代数学演習 (154ﾚｽ)
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56(1): 2021/10/14(木)19:33 ID:oLv14f6y(1/4) AAS
Bを可換環、Aをその部分環（乗法の単位元1を共有する）とする。
BはA加群として有限生成であるとし、PをAの素イデアルとする。このとき、Aの元aが、
a = Σ[i=1, n] b_i p_i （b_i∈B, p_i∈P）
と表されるならば、a∈Pであることを示せ。
57: 2021/10/14(木)19:41 ID:oLv14f6y(2/4) AAS
>>56
BはAの整拡大だから、Bの素イデアルQで
Q∩A = P
となるものが存在する（lying-over theorem）。a∈PB⊂Qであるから、
a∈Q∩A = P。□
58: 2021/10/14(木)20:30 ID:oLv14f6y(3/4) AAS
lying-overの証明も美しいよね。
定理:
A⊂Bを環の整拡大、PをAの素イデアルとする。このときBの素イデアルQで
Q∩A = P
を満たすものが存在する。
証明:
M = A＼Pとする。A_M, B_MをAおよびBのMによる局所化とする。
PはA_MのA_Mの極大イデアルP'の自然な写像i: A → A_Mによる引き戻しである。また、もしB_Mの素イデアルQ'で、Q'∩A_M = P'となるものがあれば、j: B → B_Mを自然な写像として、
省15
59: 2021/10/14(木)20:49 ID:oLv14f6y(4/4) AAS
右辺はマイナスつけて下さい
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