面白い数学の問題おしえて～な 44問目 (305ﾚｽ)

面白い数学の問題おしえて～な 44問目 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/

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1: １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/01(木) 12:31:40.74 ID:gmHMkXUG 面白い数学の問題を紹介して解き合うスレです 質問スレではありません 出題者が答えを知らない問題はお控えください 統計学などはスレ違い、数学以外の話題は論外です 荒らし、煽りはスルー推奨 前スレ 面白い数学の問題おしえて～な 43問目 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696639819/ まとめwiki http://w.atwiki.jp/omoshiro2ch/ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/1

179: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/02(土) 22:22:16.62 ID:U+vtQmLl 真面目にやろ 要素が1個増えると行列は B0B 011 B11 の(n+1+n)×(n+1+n)ブロックになる。Bは要素を増やす前の行列 少し掃き出して B0B 010 B00 真ん中を消して BB B0 というわけで、行列式はdetBdet(O-BB^{-1}B)ということは、サイズはつねに奇数だからマイナスが外に出て、-detB^2だから求める答は #F≧2だと-1で他は1かなあ 自信ねえ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/179

180: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/02(土) 22:23:47.84 ID:U+vtQmLl よかったあってた http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/180

181: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/03(日) 14:59:23.43 ID:ji91oaUv Determine the coefficient of the numerator, in the irreducible factor, of the coefficient of the Maclaurin expansion of (x²-x+1)exp(x). http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/181

182: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/03(日) 18:53:59.98 ID:YL1BmXMV (x^2-x+1)e^x=Σa_n x^nとして a_nを約分したあとの分子を聞いてるんだよな a0=1 a1=0で、n≧2だと a_n=1/n!-1/(n-1)!+1/(n-2)! =(n-1)/n(n-2)! になるけど、n-1が素数のときはこれ以上約分できないからn-1 そうでなくて、素数の2乗でない場合は完全に約分できるから、1 素数の2乗のときは n-1=p^2として p+1≦q≦n-2となるpの倍数qがあるかどうかで決まって、あれば1でなければpが答になる q=2pだけ考えればいいので、2p≦n-2かどうかを考える。n=p^2+1を代入して、2p≦p^2-1かどうかになり、 (p-1)^2≧2 なのでp=2つまり、n=5のときは2それ以外は1 まとめるとnが 0だと1 1だと0 5だと2 素数+1だとその素数 それ以外は1 かなあ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/182

183: １３２人目の素数さん [] 2025/08/03(日) 19:11:02.13 ID:mL9auLBV m, nは互いに素な自然数とする 分数(m+n-1)! / m!n!は自然数であることを証明せよ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/183

184: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/03(日) 19:37:25.18 ID:YL1BmXMV m+n個からm個選ぶやり方の数がm+nで割り切れることを示したいから、選び方全体に群構造をいれて、位数がm+nの元を見つけてきたい(願望) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/184

185: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/03(日) 23:08:11.04 ID:ji91oaUv >>182 正解！ https://youtu.be/99kUA-JMbVw?si=CAcqbnKmbpAM5vEK http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/185

186: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/04(月) 06:31:20.55 ID:nGNfnz6K 白玉m個、赤玉n個円形に並べる場合の数ではダメ？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/186

187: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/04(月) 16:12:15.55 ID:wklzv92S まあ変な願望は捨てて真面目に互除法の構造に対する帰納法でやると m=1,n=1のときは自明 m,nについて成り立つと仮定して、m,m+nのときは (m+m+n-1)!/m!(m+n)! =(m+n-1)!/m!n! × _{2m+n-1}C_{m+n-1} なので自然数 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/187

188: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/04(月) 18:41:22.39 ID:wklzv92S 計算間違ってるやん http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/188

189: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/04(月) 22:17:45.92 ID:AGReftOh その方針でいけるん？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/189

190: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/04(月) 22:43:39.42 ID:wklzv92S >>189 だめだっから最初の対称性を使って解き直したとこ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/190

191: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/04(月) 22:51:21.62 ID:wklzv92S S=ℤ_{m+n} X={x⊂S | #x=m} として、#Xがm+nで割り切れることを示す G={+rする平行移動 | r∈S}はXに作用する x∈Xとg∈Gに対して、gx=xとするとg=e なぜなら、a∈xを1個取ってきて、列g^kaを作るとどこかでaに戻ってくる。この長さをNとすると、これはaに依らないので、この軌道によりxは等分され、Nはmの約数である。gの平行移動量をrとすると、Nr=0であり、Nはm+nの約数である。よってN=1でr=0 というわけで、xの軌道Gxの要素数は#G=m+nになるため、#Xはm+nで割り切れる あってるかな？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/191

192: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/05(火) 00:22:49.96 ID:HCN69fB4 よさげ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/192

193: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/05(火) 03:08:48.77 ID:Srdf2A9W 最後微妙に間違えてた Nr=0で、Nとm+nも互いに素だから、Nで割れてr=0だった http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/193

194: １３２人目の素数さん [] 2025/08/05(火) 08:29:03.65 ID:H+D/CLH1 例えば、基準を2^3(=8)で考えると、 1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15 0-1-0-2-0-1-0-3-0-1 -0 -2 -0 -1 -0　←素数2の因数の個数 こんな感じで対称性があるでしょ？ これは、基準となる素数の種類やその冪数に限らず成り立つので、 割り切れるのでは？ どうやって、証明するか分からないが。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/194

195: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/05(火) 13:57:01.76 ID:MAmUP/aR (n＋m)_C_n ＝ (n＋m)！/(n！m！) ＝ (n＋m) (n＋m−1)！/(n！(m−1)！) / m ＝ (n＋m) (n＋m−1)_C_n / m すなわち (n＋m)_C_n ＝ (n＋m) (n＋m−1)_C_n / m である。左辺は整数なので右辺も整数。 よって、(n＋m) (n＋m−1)_C_n は m で割り切れる。n,mは互いに素だから、 (n＋m) と m は互いに素。よって、(n＋m−1)_C_n は m で割り切れる。 特に、(n＋m−1)_C_n / m は整数。 (n＋m−1)_C_n / m ＝ (n＋m−1)！/(n！(m−1)！) / m ＝ (n＋m−1)！/(n！m！) なので、(n＋m−1)！/(n！m！) は整数。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/195

196: 183 [] 2025/08/05(火) 14:17:44.93 ID:X4eXuEzQ ↑お見事です http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/196

197: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/06(水) 19:04:33.58 ID:jvXHE856 極限 lim[n→∞] n*{∫[0,1] {e^(-nx)}/(1+x^2) dx} を求めよ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/197

198: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/06(水) 20:15:04.24 ID:UPpSHNbr ∫[0,1]n exp(-nx)/(1+x^2) dx =∫[0,n] exp(-y)/(1+y^2/n^2) dy =∫[0,∞) 1_{[0,n]}exp(-y)/(1+y^2/n^2) dy 被積分関数はnに関して単調増加だから、単調収束定理より →∫[0,∞) lim 1_{[0,n]}exp(-y)/(1+y^2/n^2) dy =∫[0,∞) exp(-y)dy =1 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/198

199: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/07(木) 16:41:31.87 ID:v7ISirIJ 下記の東大の問題のような面白い定積分の極限の問題を教えてください！ lim[n→∞] n*[ ∫[1,2] log{(1+x^(1/n))/2} dx ] http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/199

200: １３２人目の素数さん [] 2025/08/07(木) 20:59:17.54 ID:DhukNUyo ちゃんと勉強したかを試す問題なのはわかる で、どこがどう面白い？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/200

201: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/11(月) 01:28:45.28 ID:fRqBIPZy Find all non-constant functions f:ℤ → ℤ such that f(x-f(y)) = f(f(x)) - f(y) -1 holds for all x,y ∈ℤ. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/201

202: １３２人目の素数さん [] 2025/08/11(月) 17:07:17.30 ID:LKCAkMsb 宿題なんですが提出締め切り過ぎたので教えてください a[1]>1 , a[1]+a[2]+…+a[n]=a[1]×a[2]×…×a[n] (n≧2) をみたす数列{a[n]}について、 ( 1/(a[1]-1) + 1/(a[2]-1) + 1/(a[3]-1) + … + 1/(a[n]-1) )/n^2 のn→∞の極限を求めよ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/202

203: １３２人目の素数さん [] 2025/08/11(月) 22:48:59.61 ID:Pq2BAI/Y 普通に再来月号を買えばいいだけの話なのに、こんなところでわざわざ解答乞食する理由は？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/203

204: １３２人目の素数さん [] 2025/08/11(月) 22:53:01.02 ID:Pq2BAI/Y あと付け加えると、面白い問題とは思えない http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/204

205: １３２人目の素数さん [] 2025/08/12(火) 05:14:55.30 ID:08QF4Run これ懸賞問題だったのか あっぶ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/205

206: １３２人目の素数さん [] 2025/08/12(火) 10:06:34.48 ID:VI166Ty2 自然数nに対して (1/x)+(1/y)=1/n を満たす整数x, yの組は奇数組であることを証明せよ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/206

207: １３２人目の素数さん [] 2025/08/12(火) 13:00:58.39 ID:epvPvzIT >>206 x=yの場合 x=y=2nで成立 x≠yの場合 xとyを入れ替えても成立するので偶数組 よって解の総数は奇数 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/207

208: １３２人目の素数さん [] 2025/08/12(火) 17:14:52.25 ID:VI166Ty2 >>207 お見事です http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/208

209: １３２人目の素数さん [] 2025/08/12(火) 19:22:49.38 ID:MToRQVN4 ｎが任意定数なのか、変数なのか？ 奇数組って、xとyが奇数の組なのか、組の総数が奇数なのか？ 日本語は解り難い言語やな。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/209

210: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/12(火) 21:51:19.11 ID:9WhM+6C5 何にせよ少なくとも有限個かどうかは示さないとだめくね http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/210

211: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/13(水) 03:48:00.47 ID:IPcCDEha そういうことではないんじゃない？ xとyを入れ替えたものを除いても確かに奇数組ある 1 =1/2+1/2 1/2 =1/(-2)+1/1 =1/3+1/6 =1/4+1/4 1/3 =1/(-6)+1/2 =1/4+1/12 =1/6+1/6 1/4 =1/(-12)+1/3 =1/(-4)+1/2 =1/5+1/20 =1/6+1/12 =1/8+1/8 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/211

212: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/13(水) 04:03:31.29 ID:v773YyBJ a₁ < 2 の場合は初項を a₁/(a₁-1) にとりかえれば第3項以降は同じになるので a₁ ≧ 2 と仮定してよい。Sₙ = Σₖ₌₁ⁿaₖ、Pₙ = Πₖ₌₁ⁿaₖ とする。aₙ₊₁ = Sₙ/(Pₙ-1) が成立する。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/212

213: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/13(水) 04:03:35.79 ID:v773YyBJ 補題　Sₙ = Pₙ (∵) n=1 では明らかに成立する。n=m で成立すると仮定する。aₘ₊₁ = Sₘ/(Pₘ-1) = Sₘ/(Sₘ-1) であるから Sₘ₊₁ = aₘ₊₁ + Sₘ = Sₘ/(Sₘ-1) + Sₘ = Sₘ²/(Sₘ-1)、Pₘ₊₁ = aₘ₊₁Sₘ = Sₘ/(Sₘ-1)Sₘ = Sₘ²/(Sₘ-1) により n=m+1 でも成立する。□ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/213

214: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/13(水) 04:03:50.45 ID:v773YyBJ 補題　n+1 ≦ Sₙ ≦ a₁ + n + log(n) (∵) Sₙ₊₁ = Sₙ + 1 + 1/Sₙ + 1/Sₙ² + ... ≦ Sₙ + 1 + 1/(n+1) + 1/(n+1)² + .. = Sₙ + 1 + 1/n ≦ a + n +1 + log(n) + 1/n ≦ a + n +1 + log(n+1) Sₙ₊₁ = Sₙ + 1 + 1/Sₙ + 1/Sₙ² + ... ≧ n+2 □ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/214

215: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/13(水) 04:04:31.05 ID:v773YyBJ 1/(aₙ-1) = 1/( Sₙ₋₁/(Sₙ₋₁-1) - 1 ) = Sₙ₋₁-1 (∀n≧2 ) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/215

216: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/13(水) 04:04:36.38 ID:v773YyBJ Σₖ₌₁ⁿ1/(aₖ-1) = 1/2n(n+1) + o(n²) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/216

217: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/13(水) 15:57:23.97 ID:+55xP2/J lim[n→∞] ∫[1/n,1] {e^(-nx)-1}/{x^(n)} dx を求めよ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/217

218: １３２人目の素数さん [] 2025/08/13(水) 20:45:15.57 ID:nQyqYDxf n＞r＞sを満たす自然数n, r, sに対し、二項係数nCrとnCsは互いに素ではないことを証明せよ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/218

219: １３２人目の素数さん [] 2025/08/13(水) 21:12:51.40 ID:YyYKqHVs >>212 -216 すばらしい。ありがとうございます。 それにひきかえしょーもない書き込みしかできない203ときたら。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/219

220: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/14(木) 01:55:06.66 ID:itMo6PT5 上で言われてる雑誌の懸賞って話は本当なの？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/220

221: １３２人目の素数さん [] 2025/08/14(木) 05:29:03.55 ID:/DikW1nE 知らんがな http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/221

222: １３２人目の素数さん [] 2025/08/14(木) 19:50:05.44 ID:/CzpVmg3 出題者本人が否定しないならガチなんだろう まあ〆切過ぎてるなら別に問題ないけどな http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/222

223: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/15(金) 12:41:46.38 ID:yd6fSpXf lim[n→∞] ∫[1/n,1] {e^(-nx)-1}/x dx を求めよ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/223

224: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/15(金) 13:20:09.53 ID:IcJOCdHO 極限と積分が入れ替えられない問題にしないと意味ないやろ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/224

225: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/15(金) 14:13:02.28 ID:n4KBK1iW >>224 私の出題は東大受験生が解くレベルの問題を想定しております 従いまして高校範囲での解答を期待します http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/225

226: １３２人目の素数さん [] 2025/08/15(金) 17:21:07.65 ID:5OgVZXhc 異なる17個の自然数を、どの隣り合う4個の自然数の和も100以上になるように横に並べる 17個の自然数の和が最小になるような並べ方を一つ示せ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/226

227: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/15(金) 21:06:16.97 ID:oC7J3nsx 1,49,11,39,2,48,12,38,3,47,13,37,4,46,14,36,5 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/227

228: １３２人目の素数さん [] 2025/08/15(金) 22:05:55.91 ID:5OgVZXhc お見事です http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/228

229: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/16(土) 05:21:13.76 ID:v5em7mVI >>218 答えプリーズ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/229

230: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/16(土) 18:41:31.24 ID:0GcVJ2or ∫[0,1] xlog(1+x)sin(πx) dx を求めよ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/230

231: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/18(月) 17:52:44.34 ID:dxGqGsbL q = nPs / rPs とおく。q は 1 より大きい有理数だから有限付値 v を v(q)>0 となるようにとれる。このとき nCs = q ⋅ rPs/s! = q ⋅ rCs nCr = q ⋅ (n-s)P(r-s)/(r-s)! = q ⋅ (n-s)C(r-s) により v( nCs ) = v(q) + v( rCs ) > 0 v( nCr ) = v(q) + v( (n-s)C(r-s) ) > 0 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/231

232: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/18(月) 19:56:06.12 ID:Y/tdXQ55 ある一つの長方形を、全て同じ面積を持ち互いに合同でないような複数の長方形に分割することは可能か。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/232

233: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/18(月) 23:05:57.67 ID:ckxrpVZH https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AB%E3%82%B8%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%95%8F%E9%A1%8C http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/233

234: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/18(月) 23:09:04.81 ID:ckxrpVZH あ、同じ面積ね http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/234

235: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/20(水) 23:48:21.14 ID:Knx9FYob これの4枚目 https://x.com/aoki_taichi/status/1405313370702553094?s=46&t=m_yFXRjGjfza5VWmJdy6eA http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/235

236: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/21(木) 00:52:15.66 ID:1ejVsqNi ┌─┬────────────┐ │ v │ │　├─┬──────────┤ │　│　x　　　　　　 │ │　│　├──1──┬─y──┤ │　│　1　　　 │　　 │ │　│　│　　　 │　　 │ ├w┴u ┴───── ┤　　 │ │　 　 z　　 │　 └─────────┴───┘ x(1+y)=1,y(1+z)=1,z(1+u+w)=1,u(1+x)=1, v(1+y+u)=1,w(1+x+v)=1 を解く u = 1/9 (10 - sqrt(19)), v = 1/45 (7 sqrt(19) - 11), w = 1/9 (4 sqrt(19) - 13), x = 1/9 (1 + sqrt(19)), y = 1/2 (sqrt(19) - 3), z = 1/5 (sqrt(19) - 2) https://ja.wolframalpha.com/input?i=u%281%2Bx%29%3D1%2C+x%281%2By%29%3D1%2Cy%281%2Bz%29%3D1%2Cz%281%2Bu%2Bw%29%3D1%2Cv%281%2By%2Bu%29%3D1%2Cw%281%2Bx%2Bv%29%3D1+%E3%82%92%E8%A7%A3%E3%81%8F http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/236

237: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/21(木) 01:08:06.86 ID:1ejVsqNi ┌─┬────────────┐ │......v........................................................│ │.....├─┬──────────┤ │.....│......x...............................................│ │.....│.....├── 1──┬─ y ──┤ │.....│.....1........................│..................│ │.....│.....│......................│.................│ ├w ┴u ┴─────┤...................│ │..........................................z.....................│ └─────────┴────┘ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/237

238: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/21(木) 06:11:12.97 ID:2T693P24 >>236 正解（想定解と同じ） 有理数でできるかなあとかも考えたけどわからず断念 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/238

239: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/21(木) 07:08:11.49 ID:OXajF8xh 6枚以下では無理そうだな http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/239

240: １３２人目の素数さん [] 2025/08/21(木) 21:32:12.03 ID:GLF5VvVp 実数からなる集合X, Yがある。 X={x|0＜x＜a} ←aは正の実数 Y={y|2＜y＜4} 次の各命題が成り立つための必要十分条件を選択肢の中から選べ。 命題1 全てのx∈Xと全てのy∈Yに対してx＜yとなる 命題2 「全てのx∈Xに対してx＜y」となるy∈Yが存在する 命題3 全てのx∈Xに対して「x＜yとなるy∈Yが存在する」 選択肢（16個） a＜2, a≦2, a＞2, a≧2, a=2, a≠2 a＜4, a≦4, a＞4, a≧4, a=4, a≠4 2＜a＜4, 2＜a≦4, 2≦a＜4, 2≦a≦4 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/240

241: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/22(金) 02:03:46.51 ID:zIhHzlhN 命題1 a≦2 命題2 a<4 命題3 a≦4 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/241

242: １３２人目の素数さん [] 2025/08/22(金) 06:02:21.42 ID:V72GFM2q お見事です http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/242

243: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/22(金) 12:07:26.87 ID:NiaROQwG kを2以上の整数、nを整数とする。 極限 lim[n→∞] n*[ ∫[1,k] {1+k^(1/n)}/2 dx ] を求めよ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/243

244: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/22(金) 15:01:43.39 ID:NiaROQwG すいません訂正します kを2以上の整数、nを整数とする。 極限 lim[n→∞] n*[ ∫[1,k] {1+x^(1/n)}/2 dx ] を求めよ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/244

245: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/22(金) 15:02:09.45 ID:NiaROQwG すいませんさらに訂正します kを2以上の整数、nを整数とする。 極限 lim[n→∞] n*[ ∫[1,k] ln{{1+k^(1/n)}/2} dx ] を求めよ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/245

246: １３２人目の素数さん [] 2025/08/22(金) 16:52:23.83 ID:w9HGuAIb 訂正や訂正とか訂正になってねーよとかな訂正で埋め尽くす芸風、誤答おじさんインスパイアかな？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/246

247: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/22(金) 17:52:41.71 ID:w3MqpW0+ 東大の問題を参考にしたんだろうけど正直この東大の問題受験縛りがなければ実にくだらない 方程式使っちゃいけないという縛りの元でしか成立しない鶴亀算の類いのしようもない問題 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/247

248: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/24(日) 16:37:34.95 ID:M5ZBmT+B 定積分 ∫[0,1] exp(-x)log(1+x) dx を求めよ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/248

249: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/25(月) 00:34:21.82 ID:A5OAO5Hu https://ja.wolframalpha.com/input?i=%E2%88%AB%5B0%2C1%5D+log%281%2Bx%29+exp%28-x%29+dx integral_0^1 log(1 + x) exp(-x) dx = e (Ei(-2) - Ei(-1)) - log(2)/e Ei(-2) - Ei(-1) ってなんかもっと初等的な表示あるん？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/249

250: １３２人目の素数さん [] 2025/08/25(月) 01:50:25.55 ID:lX1A1M9/ >>249 >Ei(-2) - Ei(-1) ってなんかもっと初等的な表示あるん？ F(x)=integral exp(-x)log(1+x) dx >e (Ei(-2) - Ei(-1)) - log(2)/e =F(1)-F(0) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/250

251: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/27(水) 21:02:21.19 ID:xqGeek16 1000本のワインがありそのうち半数の500本には毒が入っている。 その毒は飲んだら15～20時間の間のランダムな時間で死ぬ。 全ての毒入りワインを24時間以内に確実に特定するには最低何人の奴隷が必要か。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/251

252: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/27(水) 21:05:15.02 ID:EYI+RFKW 勘で５人 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/252

253: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/27(水) 21:06:19.32 ID:EYI+RFKW あ、500本毒入ってるのか http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/253

254: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/27(水) 21:26:44.71 ID:U6mAtjeQ とりあえず500人に適当に一本ずつ飲ませればいけるのか http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/254

255: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/28(木) 02:49:23.35 ID:R2O2+9AR 24時間以内なのを見てなかった http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/255

256: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/28(木) 04:43:13.44 ID:VnzuKB2B 場合の数は 1000C500 通り 2^994＜1000C500＜2^995 であるから、理論的には最低995人必要 995人で出来るかどうかは知らん http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/256

257: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/28(木) 04:46:49.01 ID:PVUsvSkR 状況は1000C500通りある 各人の状態は生きるか死ぬかの2通りとすると log_2 (1000C500)で約994.69なので995人以上必要 995人でできるかは知らん http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/257

258: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/28(木) 07:13:24.43 ID:VnzuKB2B >>249 これ以上簡単にはならなそう -eEi(-1) = G = 0.5963... ( Gompertz 定数 ) はいくつかの定積分、級数、連分数で表せる https://mathworld.wolfram.com/GompertzConstant.html これ以上は出題者に聞くしかない http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/258

259: １３２人目の素数さん [] 2025/08/28(木) 13:20:20.57 ID:hrv7SU1N 6本のワインのうち2本に毒が入っている その毒は飲んでから15〜20時間後のランダムな時間で死ぬ 24時間以内に全ての毒入りワインを見抜くには何人の奴隷が必要か？ 太郎くんはこう考えた 毒入りワインのパターンは全部で15通り 4人の奴隷の生死は16通りあるから4人いれば特定できるはずだ 太郎くんのこの考えは正しいか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/259

260: １３２人目の素数さん [] 2025/08/28(木) 14:06:11.44 ID:ePWISIU3 太郎君が正しいのか正しくないのかその他なのか…はさておき 当然、どこがどう面白いのかを明確に説明する気満々の上での出題ですよね http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/260

261: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/28(木) 15:36:43.64 ID:VnzuKB2B 高校数学のスレに 8本のうち2本 結果待ち不可の条件なし で類題が投下されたことがある 誰も解かずにスルーされてた 荒らされすぎてもう新スレが立たなくなったな http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/261

262: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/28(木) 16:17:54.72 ID:R2O2+9AR なんだか誤り訂正符号を頑張れば解けるんかな http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/262

263: １３２人目の素数さん [] 2025/08/28(木) 16:22:58.58 ID:pg97dRak ヤフー知恵袋にもあるね http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/263

264: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/29(金) 03:54:21.57 ID:cgED+EFx これか math.stackexchange.com/questions/639/logic-problem-identifying-poisoned-wines-out-of-a-sample-minimizing-test-subje でも>>251の答えはないな http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/264

265: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/29(金) 06:34:20.63 ID:e60Qap8s >>251 のヒント ワイン全体の集合をW、奴隷全体の集合をSとおく。 集合Xに対し、Xの部分集合全体からなる集合を2^Xとおく。 また、集合Xと整数kに対し、X(k) = {Y⊂X : |Y| = k} とおく。 どのワインをどの奴隷に飲ませるかを表す写像 f:W→2^S を考える。 V⊂Wに対して f(V):=∪_(v∈V)f(v) と定めることにより、fは2^Wから2^Wへの写像に拡張できる。 問題は、拡張したfの W(500) への制限が単射になるような f が存在する最小の |S| を求めることと言い換えられる。 （ここからヒントの本題） 全ての正の整数 k≦500 に対し、f の W(k) への制限は単射になる。（なぜか？） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/265

266: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/29(金) 06:36:21.32 ID:e60Qap8s >>265 誤 fは2^Wから2^Wへの写像に拡張できる。 正 fは2^Wから2^Sへの写像に拡張できる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/266

267: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/29(金) 08:11:55.60 ID:aSTx3uCs 全ての正の整数 k≦500 に対し、f の W(k) への制限は単射になる。 がそもそも数学の問題としての問題文として成立してないやん http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/267

268: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/29(金) 08:36:52.20 ID:pG2i3ifz とりあえず995人以上は必要>>257 999人では可能 ∵ 999本のワインを999人に飲ませる。500人死ねば死んだ500人の飲んだワインが毒入り。499人死ねばその499本と誰も飲んでないワインが毒入り この隙間を埋める問題 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/268

269: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/29(金) 12:11:41.15 ID:liMNyBU6 >>267 その文では拡張したfをfと同じ記号で使ってるよ 紛らわしくてすまんね http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/269

270: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/29(金) 14:25:45.20 ID:RysJSoA6 方程式 x^(2k+1)-nx+1=0 の持つ実数解を、小さい順にa[1],a[2],...a[m]とする。これらm個の実数解の中央値をf(k,n)とする。 極限 lim[n→∞] f(k,n) を求めよ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/270

271: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/29(金) 16:07:20.21 ID:51ikz61b 「f : W → 2^S の W(500) への制限が単射のとき f の W(1)～W(500) への制限がすべて単射」がいえたとしてもせいぜい「毒入りワインの本数と試験奴隷人数の最小値を与える関数が広義単調増大」しかいえない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/271

272: １３２人目の素数さん [] 2025/08/29(金) 16:17:04.08 ID:itPlGYv3 (2k+1)x^2k-n=0 x=±(n/(2k+1))^(1/2k) 0^(2k+1)-0+1>0 1^(2k+1)-n+1<0 0<f(n,k)<1 f(n,k)^(2k+1)+1=nf(n,k) limf(n,k)=lim(f(n,k)^(2k+1)+1)/n=0 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/272

273: １３２人目の素数さん [] 2025/08/29(金) 19:15:05.63 ID:wapwkLPP n=6本(毒入り3本)まで絨毯爆撃してみたが n-2人以下でできないのは当然として n-1人でも1本ずつ飲む以外の解はないようだ 6本(毒入り4本)とか8本(毒入り4本)以上は俺のPCでは死ぬ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/273

274: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/30(土) 14:17:15.37 ID:kaOtwNfL >>265 ヒント続き （証明） k<500 かつ A,B∈W(k) が互いに異なる時 |W/(A∪B)| = 1000 - |A| - |B| + |A∩B| ≧ 1000-2k > 500-k より、AともBとも共通部分を持たない C⊂W s.t. |C|=500-k がとれる。 もし f(A)=f(B)と仮定すると、 f(A∪C) = f(A)∪f(C) = f(B)∪f(C) = f(B∪C) となるが、これはW(500)に属する異なる集合 A∪C と B∪C による f の像が等しいことを意味し、f のW(500)への制限が単射であることと矛盾する。 ゆえに f(A)≠f(B). （終わり） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/274

275: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/30(土) 15:44:07.13 ID:HfVP711t 方程式 x^(2k+1)-nx+1=0 の持つ実数解を、小さい順にa[1],a[2],...a[m]とする。 （1）nが十分大きいとき、mをkで表せ。 （2）各整数i（i=1,2,...,m）に対して、 極限lim[n→∞] a[i] を求めよ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/275

276: １３２人目の素数さん [] 2025/08/30(土) 17:24:23.61 ID:SzW44Fp8 aとbを整数とし、方程式x^3+ax+b=0が3つの異なる整数解をもつとする。 このとき、bの偶奇を判定せよ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/276

277: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/30(土) 18:28:46.27 ID:2/v7Mp9d αβγ≡1 ( mod 2 ) → a+b+c ≡ 1 ( mod 2 ) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/277

278: １３２人目の素数さん [] 2025/08/30(土) 18:56:09.11 ID:SzW44Fp8 お見事です http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/278

279: １３２人目の素数さん [] 2025/08/30(土) 18:56:43.70 ID:fWoX7QGu (2k+1)x^2k-n=0 x=±(n/(2k+1))^(1/2k) 0^(2k+1)-0+1>0 n>2 1^(2k+1)-n+1<0 m=3 lim a[1]=-∞ lim a[2]=0 lim a[3]=∞ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/279

280: １３２人目の素数さん [] 2025/08/30(土) 19:01:23.80 ID:fWoX7QGu >>277 >αβγ≡1 ( mod 2 ) なんで？ α+β+γ=0 では？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/280

281: １３２人目の素数さん [] 2025/08/30(土) 19:02:25.77 ID:fWoX7QGu ああそうか 意図分かった http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/281

282: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/31(日) 18:56:12.09 ID:QaV2l/9l >>274 ヒント続き （今更だけど「/」は差集合。＼と間違えたけどこのまま進めます。ごめんちょ） Wの部分集合A,Bが A⊂B でも B⊂A でもなく、|A|, |B| ≦ 500 を満たすならば、f(A)≠f(B). （証明） |A|=|B|の時は証明済み。 |A|<|B|として一般性を失わないのでそのように仮定する。 0 < |A/(A∩B)| < |B/(A∩B)| より、集合 B/(A∩B) から任意に |B|-|A| 個の元を選んでその集合をCとおくと、 A':=A∪C は A⊂A'⊂B、 |A'|=|B|、 0<|A'/(A'∩B)| (すなわち A'≠B) を満たす。 f(A)=f(B) と仮定すると f(A') = f(A)∪f(C) = f(B)∪f(C) = f(B) より、f の W(|B|) への制限の単射性に反する。 （終わり） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/282

283: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/31(日) 19:56:08.47 ID:hUOxpuc6 要するに V、S:有限集合 f:S→2^V ♯V>♯S ∀w∃s w∈f(s) → ∃A,B s.t. ♯A=♯B=⌈♯W/2⌉ {s;f(s)∩A≠Φ} = {s;f(s)∩B≠Φ} A≠B を示せばいいんだよな 示せたと思うけど今サウナ泊まりに来ててパソコンないからかけない http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/283

284: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/31(日) 21:44:05.05 ID:QaV2l/9l >>282 誤 A⊂A'⊂B 正 A⊂A' http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/284

285: イナ ◆/7jUdUKiSM [sage] 2025/09/01(月) 10:48:17.33 ID:bD/AUJQV >>259 三人で一人三本ずつ飲むと、 たとえばA,B,C,D,E,Fのワインを、 太郎がA,Bを、 次郎がC,Dを、 花子がE,Fを飲んだと. これだと二人死んだらだめだ. ところが三人が飲むワインを一つずつずらし、 太郎がA,B,Cを、 次郎がB,C,Dを、 花子がC,D,Eを飲んだら、 わかる. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/285

286: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/01(月) 14:45:50.94 ID:FRAqeS7G △ABCの形状がいろいろ変化するとき、sinAsinBsinCの最大値を求めよ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/286

287: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/02(火) 13:47:57.37 ID:y/H4brb4 △ABCの形状がいろいろ変化するとき、sinAsinBsinCの最大値と、cosAcosBcosCの最大値は一致するか。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/287

288: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/02(火) 15:07:15.31 ID:jTpZzzZq >>286-287 高校数学で解けるのな 二次関数に帰着させるか、相加・相乗平均を使うか 3つの角のsinとcosの和と積の最大 https://examist.jp/mathematics/trigonometric/sankakukeikaku-waseki/ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/288

289: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/02(火) 17:48:58.14 ID:fZOAs2Xe 以下有限グラフ G = (V,E) とは 有限集合 V と V の2元集合の組とする。よって G はループや多重辺を含まない。以下 「G から辺 {v,w} を取り除いたグラフ(G＼{{v,w}} と表す)」、「頂点 v と w を同一視して得られるグラフ(G/<v = w> と表す)」などの記述をもちいるが細かく規定せず多少の不正確な記述を適宜みとめ読者のエスパー力に期待するものとする。 グラフ G の頂点 x に対して x を端点とする辺の数を x の分岐数とよび μ(x) とかく。G の k 次ベッチ数を βₖ(G) と表す。Euler の定理より #V - #E = β₀(G) - β₁(G) である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/289

290: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/02(火) 17:49:12.90 ID:fZOAs2Xe 補題　任意の有限木 G について以下のいずれかが成立する。 (1) #G ≦ 2 (2) ある部分グラフの対 H,K で H∩K が一点、H が A₃ と同型であるものが存在する。 (∵) 容易。□ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/290

291: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/02(火) 17:49:28.95 ID:fZOAs2Xe 補題　任意の連結有限グラフ G について以下のいずれかが成立する。 (1) G は木である。 (2) 任意の点の分岐数は 2 である。 (3) 端点を共有する辺 e, f で G＼{e} は非連結、G＼{f} が連結である。 (4) 端点を共有する辺 e, f で G＼{e, f} が連結である。 (∵) 任意の点の分岐数は 2 以下ならば (1),(2) が成立する。よって (1),(2) を満たさず、かつ (3) が成立しないならある分岐数 3 以上の点 v が存在して v を端点とする任意の e に対して G＼{e} が連結となる。e, f, g が v を端点とする辺とする。e = {v,x}、f = {v,y}、g = {v,z} とする。 G＼{e, f} が非連結とし G＼{e, f} = H ∪ K を非交叉和で H が z を含む連結成分とする。H が x を含めば H ∪ K ∪ {e} と H ∪ K の連結成分数は同じでなければならないが、前者は 1、後者は 2 以上だから矛盾する。よって x は K の元である。同様にして y も K の元である。G＼{g} は連結だから z と v を結ぶ G＼{g} の path が存在するが、その path は e,f を通過できない。よって z と v を結ぶ G＼{g,e} の path が存在する。一方 x と y を結ぶ K の path に f をつなげると x と v を結ぶ G＼{g,e} の path となる。よって G＼{g,e} は連結である。□ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/291

292: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/02(火) 17:50:58.73 ID:fZOAs2Xe 以下頂点の集合 A ⊂ V に対して S(A) := { e∈E ; e∩A ≠ ∅ } と定める。 補題　G = (V,E) が頂点数 n = #V ≧ 2 の連結有限グラフとする。⌈(n + β₁(G))/2⌉ ≧ n であるか、または相異なる頂点の集合 A,B で #A = #B = ⌈(n + β₁(G))/2⌉, S(A) = S(B) = V となるものがとれる。 (∵) 最小反例で前補題の条件を満たすものが存在しないことを示せばよい。 (i) #V = 2,3 のとき。V = {u,v} のときは A = {u}, B = {v}、V = {u,v,w} のときは A = {u,w}, B = {v,w} とすれば条件をみたすから反例となりえない。 (ii) 部分グラフ H と {x,y,z} ⊂ G で {x,y},{y,z} ∈ E、{x,z} ∉E、H ∩ {x,y,z} = {x} のとき。G が最小反例だから ⌈(n-2 + β₁(G))/2⌉ ≧ n-1 であるか A’, B’ ⊂ H で #A’ = #B’ = ⌈(n-2 + β₁(G))/2⌉、S(A’) = S(B’) = H が成立する。前者は容易に矛盾する。後者のときは y ∈ A’ なら A = A’∪{x}、そうでなければ A = A’∪{y} とし y ∈ B’ なら B = B’∪{z}、そうでなければ B = B’∪{z} とすれば条件をみたすから反例となりえない。 (iii) G が (2) を満たすとき。V = {x₁, x₂, ... ,xₙ}, E = {{x₁,x₂}, {x₂, x₃},...,{xₙ, x₁}} としてよい。n が偶数のときは A = {xₖ ; k odd}∪{xₙ}、B = {xₖ ; k even}∪{x₁} が条件を満たし、n が奇数のときは A = {xₖ ; k odd}、B = {xₖ ; k even}∪{x₁} が条件を満たすから反例となりえない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/292

293: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/02(火) 17:51:03.77 ID:fZOAs2Xe (iv) G が(3) を満たすとき。e = {x,y}、f = {y,z} とする。G’ = ( V/<x=y>, E＼{{y,z}} ) とする。G が最小反例だから ⌈(n-1 + β₁(G)-1)/2⌉ ≧ n-1 であるか A’, B’ ⊂ G’ で #A’ = #B’ = ⌈(n-1 + β₁(G)-1)/2⌉、S(A’) = S(B’) = G’ が成立する。前者は容易に矛盾する。後者のときは y ∈ A’ なら A = A’、そうでなければ A = A’∪{y} とし y ∈ B’ なら B = B’、そうでなければ B = B’∪{y} とすれば条件をみたすから反例となりえない。 (v) G が(3) を満たすとき。e = {x,y}、f = {y,z} とする。G’ = ( V, E＼{{x,y},{y,z}} ) とする。G が最小反例だから ⌈(n + β₁(G)-2)/2⌉ ≧ n であるか A’, B’ ⊂ G’ で #A’ = #B’ = ⌈(n + β₁(G)-2)/2⌉、S(A’) = S(B’) = G’ が成立する。前者は容易に矛盾する。A’ が y を含まないときは a = y、そうでないときは a ∈ V＼A’ を任意に選ぶ。B’ に対して同様に b を選ぶ。A’∪{a} = B’∪{b} でないときは A = A’∪{a}、B = B’∪{b} が条件を満たす。A’∪{a} = B’∪{b} であるときは a≠y または b≠y である。a≠y ならば y∈ A’ であり # B’∪{b} ≦ n-1 であるから a’∈V＼B’＼{b} を選んで A = A’∪{a’}、B = B’∪{b} が条件を満たすから反例となりえない。□ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/293

294: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/02(火) 17:51:16.05 ID:fZOAs2Xe 以下記号の定義を再掲する。W, S は有限集合、f : S → 2^W は写像で A ⊂ W に対して S(A) = { s ; f(s)∩A ≠ ∅ } とする。さらに (※) 任意の A≠∅ に対して S(A)≠∅ とする。 (W : ワインの集合、S : 奴隷の集合、f(s) : 奴隷 s が飲むワインの集合、S(A) : A に毒をいれたときの犠牲者の集合であり、(※) は「すべてのワインはいずれかの奴隷が必ず試飲する。に相当する。) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/294

295: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/02(火) 17:51:44.42 ID:fZOAs2Xe 補題　(※) n = #W > #S であるとき W の相異なる部分集合 A,B が存在して次を満たす。 (1) #A = #B = ⌈ #W/2 ⌉ (2) S(A) = S(B) (∵) S₁ = { s∈S | #f(s) = 1 } とおく。W を最小反例とする。 #S₁ = 0 とする。すべての s について #f(s) ≧ 2 である。各 s について f(s) から２元集合 e(s) = {p(s), q(s)} ⊂ f(s) を選んでグラフ (W,E) = (W, {e(s) ; s∈S} ) を考える。グラフはe(s) の選び方で任意性があるが、この中でその一つの連結成分 G₀ = (W₀, E₀) の点の数が最大となるものをとる。このとき任意の s に対して e(s) が G₀ の辺でないなら #E₀ の最大性から f(s) は G₀ と共通元をもたない。すなわち任意の s に対して e(s) が G₀ の辺であるか、もしくは f(s) と W₀ は互いに素となる。 n₀ = #W₀ とする。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/295

296: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/02(火) 17:52:33.87 ID:fZOAs2Xe ⌈(n₀ + β₁(G₀))/2⌉ ≧ n₀ のとき。容易に n₀ + β₁(G₀) ≦ 1 + #S ≦ n だから n₀ ≦ ⌈n/2⌉ である。よって A₀,B₀ ⊂ W、C ⊂ W ＼ W₀、 #A₀ = #B₀ = n₀ - 1、#C = ⌈n/2⌉ - n₀ + 1 となる相異なる A₀, B₀, C をえらぶ。A = A₀∪C、B = B₀∪C とすれば S(A) = S(A₀)∪S(C) = W₀∪S(C)、 S(B) = S(B₀)∪S(C) = W₀∪S(C) だから条件が成立する。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/296

297: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/02(火) 17:53:26.73 ID:fZOAs2Xe ⌈(n₀ + β₁(G₀))/2⌉ < n₀ のとき。補題から #A₀ = #B₀ = ⌈(n₀ + β₁(G₀))/2⌉、S(A₀) = S(B₀) = W₀ となる相異なる A₀, B₀ がとれる。このときさらに C⊂W ＼ W₀ を #C = ⌈n/2⌉ - ⌈(n₀ + β₁(G₀))/2⌉ となるようにとれる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/297

298: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/02(火) 17:53:30.77 ID:fZOAs2Xe (∵ ⌈n/2⌉ - ⌈(n₀ + β₁(G₀))/2⌉ ≦ n/2 - (n₀ + β₁(G₀))/2 + 1/2 より n/2 - (n₀ + β₁(G₀))/2 + 1/2 ≦ n-n₀ であれば十分だが、これは 1+n₀ ≦ β₁(G₀) + n と同値である。これが成立しないのは n₀ = n、β₁(G₀) = 0 の場合のみである。しかしこのときは C = ∅ とすればよい。) よって A = A₀∪C、B = B₀∪C とすればよい。 以上により #S₁ = 0 である最小反例はない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/298

299: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/02(火) 17:53:49.19 ID:fZOAs2Xe #S₁ > 0 とする。s₀ ∈ S₁ をえらんで f(s₀) = {w₀} とおく。S’ = S＼{s₀}、W’ = W＼{w₀} とし f’(s) = f(s)＼{w₀} とする。W が最小反例だから W’ の相異なる部分集合 A’,B’ で (1) #A’ = #B’ = ⌈ #W’/2 ⌉ (2) S(A’) = S(B’) となるものがとれる。⌈ #W’/2 ⌉ = ⌈ #W/2 ⌉ なら A = A’、B = B’ とすれば S(A) = S(A’)、S(B) = S(B’) となり矛盾する。⌈ #W’/2 ⌉ = ⌈ #W/2 ⌉ - 1 なら A = A’∪{w₀}、B = B’∪{w₀} とすればS(A) = S(A’)’∪{s₀}、S(B) = S(B’)’∪{s₀} となり矛盾する。 □ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/299

300: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/02(火) 19:28:54.48 ID:y/H4brb4 △ABCの形状がいろいろ変化するとき、2sinA+sinB+sinC+sinAsinBsinCの最大値を求めよ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/300

301: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/02(火) 22:27:43.25 ID:Mll4sRUZ >>299 うお…すごい大作だ　本当にお疲れ様 まじでごめんなんだけど、正しさを確かめる気力が無いから想定解だけ書かせてもらうね >>282 の続き Wの部分集合A,Bが A⊂B かつ |A|+2≦|B|≦500 を満たすならば、f(A)≠f(B). （証明） Bの元のうちAに属さないものが２つ存在するのでそれらを w_1,w_2 とおく。 A_1:=A∪{w_1}, A_2:=A∪{w_2} とおくと、最初に証明した補題より f(A_1)≠f(A_2) であるから、 f(A) ⊂ f(A_1)∩f(A_2) は f(B) ⊃ f(A_1)∪f(A_2) の真の部分集合である。 （終わり） （主張の証明） 2^W の部分集合 W_0 を W_0 := W(500) ∪ W(498) ∪ W(496) ∪… と定める。 この時、A,B∈W_0 が A⊂B または B⊂A を満たすならば３つ目の補題から f(A)≠f(B) が導かれ、 どちらも満たさなければ２つ目の補題から f(A)≠f(B) が導かれるので、 f の W_0 への制限は単射であることがわかる。…(1) 2|W_0| = 2Σ_(k=0,250) 1000C(2k) = 1000C500 + Σ_(k=0,500) 1000C(2k) であるが、 (1 + (-1))^1000 の二項展開と (1 + 1)^1000 の二項展開を足し合わせることで Σ_(k=0,500) 1000C(2k) = 2^999 が導けるから、 |W_0| > 2^998. …(2) (1)と(2)より、|2^S| ≧ |W_0| > 2^998 であるから |S|≧999. 等号成立は >>268 より可能。 （終わり） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/301

302: １３２人目の素数さん [] 2025/09/03(水) 08:38:15.85 ID:wC3sbrDB をーなんかすごいな 素人の疑問なんだけど、ワインの数とか毒の数によっては >>268みたいな自明解以外の解が存在するのだろうか http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/302

303: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/03(水) 08:52:44.82 ID:AK+unjCX ようするにワインが n 本のとき奴隷がn-2だと不可能、n-1だと可能、すなわち毒入りワインを確実に判定するのに必要な奴隷の数はn-1人である、が答え http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/303

304: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/03(水) 09:06:26.14 ID:AK+unjCX 正確には “ワインが n 本、毒をいれる本数が ⌈(n-1)/2⌉ 本の場合の必要な奴隷の人数の最小数は n-1 人” の証明が >>289-299。n = 1000 のときは ⌈(n-1)/2⌉ = 500 となるので問題の設定をカバーしてる。>>268 の “解は 995人以上、999人以下” の中で 999 人が答えでしたとさというお話。ワインが1000本、毒が500を拡張する方法は他にも色々あるだろうけど。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/304

305: １３２人目の素数さん [] 2025/09/03(水) 09:07:24.37 ID:iMvGoXCo あ、毒入りの数が少なければ奴隷も少なくていいケースがあるのか http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/305

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