: 08/14(木)05:29 ID:/DikW1nE(1) AAS
知らんがな
222: 08/14(木)19:50 ID:/CzpVmg3(1) AAS
出題者本人が否定しないならガチなんだろう
まあ〆切過ぎてるなら別に問題ないけどな
223: 08/15(金)12:41 ID:yd6fSpXf(1) AAS
lim[n→∞] ∫[1/n,1] {e^(-nx)-1}/x dx
を求めよ。
224(1): 08/15(金)13:20 ID:IcJOCdHO(1) AAS
極限と積分が入れ替えられない問題にしないと意味ないやろ
225: 08/15(金)14:13 ID:n4KBK1iW(1) AAS
>>224
私の出題は東大受験生が解くレベルの問題を想定しております
従いまして高校範囲での解答を期待します
226: 08/15(金)17:21 ID:5OgVZXhc(1/2) AAS
異なる17個の自然数を、どの隣り合う4個の自然数の和も100以上になるように横に並べる
17個の自然数の和が最小になるような並べ方を一つ示せ
227: 08/15(金)21:06 ID:oC7J3nsx(1) AAS
1,49,11,39,2,48,12,38,3,47,13,37,4,46,14,36,5
228: 08/15(金)22:05 ID:5OgVZXhc(2/2) AAS
お見事です
229: 08/16(土)05:21 ID:v5em7mVI(1) AAS
>>218
答えプリーズ
230: 08/16(土)18:41 ID:0GcVJ2or(1) AAS
∫[0,1] xlog(1+x)sin(πx) dx
を求めよ。
231: 08/18(月)17:52 ID:dxGqGsbL(1) AAS
q = nPs / rPs とおく。q は 1 より大きい有理数だから有限付値 v を v(q)>0 となるようにとれる。このとき
nCs = q ⋅ rPs/s! = q ⋅ rCs
nCr = q ⋅ (n-s)P(r-s)/(r-s)! = q ⋅ (n-s)C(r-s)
により
v( nCs ) = v(q) + v( rCs ) > 0
v( nCr ) = v(q) + v( (n-s)C(r-s) ) > 0
232: 08/18(月)19:56 ID:Y/tdXQ55(1) AAS
ある一つの長方形を、全て同じ面積を持ち互いに合同でないような複数の長方形に分割することは可能か。
233: 08/18(月)23:05 ID:ckxrpVZH(1/2) AAS
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
234: 08/18(月)23:09 ID:ckxrpVZH(2/2) AAS
あ、同じ面積ね
235: 08/20(水)23:48 ID:Knx9FYob(1) AAS
これの4枚目
外部ﾘﾝｸ:x.com
236(1): 08/21(木)00:52 ID:1ejVsqNi(1/2) AAS
AA省
237: 08/21(木)01:08 ID:1ejVsqNi(2/2) AAS
AA省
238: 08/21(木)06:11 ID:2T693P24(1) AAS
>>236
正解（想定解と同じ）
有理数でできるかなあとかも考えたけどわからず断念
239: 08/21(木)07:08 ID:OXajF8xh(1) AAS
6枚以下では無理そうだな
240: 08/21(木)21:32 ID:GLF5VvVp(1) AAS
実数からなる集合X, Yがある。
X={x|0＜x＜a} ←aは正の実数
Y={y|2＜y＜4}
次の各命題が成り立つための必要十分条件を選択肢の中から選べ。
命題1 全てのx∈Xと全てのy∈Yに対してx＜yとなる
命題2 「全てのx∈Xに対してx＜y」となるy∈Yが存在する
命題3 全てのx∈Xに対して「x＜yとなるy∈Yが存在する」
選択肢（16個）
a＜2, a≦2, a＞2, a≧2, a=2, a≠2
a＜4, a≦4, a＞4, a≧4, a=4, a≠4
省1
241: 08/22(金)02:03 ID:zIhHzlhN(1) AAS
命題1 a≦2
命題2 a<4
命題3 a≦4
242: 08/22(金)06:02 ID:V72GFM2q(1) AAS
お見事です
243: 08/22(金)12:07 ID:NiaROQwG(1/3) AAS
kを2以上の整数、nを整数とする。
極限
lim[n→∞] n*[ ∫[1,k] {1+k^(1/n)}/2 dx ]
を求めよ。
244: 08/22(金)15:01 ID:NiaROQwG(2/3) AAS
すいません訂正します
kを2以上の整数、nを整数とする。
極限
lim[n→∞] n*[ ∫[1,k] {1+x^(1/n)}/2 dx ]
を求めよ。
245: 08/22(金)15:02 ID:NiaROQwG(3/3) AAS
すいませんさらに訂正します
kを2以上の整数、nを整数とする。
極限
lim[n→∞] n*[ ∫[1,k] ln{{1+k^(1/n)}/2} dx ]
を求めよ。
246: 08/22(金)16:52 ID:w9HGuAIb(1) AAS
訂正や訂正とか訂正になってねーよとかな訂正で埋め尽くす芸風、誤答おじさんインスパイアかな？
247: 08/22(金)17:52 ID:w3MqpW0+(1) AAS
東大の問題を参考にしたんだろうけど正直この東大の問題受験縛りがなければ実にくだらない
方程式使っちゃいけないという縛りの元でしか成立しない鶴亀算の類いのしようもない問題
248: 08/24(日)16:37 ID:M5ZBmT+B(1) AAS
定積分
∫[0,1] exp(-x)log(1+x) dx
を求めよ。
249(2): 08/25(月)00:34 ID:A5OAO5Hu(1) AAS
外部ﾘﾝｸ:ja.wolframalpha.com
integral_0^1 log(1 + x) exp(-x) dx
=
e (Ei(-2) - Ei(-1)) - log(2)/e
Ei(-2) - Ei(-1) ってなんかもっと初等的な表示あるん？
250: 08/25(月)01:50 ID:lX1A1M9/(1) AAS
>>249
>Ei(-2) - Ei(-1) ってなんかもっと初等的な表示あるん？
F(x)=integral exp(-x)log(1+x) dx
>e (Ei(-2) - Ei(-1)) - log(2)/e
=F(1)-F(0)
251(2): 08/27(水)21:02 ID:xqGeek16(1) AAS
1000本のワインがありそのうち半数の500本には毒が入っている。
その毒は飲んだら15～20時間の間のランダムな時間で死ぬ。
全ての毒入りワインを24時間以内に確実に特定するには最低何人の奴隷が必要か。
252: 08/27(水)21:05 ID:EYI+RFKW(1/2) AAS
勘で５人
253: 08/27(水)21:06 ID:EYI+RFKW(2/2) AAS
あ、500本毒入ってるのか
254: 08/27(水)21:26 ID:U6mAtjeQ(1) AAS
とりあえず500人に適当に一本ずつ飲ませればいけるのか
255: 08/28(木)02:49 ID:R2O2+9AR(1/2) AAS
24時間以内なのを見てなかった
256: 08/28(木)04:43 ID:VnzuKB2B(1/3) AAS
場合の数は 1000C500 通り
2^994＜1000C500＜2^995
であるから、理論的には最低995人必要
995人で出来るかどうかは知らん
257(1): 08/28(木)04:46 ID:PVUsvSkR(1) AAS
状況は1000C500通りある
各人の状態は生きるか死ぬかの2通りとすると
log_2 (1000C500)で約994.69なので995人以上必要
995人でできるかは知らん
258: 08/28(木)07:13 ID:VnzuKB2B(2/3) AAS
>>249
これ以上簡単にはならなそう
-eEi(-1) = G = 0.5963... ( Gompertz 定数 )
はいくつかの定積分、級数、連分数で表せる
外部ﾘﾝｸ[html]:mathworld.wolfram.com
これ以上は出題者に聞くしかない
259(1): 08/28(木)13:20 ID:hrv7SU1N(1) AAS
6本のワインのうち2本に毒が入っている
その毒は飲んでから15〜20時間後のランダムな時間で死ぬ
24時間以内に全ての毒入りワインを見抜くには何人の奴隷が必要か？
太郎くんはこう考えた
毒入りワインのパターンは全部で15通り
4人の奴隷の生死は16通りあるから4人いれば特定できるはずだ
太郎くんのこの考えは正しいか？
260: 08/28(木)14:06 ID:ePWISIU3(1) AAS
太郎君が正しいのか正しくないのかその他なのか…はさておき
当然、どこがどう面白いのかを明確に説明する気満々の上での出題ですよね
261: 08/28(木)15:36 ID:VnzuKB2B(3/3) AAS
高校数学のスレに
8本のうち2本
結果待ち不可の条件なし
で類題が投下されたことがある
誰も解かずにスルーされてた
荒らされすぎてもう新スレが立たなくなったな
262: 08/28(木)16:17 ID:R2O2+9AR(2/2) AAS
なんだか誤り訂正符号を頑張れば解けるんかな
263: 08/28(木)16:22 ID:pg97dRak(1) AAS
ヤフー知恵袋にもあるね
264: 08/29(金)03:54 ID:cgED+EFx(1) AAS
これか
math.stackexchange.com/questions/639/logic-problem-identifying-poisoned-wines-out-of-a-sample-minimizing-test-subje
でも>>251の答えはないな
265(2): 08/29(金)06:34 ID:e60Qap8s(1/2) AAS
>>251 のヒント
ワイン全体の集合をW、奴隷全体の集合をSとおく。
集合Xに対し、Xの部分集合全体からなる集合を2^Xとおく。
また、集合Xと整数kに対し、X(k) = {Y⊂X : |Y| = k} とおく。
どのワインをどの奴隷に飲ませるかを表す写像 f:W→2^S を考える。
V⊂Wに対して f(V):=∪_(v∈V)f(v) と定めることにより、fは2^Wから2^Wへの写像に拡張できる。
問題は、拡張したfの W(500) への制限が単射になるような f が存在する最小の |S| を求めることと言い換えられる。
（ここからヒントの本題）
全ての正の整数 k≦500 に対し、f の W(k) への制限は単射になる。（なぜか？）
266: 08/29(金)06:36 ID:e60Qap8s(2/2) AAS
>>265
誤
fは2^Wから2^Wへの写像に拡張できる。
正
fは2^Wから2^Sへの写像に拡張できる。
267(1): 08/29(金)08:11 ID:aSTx3uCs(1) AAS
全ての正の整数 k≦500 に対し、f の W(k) への制限は単射になる。
がそもそも数学の問題としての問題文として成立してないやん
268: 08/29(金)08:36 ID:pG2i3ifz(1) AAS
とりあえず995人以上は必要>>257
999人では可能
∵ 999本のワインを999人に飲ませる。500人死ねば死んだ500人の飲んだワインが毒入り。499人死ねばその499本と誰も飲んでないワインが毒入り
この隙間を埋める問題
269: 08/29(金)12:11 ID:liMNyBU6(1) AAS
>>267
その文では拡張したfをfと同じ記号で使ってるよ
紛らわしくてすまんね
270: 08/29(金)14:25 ID:RysJSoA6(1) AAS
方程式
x^(2k+1)-nx+1=0
の持つ実数解を、小さい順にa[1],a[2],...a[m]とする。これらm個の実数解の中央値をf(k,n)とする。
極限
lim[n→∞] f(k,n)
を求めよ。
271: 08/29(金)16:07 ID:51ikz61b(1) AAS
「f : W → 2^S の W(500) への制限が単射のとき f の W(1)～W(500) への制限がすべて単射」がいえたとしてもせいぜい「毒入りワインの本数と試験奴隷人数の最小値を与える関数が広義単調増大」しかいえない。
272: 08/29(金)16:17 ID:itPlGYv3(1) AAS
(2k+1)x^2k-n=0
x=±(n/(2k+1))^(1/2k)
0^(2k+1)-0+1>0
1^(2k+1)-n+1<0
0<f(n,k)<1
f(n,k)^(2k+1)+1=nf(n,k)
limf(n,k)=lim(f(n,k)^(2k+1)+1)/n=0
273: 08/29(金)19:15 ID:wapwkLPP(1) AAS
n=6本(毒入り3本)まで絨毯爆撃してみたが
n-2人以下でできないのは当然として
n-1人でも1本ずつ飲む以外の解はないようだ
6本(毒入り4本)とか8本(毒入り4本)以上は俺のPCでは死ぬ
274(1): 08/30(土)14:17 ID:kaOtwNfL(1) AAS
>>265 ヒント続き
（証明）
k<500 かつ A,B∈W(k) が互いに異なる時
|W/(A∪B)| = 1000 - |A| - |B| + |A∩B| ≧ 1000-2k > 500-k
より、AともBとも共通部分を持たない C⊂W s.t. |C|=500-k がとれる。
もし f(A)=f(B)と仮定すると、
f(A∪C) = f(A)∪f(C) = f(B)∪f(C) = f(B∪C)
となるが、これはW(500)に属する異なる集合 A∪C と B∪C による f の像が等しいことを意味し、f のW(500)への制限が単射であることと矛盾する。
ゆえに f(A)≠f(B).
（終わり）
275: 08/30(土)15:44 ID:HfVP711t(1) AAS
方程式
x^(2k+1)-nx+1=0
の持つ実数解を、小さい順にa[1],a[2],...a[m]とする。
（1）nが十分大きいとき、mをkで表せ。
（2）各整数i（i=1,2,...,m）に対して、
極限lim[n→∞] a[i]
を求めよ。
276: 08/30(土)17:24 ID:SzW44Fp8(1/2) AAS
aとbを整数とし、方程式x^3+ax+b=0が3つの異なる整数解をもつとする。
このとき、bの偶奇を判定せよ。
277(1): 08/30(土)18:28 ID:2/v7Mp9d(1) AAS
αβγ≡1 ( mod 2 ) → a+b+c ≡ 1 ( mod 2 )
278: 08/30(土)18:56 ID:SzW44Fp8(2/2) AAS
お見事です
279: 08/30(土)18:56 ID:fWoX7QGu(1/3) AAS
(2k+1)x^2k-n=0
x=±(n/(2k+1))^(1/2k)
0^(2k+1)-0+1>0
n>2
1^(2k+1)-n+1<0
m=3
lim a[1]=-∞
lim a[2]=0
lim a[3]=∞
280: 08/30(土)19:01 ID:fWoX7QGu(2/3) AAS
>>277
>αβγ≡1 ( mod 2 )
なんで？
α+β+γ=0
では？
281: 08/30(土)19:02 ID:fWoX7QGu(3/3) AAS
ああそうか
意図分かった
282(1): 08/31(日)18:56 ID:QaV2l/9l(1/2) AAS
>>274 ヒント続き
（今更だけど「/」は差集合。＼と間違えたけどこのまま進めます。ごめんちょ）
Wの部分集合A,Bが A⊂B でも B⊂A でもなく、|A|, |B| ≦ 500 を満たすならば、f(A)≠f(B).
（証明）
|A|=|B|の時は証明済み。
|A|<|B|として一般性を失わないのでそのように仮定する。
0 < |A/(A∩B)| < |B/(A∩B)| より、集合 B/(A∩B) から任意に |B|-|A| 個の元を選んでその集合をCとおくと、
A':=A∪C は A⊂A'⊂B、 |A'|=|B|、 0<|A'/(A'∩B)| (すなわち A'≠B) を満たす。
f(A)=f(B) と仮定すると f(A') = f(A)∪f(C) = f(B)∪f(C) = f(B) より、f の W(|B|) への制限の単射性に反する。
（終わり）
283: 08/31(日)19:56 ID:hUOxpuc6(1) AAS
要するに
V、S:有限集合
f:S→2^V
♯V>♯S
∀w∃s w∈f(s)
→
∃A,B s.t.
♯A=♯B=⌈♯W/2⌉
{s;f(s)∩A≠Φ} = {s;f(s)∩B≠Φ}
A≠B
省2
284: 08/31(日)21:44 ID:QaV2l/9l(2/2) AAS
>>282
誤 A⊂A'⊂B
正 A⊂A'
285: イナ ◆/7jUdUKiSM 09/01(月)10:48 ID:bD/AUJQV(1) AAS
>>259
三人で一人三本ずつ飲むと、
たとえばA,B,C,D,E,Fのワインを、
太郎がA,Bを、
次郎がC,Dを、
花子がE,Fを飲んだと.
これだと二人死んだらだめだ.
ところが三人が飲むワインを一つずつずらし、
太郎がA,B,Cを、
次郎がB,C,Dを、
省2
286: 09/01(月)14:45 ID:FRAqeS7G(1) AAS
△ABCの形状がいろいろ変化するとき、sinAsinBsinCの最大値を求めよ。
287: 09/02(火)13:47 ID:y/H4brb4(1) AAS
△ABCの形状がいろいろ変化するとき、sinAsinBsinCの最大値と、cosAcosBcosCの最大値は一致するか。
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