代数学演習 (154ﾚｽ)
上下前次1-新
抽出解除 必死ﾁｪｯｶｰ(本家) (べ) 自ID ﾚｽ栞 あぼーん
31: 2021/09/09(木)12:23 ID:9ztxd/mI(1/4) AAS
Gを位数3p^nの群とする。
p = 3のとき、位数3p^nの群はp群なので、可解群である。
p ≠ 3のとき、Sylowの定理より位数p^nの部分群Hが存在する。これは可解群である。
もし、HがGの正規部分群であれば、G/Hは位数3なので巡回群であるから、Hが可解群であることと合わせて、Gは可解群になる。
HがGの正規部分群であることを示す。
Sylowの定理より、GのSylow p-部分群の個数nは
(1) n = 1 or 3
(2) n ≡ 1 (mod p)
(3) n = |G : N_G(H)| （N_G(H)はHの正規化群）
省3
32: 2021/09/09(木)12:35 ID:9ztxd/mI(2/4) AAS
ごめんなさい。
以下は、Hが正規部分群であることを示すのではなくて、Hが正規部分群にならない場合も、Gが可解になることを示します。
N_G(H) = Hとなったとする。n = 3であるから、(2)よりp = 2である。
Sylow 2部分群をH_1, H_2, H_3とすると、GのSylow 2部分群は互いに共役なので、Gの{H_1, H_2, H_3}への推移的な作用
(g, H_i) → g^(-1)H_ig
がある。よって3次対称群S_3への全射準同型
省4
33: 2021/09/09(木)12:37 ID:9ztxd/mI(3/4) AAS
最後は、
NがGの正規部分群で、NおよびG/Nが可解ならば、Gは可解である
を使いました。
34: 2021/09/09(木)12:42 ID:9ztxd/mI(4/4) AAS
φ: G → S_3が全射なのは、置換は互換で生成されるからです。
この場合、任意の2つのH_i, H_jがあるgで移りあうので、{H_1, H_2, H_3}の置換すべてがGの像になっています。
上下前次1-新書関写板覧索設栞歴
ｽﾚ情報 赤ﾚｽ抽出 画像ﾚｽ抽出 歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ
ぬこの手 ぬこTOP 0.544s*