代数学演習 (154ﾚｽ)
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38: 2021/09/10(金)00:54 ID:j6Ljpwn9(1/10) AAS
pは素数とする。Rは単位元をもつ環で元の個数がp^2であるとする。
(1) Rは可換であることを示せ
(2) Rはどのような環になるか。同型類を全て記述せよ。
（京大）
39: 2021/09/10(金)00:56 ID:j6Ljpwn9(2/10) AAS
(1)
1 + ... + 1 (p^2回) = 0であるから、1の加法群としての位数はpまたはp^2である。
1の位数がp^2ならば、Rは加法群としてZ/p^2Zに同型である。この時、Rのすべての元が1 + 1 + ... + 1の形になることから、Rの乗法も、Zから誘導されたものになる。したがってRは可換である。
1の位数がpの場合を考える。
Rの加法群としての構造は、Z/pZ×Z/pZである。したがって、Rのすべての元は、ある2元aとbの整数係数の線形結合で表される。
1 = na + mb （n, m∈{0, 1, ..., p - 1}）
とすると、0, 1, ..., p - 1はすべての元と可換なので、a, bを1の左右からかけたものを比較すると、
省18
40: 2021/09/10(金)01:01 ID:j6Ljpwn9(3/10) AAS
訂正:
> ・fが1次式のF_pに重根を持つとき、
・fがF_pに重根を持つとき、
41: 2021/09/10(金)01:04 ID:j6Ljpwn9(4/10) AAS
有理数のなす加法群ℚと、有理数体の乗法群ℚ*は、Abel群として同型でないことを示せ。
42: 2021/09/10(金)01:06 ID:j6Ljpwn9(5/10) AAS
q∈ℚを0でない任意の元とすると必ず2p = qとなるp∈ℚが存在する。
一方、ℚ*の元には平方根が存在するとは限らない。たとえば2。
43: 2021/09/10(金)01:41 ID:j6Ljpwn9(6/10) AAS
K⊂ℂを部分体、pを素数とする。ℂに含まれる任意の有限次拡大L/Kに対し、
「L = Kでなければ、[L : K]はpで割り切れる」
と仮定する。このとき、ℂに含まれる任意の有限次拡大L/Kに対し、[L : K]はpのべき（1を含む）であることを証明せよ。
（京大）
44: 2021/09/10(金)01:49 ID:j6Ljpwn9(7/10) AAS
L/Kを任意の有限次拡大とする。
Lを含むKの最小のGalois拡大M/Kが存在する。仮定より、[M : K]はpで割り切れる。
|Gal(M/K)| = mp^n （mとpは互いに素）とおく。Sylowの定理よりGal(M/K)のSylow p部分群が存在する。その一つをHとすると、|H| = p^n。
Hの元で固定される部分体M^HのK上の拡大次数は、Galois理論の基本定理より、|Gal(M/K)|/|H| = mである。しかし、仮定よりこれはpのべきでなければならないから、m = 1である。
したがって、[M : K] = p^n。よって、M/Kの中間体であるLのK上の拡大次数もpのべきである。□
45: 2021/09/10(金)02:51 ID:j6Ljpwn9(8/10) AAS
体K = ℚ(√N, √(1 + i))がℚ上のGalois拡大となるような最小の正の整数Nと、そのときのGalois群Gal(K/ℚ)を求めよ。
（京大）
46(1): 2021/09/10(金)08:55 ID:j6Ljpwn9(9/10) AAS
√(i + 1)のℚ上の共役は
√(i + 1), -√(i + 1), √(-i + 1), -√(-i + 1)。
√(i + 1)√(-i + 1) = √2なので、√2が含まれれば、Kに√(i + 1)の共役がすべて含まれる。
N = 1のときはGalois拡大にならないので、N = 2が最小。
M = ℚ(√2, i)とおく。
KはMの2次拡大で、Mはℚの4次拡大だから、#Gal(K/ℚ) = 8。
σ∈Gal(M/ℚ)を、σ(i) = -iで定まるものとすると、
省13
47: 2021/09/10(金)09:22 ID:j6Ljpwn9(10/10) AAS
おかしいな
Abel拡大になるはずない
> KはMの2次拡大で、
ここが違うか
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