[過去ﾛｸﾞ] 集合論について (615ﾚｽ)
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7: 2013/11/24(日) 12:22:00.84 AAS
8: 狸 ◆2VB8wsVUoo 2013/11/24(日) 12:42:13.31 AAS
狸
9: 狸 ◆2VB8wsVUoo [age] 2013/11/24(日) 15:59:06.11 AAS
狸
10: 狸 ◆2VB8wsVUoo [age] 2013/11/24(日) 17:03:13.78 AAS
狸
11: 2013/11/24(日) 18:58:23.08 AAS
狸さんってひょっとしてＢ型？
12(1): 2013/11/24(日) 19:03:48.90 AAS
集合論って、情報系>哲学系>数学系の順に人気があるイメージ
13: 2013/11/25(月) 21:31:13.84 AAS
目新しく感じてしまう人
だけが関心を持つからね。
14: 狸 ◆2VB8wsVUoo 2013/11/26(火) 06:55:16.75 AAS
狸
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15: Let's Fight！ [SAGE] 2013/11/26(火) 08:38:15.65 AAS
無意味な人工物を勝手に問題設定して勝手に解く
これが基礎論の現状
そして自称解析学では重要な役割を果たすというが
どうでもいい命題ばかりでしか貢献できていない
本質的にゴミなのである
16: 2013/11/26(火) 08:46:24.54 AAS
>>1
数学者にとってできれば触れたくない分野だからなw
17: 狸 ◆2VB8wsVUoo 2013/11/26(火) 09:35:32.01 AAS
なるほど。
狸
18: 2013/11/26(火) 12:25:13.73 AAS
＞無意味な人工物を勝手に問題設定して勝手に解く
これ、基礎論だけの現状ではないだろｗ
19: 狸 ◆2VB8wsVUoo 2013/11/26(火) 12:36:43.15 AAS
例えば意味があるかどうかも判らないのに、とにかく計算機を使って得ら
れた出力を、『重要な結果だ』と強弁するとか。
狸
20: 2013/11/26(火) 21:59:55.20 AAS
勝手な想像だけど、手法が限られている分ものすごくテクニカルで難しい議論を繰り広げてるイメージ
21: 2013/11/26(火) 23:46:49.39 AAS
コンピュータに定理生成をさせると馬鹿人間でもこいつらよりはマシと思える。
22: 2013/11/27(水) 03:00:36.47 AAS
この分野に"重要な（あるいは魅力的な）未解決問題"ってあるんですかね
誰か詳しい人
23: Let's Fight！ [SAGE] 2013/11/27(水) 06:09:01.44 AAS
ほとんど無数に未解決問題が創造できる
なにしろ無限公理を追加し放題だからｗ
そして公理をさまざまにいじって
強制法やランダムの定義を少しづつ変えてってのはすでに行われている！
24: 狸 ◆2VB8wsVUoo 2013/11/27(水) 14:25:21.16 AAS
狸
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25: 2013/11/28(木) 01:25:05.45 AAS
へー
26: 2013/11/28(木) 01:38:22.14 AAS
竹内薫のゲーデルの不完全性定理は
結構わかりやすい。
書評がボロクソに書かれてるけどそんに悪いかな？
27: 2013/11/28(木) 01:54:04.39 AAS
わかりやすいのと
でたらめ書いて馬鹿にわかった気にさせるのは全然別の事だからな
28: 2013/11/28(木) 06:47:09.10 AAS
ふーん
29: 狸 ◆2VB8wsVUoo 2013/11/28(木) 07:04:48.59 AAS
狸
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30(1): 狸 ◆2VB8wsVUoo 2013/11/28(木) 09:31:17.18 AAS
狸
31(1): 2013/11/28(木) 10:35:29.26 AAS
集合論とは実数について考えるための道具だったのですね
哲学の方から集合論に興味持ったために長いこと勘違いしてました
32(1): 2013/11/28(木) 19:45:11.39 AAS
>>30
元気ですか？
33: 狸 ◆2VB8wsVUoo 2013/11/28(木) 20:17:11.81 AAS
I have a burning smell.
--tanuki--
34: 2013/11/28(木) 20:20:00.33 AAS
竹内薫の本バカにされてるけど
そもそも不完全性定理って数学の定理じゃないからｗ
>>31
数学者の使う実数とは違うよ
やるだけ無駄 役に立たない
35: 2013/11/28(木) 20:27:25.03 AAS
＞そもそも不完全性定理って数学の定理じゃないからｗ
だからなんやねん
36(1): 狸 ◆2VB8wsVUoo 2013/11/28(木) 20:28:12.90 AAS
>>32
はい、毎日元気に馬鹿板潰しに精を出してますぅ〜
ケケケ狸
37: 2013/11/28(木) 20:43:47.16 AAS
算術の定理と言いたいんだろうか
38: 狸 ◆2VB8wsVUoo [age] 2013/11/28(木) 20:55:24.63 AAS
運営の失敗と言いたいんだろうか
ケケケ狸
39(1): 2013/11/28(木) 22:10:37.34 AAS
ZFCってでかすぎるんだよね
成り立つかどうか胡散臭い定理が結構ある
全体的にあまりに空想的な命題が多すぎて設定次第でどうにでもできてしまうからね
そこが人工的な感じがして今一本気でやればい部分がある
40(1): 2013/11/28(木) 23:25:10.92 AAS
>>36
それはよかった、これからも元気に生きてください
41: 狸 ◆2VB8wsVUoo 2013/11/29(金) 08:18:55.54 AAS
>>40
なので今日もこれから作業を開始します。
狸
42(1): 2013/11/29(金) 20:56:22.16 AAS
>>12
> 集合論って、情報系>哲学系>数学系の順に人気があるイメージ
こういう事を書く人って集合論も情報系も全然知らないって自白しているも同然ですね。
情報系にとって興味があるのは基本的に計算可能な対象ですから集合でも高々可算無限濃度まで。
連続体濃度以上の一般の集合は情報系にとって関心はありません。
従って、連続体の濃度がどうだとか巨大基数とかが関心の中心になっている現代の集合論は
情報系の関心の範囲外ですし情報系での応用もありません。
同様に、超準解析を始めとして一般の無限集合を用いるモデル論も情報系にとってはほぼ無縁です。
情報系で関心の高い「モデル論」と言えば有限モデル論(finite model theory)です。
集合論と同様に基礎論系統の分野でも証明論、特にGentzen流の還元的証明論なんかは確かに情報系で
関心のある人も多い（といっても、そもそも理論計算機科学屋そのものが情報系では極めて少数派）ですが。
情報系つまり理論計算機科学屋にとって通常の公理的集合論や一般のモデル論なんて関心ありませんよ。
せいぜい情報系のポストにもぐりこんでいる基礎論屋さんだけです、そんな巨大なサイズの枠組みに興味を持つのは。
43: 2013/11/29(金) 22:29:25.02 AAS
>>39
ZFよりはるかに弱い集合論もあるし、それなりに研究もされてるよ
たとえば新井敏康「数学基礎論」にはKripke-Platek集合論の
証明論的分析が載ってる。
同じ本の集合論の章に載ってる「BST」も弱い集合論の一つ。
44: 2013/11/30(土) 03:05:01.88 AAS
うお！補足されてる(>>42)、ありがたいですね
実際俺は"集合論も情報系も全然知"らんわ
けど、集合論を勉強しようとした時に内容が最もよく整理されてて
役に立ったのは"情報"分野の本棚ですね
次に哲学。"この公理を採用する正当性は何か？"みたいな
テーマが議論されてて深さという点ではダントツだった
数学の本棚が一番しょぼかった
素人目からは。
45: 2013/11/30(土) 03:14:41.90 AAS
↑"しょぼい"は悪い表現だった
内容は豊かでした
なんていうか、公理を定めてどんどん演繹してくんだけど、
公理を疑ったりみたいな話題にはノータッチだった
俺はそこに一番興味があったんだけど
46(2): 2013/11/30(土) 06:55:35.64 AAS
ほんとに素人目だな
ここに無料テキストが山ほどあるから勉強しなすこと
外部ﾘﾝｸ[pl]:projecteuclid.org
47: 2013/11/30(土) 08:11:14.00 AAS
集合は集合か？
48: 2013/11/30(土) 08:49:07.78 AAS
同語反復じゃねえか。
何を言いたいのか、
整理してみな。
49(1): 2013/11/30(土) 09:16:31.95 AAS
公理を疑うというのはナンセンス。
数学は公理を定めてどんどん演繹してくことにより、なにが導かれるかを明確に示してくれる。
それが目的にあわないなら別の公理を用いればよい。
それがいい加減な思考ではなくて論理的に演繹により示されるのに、なにが不満なんだか。
選択公理のない集合論、無限公理のない集合論、基礎の公理のない集合論(や、これらの否定を公理に持つ集合論)などなど、研究されていて面白い結果も導かれている。
50: 2013/11/30(土) 11:53:19.60 AAS
>>46
いきなりそのシリーズは無理や
案外キュネンの和訳に載ってる数学の哲学的な部分が良いかも
51: 2013/11/30(土) 13:10:05.34 AAS
集合論とか意味不だわ
後期も単位落としそうでつらい
52: 2013/11/30(土) 17:20:38.34 AAS
単位とか言ってる時点でだめだ
死んだほうがいいよ
53(1): 2013/11/30(土) 19:16:04.59 AAS
>>46
助かります！
便利な情報はもっと目立って存在してくれればいいのにと思う
54: 2013/11/30(土) 19:32:58.91 AAS
>>49
数学の体系を「この公理を採用したらこれが演繹できる」っていうペアの平等な寄せ集め
と見るならばそうかもしれないけれども、
現実の"数"の性質をどれだけ忠実に表現しているかっていう視点で
公理系を見ることには意味があると思うんです
55: 2013/11/30(土) 19:35:46.55 AAS
そういうことは「公理を定めてどんどん演繹して」いかないとわからないよ
もちろん、現実の"数"の性質について知るためには、現実の数学について知らなければならないし
56: 2013/11/30(土) 20:03:26.49 AAS
>>53
基礎論は無料でテキストが公開されている場合が多いから
洋書なんかは購入前に調べたほうがいいよ
57: 2013/11/30(土) 20:05:23.45 AAS
外部ﾘﾝｸ[html]:klapaucius.web.fc2.com
こういうサイトって他にもあるんですか？
58(1): 2013/11/30(土) 20:32:09.82 AAS
基礎論やるんだったら以下のページはおさえとくべき
集合論の公理詳細
外部ﾘﾝｸ[html]:us.metamath.org
論理体系のリスト
外部ﾘﾝｸ[html]:home.utah.edu
計算量クラスのリストとその図
外部ﾘﾝｸ[html]:www.math.ucdavis.edu
外部ﾘﾝｸ[xml]:www.math.ucdavis.edu
逆数学とかの小型の数学体系とか
外部ﾘﾝｸ[html]:rmzoo.uconn.edu
59: 2013/11/30(土) 21:17:47.76 AAS
>>58さん
ありがとうございますm(_ _)m
60: 2013/12/05(木) 00:19:36.84 AAS
色んな集合論があるもんだなと
外部ﾘﾝｸ:stanford.library.usyd.edu.au
61: 2013/12/08(日) 00:10:18.08 AAS
2chｽﾚ:math
62(1): 2013/12/16(月) 21:15:09.09 AAS
Complexity Zoo とか、種類が多すぎてとても追っかけきれそうもない
どういう態度で臨めばいいんだろう…？
63: 2013/12/27(金) 05:54:12.77 AAS
a?aa?aaaaaaaaa
64: 2013/12/28(土) 11:03:16.00 AAS
>>62
文字通り動物図鑑とか昆虫図鑑を見るような態度ではないですか？
動物や昆虫と違うのは、いくらでも人工的に新種を作り出せることですが。
65: 裁判負一声会さくら接骨院親分歌代英二 2013/12/28(土) 12:52:09.17 AAS
qaz
66(1): 2014/01/05(日) 06:40:16.83 AAS
素人なんだけど純粋な疑問がある
空集合って「任意の集合の部分集合」なんだろ？
それで居て空集合は「内部に何も含まない」だろ？
?∋?なのか？ ???なの？
どっちなのか分からない
67: 2014/01/05(日) 06:46:52.30 AAS
空集合は空集合を「含む」のか「含まない」のか
68(1): 2014/01/05(日) 06:53:32.25 AAS
空集合は元を含まないので、空集合が空集合の部分集合であっても矛盾しない。
69(1): 2014/01/05(日) 06:57:37.64 AAS
|A|=|B|=0 のとき、A=B だから、A⊆B、B⊆A はどちらも真
70(1): 2014/01/05(日) 15:20:39.47 AAS
>>66 集合をビニール袋だと思え。
空集合は何も中身が入っていないビニール袋だ。
x∈A はAという集合にxが含まれている。
A⊂B は集合Bが集合Aを覆う。（含む含まないという言葉を使わない方が理解しやすい）
BがAを覆うというのは、Bの袋から要素を取り除くという操作をしたかもしくは何も操作しないときに
Aにできるということ。
空集合は空集合を覆う。（φ⊂φ）
これは、何もないビニール袋に何も操作しなければなにもないビニール袋のままであるということ。
71: 2014/01/05(日) 16:23:23.73 AAS
>>68-70
ここまで丁寧に答えていただけるとは
脳みそのムズムズが取れてスッキリしました
72: 2014/01/30(木) 10:57:19.45 AAS
初コメです。
集合論・数理論理学ガチでやりたいんですけど,不完全性定理終えた今からどの分野やったらいいんですかね?
キューネンの独立性証明の集合論にも興味ありますし,様相論理にも興味あるし,・・・
山本新の｢数学基礎論｣は最後までやったほうがいいのかな
73: 2014/01/30(木) 19:05:06.45 AAS
自分の好きな分野をやればいいんじゃないの
74: 2014/01/30(木) 21:58:43.73 AAS
やりたい分野を片っ端からやるしかないでしょ
75: 2014/01/30(木) 23:25:46.85 AAS
自分がやりたいと思うものをやれば善し
それを人に聞くのはナンセンス
76(1): 2014/01/31(金) 01:50:36.01 AAS
了解
今一番興味あるのは,｢巨大基数の集合論｣ですけど,結構なハイレベルな気がします。
前提知識はどの位いるのかな？
77(1): 2014/01/31(金) 03:18:57.97 AAS
最低ラインは田中の公理的集合論をソラで再現できること
78(2): 2014/01/31(金) 16:20:35.11 AAS
とある場所で
「対角線論法は間違ってる！
なぜなら実数は無限小数ではないからだ
無限小数は全ての桁が確定しないから数ではない
自然数と実数は１対１対応”し続けられる”」
と吠えてるヤツがいるんだが
実数の完備性（コーシー列の収束）は否定してないらしいが
完備性から非可算性も導かれることが全然分かってない
どうにかならんかね？
79: 2014/01/31(金) 16:26:50.41 AAS
害がないなら珍獣の生態観察をして楽しむのがよろし
80(1): 2014/01/31(金) 19:31:49.39 AAS
>>76
二回の反復強制法と多少のモデル理論が分かってれば良い
KunenじゃなくてJechで勉強した、というパターン以外は
キューネンより先にその本読むのはほぼ無理だと思うよ
81: 2014/02/01(土) 00:01:01.59 AAS
0.999・・・≠1 のやつだろ
82: 2014/02/01(土) 00:15:08.43 AAS
>>78
クロネッカー？
83: 2014/02/01(土) 00:45:47.75 AAS
直観主義の解析学でしょ
84: 2014/02/01(土) 01:15:55.15 AAS
>>77,80
あざっす
それにしても,公理的集合論,数理論理学を自主勉強でやってきた物だから,
自分がどの程度出来ているor出来ていないのかがわからない
85: 2014/02/01(土) 18:03:01.22 AAS
自主勉強の教材の命題を自力で証明できたらその教材は修了
でいいんじゃない？
86: 2014/02/04(火) 16:49:16.95 AAS
>>78
非主流だけど、何人も指摘しているがそういう考えもあるからどうしようもないｗ
87: 2014/02/04(火) 17:16:47.27 AAS
直観主義解析学でいうところの「実数」は通常の意味での実数とはまったく別物だから注意してね
88: 2014/02/04(火) 20:45:56.80 AAS
√2やπが実数であることも認めないのかな？
89: 2014/02/04(火) 21:50:50.40 AAS
直観主義なら認めるだろ
90: 2014/02/05(水) 14:33:13.85 AAS
「πなどという数は存在しない」と言った数学者がいたとか
91: 2014/02/05(水) 22:06:12.48 AAS
クロネッカーの主張は直観主義というよりはもっと過激な有限主義に近い
92: 2014/02/06(木) 00:30:44.88 AAS
自然数は存在するけど負の数や有理数は存在しない、というのは
ちょっと過激すぎるよねえ
まあ、体をなさずモノイドにしかならない自然数は軽視されがちだから
その点はありがたいけど
93: 2014/02/08(土) 19:06:33.73 AAS
田中の公理的集合論をそらで復唱できるぐらいになるっていうのは修士レベル?
公理的集合論辺りでは,
どの程度出来て学部4年・修士・博士レベルっていうか知りたいんですけど・・・
94(1): 2014/02/08(土) 19:13:02.30 AAS
1回述語論理の完全性定理の証明抑えて学部3年ぐらい,不完全性定理の証明まで
そらで言えるようになって学部4年or修士1年じゃないのかなぁって
個人的には思ってるんですが。
それと,公理的集合論を深くやる人は,数理論理学は
どの程度抑えておいたほうがいいのかも教えて欲しいです
自然数論の無矛盾性の証明は是非抑えておきたいと思いつつも
全然手を付けていないっていう事もあります・・
95: 2014/02/08(土) 19:14:54.74 AAS
がんばれ
96: 2014/02/08(土) 20:09:17.48 AAS
素早いレスちょっとワロタ
このスレ逐一見てる人いるんですな
97: 2014/02/08(土) 21:06:53.43 AAS
>>94
証明は覚えるもんじゃないけどなｗ
あと「抑える」じゃなく「押さえる」な
98: 2014/02/10(月) 02:00:20.42 AAS
急にレスがなくなりましたね
99: 2014/02/15(土) 00:23:06.79 AAS
何か急にレスがなくなりましたね
2月8日まではあったのに
100: 2014/02/16(日) 16:52:56.34 AAS
形式主義を意識しながら圏論を勉強していきたいのですけど,
BGの公理系を学んだ後に圏論やったら見方がどういう風に変わりますかね？
BGの集合論やBGとZFCの関係について学べる本・論文あれば教えてください。
101: 2014/02/21(金) 01:23:04.67 AAS
おーい
誰か〜
コメントしてよぅ〜
102(1): 2014/02/22(土) 09:10:34.22 AAS
BGの一般存在定理あたりかな。
変数は全て束縛、クラス束縛変数は含まない式Aならクラスとして存在。
系として、任意のZFCの式についてそれを充たすクラスの存在がBGで言える。
公理に関する簡単な議論でZFCで証明できるならBGで証明できる。
でも、ZFCに関するかぎり強さは同等。
BGが書いてある本ならほとんど書いているはず。
倉田令二朗、篠田寿一公理的集合論の初めの方など
圏論の見方がどう変わるかはわからない。
クラスに意識はすると思うが。
103(1): 2014/02/22(土) 23:08:24.51 AAS
別に大して見方は変わらず、圏論を集合論的に定式化する方法の
一つを学べるだけだよ
104: 2014/02/22(土) 23:48:42.15 AAS
>>102,103
あざっす 近いうちにBG集合論勉強します
105: 2014/02/23(日) 14:48:40.14 AAS
クラスなんて大したもんじゃないよ
集合全体の集まりをＳとすると
クラスというのは２＾Ｓの要素
そのうちもとのＳに対応するものを
除いたのが集合以外の固有クラス
クラスの要素は集合だから
クラスを要素とする集まりは
クラスですらない
106: 2014/02/25(火) 23:27:59.31 AAS
明日の16時39分頃に気をつけて下さい。
日本にも世界にも巨大地震が起きませんように。
皆さんも一緒に祈って下さい。
太陽フレアのＸが発生したそうです。
太陽黒点数の100越えが24日間継続しているようです。
107(6): 2014/02/28(金) 02:35:59.16 AAS
セマンティクスを使わずに
３つの公理スキーマとＭＰだけを使って
命題論理式の証明を自動で導く
アルゴリズムの名前を教えてください
108: 2014/02/28(金) 14:34:21.97 AAS
そんなのあるんだ
っていうか その質問スレ違いでは？
109: 2014/02/28(金) 14:36:25.68 AAS
命題論理が完全であり決定可能であるという証明で使われている手法で定理を生み出していくアルゴリズムとはまた違うアルゴリズムなんですか？
110(1): 2014/02/28(金) 15:41:52.96 AAS
ゲーデル数の小さい定理から順に自動生成するアルゴリズムとか？
111: 107 2014/02/28(金) 16:34:36.53 AAS
スレ違いスンマセン
論理学スレはどれも荒れていて
こちらのスレの雰囲気が良かったので
そういうようなアルゴリズムがあったら教えて
あるいは、関連する研究があったら教えて
という意図での質問でした
誰かしら研究はされてるはずと思っているのですがなかなか見つからない
ゲーデル数を使ったアルゴリズムは読んでいる教科書で軽くスケッチされているけど
細かい部分がよくわからないのでレシピがあったら読みたい
たぶん直接的に組むと指数関数的爆発だろうから
素人目には枝刈りのやり方とか研究のしがいがありそうな気が
112: 2014/03/01(土) 01:39:26.64 AAS
>>110
"順に"っていうならゲーデル数で考えたくなりますけど,ゲーデル数は理屈上の概念であって
実用上あんな巨大な数はまず計算が間に合わないでしょうから っていうのが私の印象
113: 2014/03/01(土) 01:51:08.20 AAS
変数記号を無限個 {x1、x2、x3、x4、……} 用意するんじゃなくて
{x'、x''、x'''、x''''、……} で代用してコード化すると有限文字（N文字）しか要らないから、
それぞれの文字を0〜N-1と対応させてそのまま読むと
m文字の論理式はN進法でm桁のゲーデル数を対応させられる。
つまり N^m くらいしか要らない。
スマリヤンの本にあるゲーデル数化の方法だけど
m文字以下の論理式はある定数c、kに対してc^(m/k)程度はあるから、
このコード化は割と良い線言ってると思うよ。
114: 2014/03/01(土) 02:35:52.36 AAS
それって,ｍを固定した時の議論に過ぎない気がします
115(1): 2014/03/05(水) 11:46:52.07 AAS
WangのアルゴリズムでLKの証明は作れるから
LKとヒルベルトスタイルの同等性の証明をじっと見つめれば
116(2): 107 2014/03/05(水) 20:56:52.52 AAS
Wang のほうの資料は見つかったけど
同等性のほうの参考文献みつけられません…
同等性はセマンティクスを経由せずに証明できますか？
Deduction Theorem や完全性定理を仮定せずに証明できそうですか？
３つの公理スキーマについては、どの３種類を選ぶかは固定しておりませんが
その手法はそれでも適用できそうですか？
117(4): 107 2014/03/07(金) 22:24:34.33 AAS
セマンティクスを経由しないでという意味が分かりづらかったので説明します
３つの公理スキーマ
（Ａ１） Ｂ⇒（Ｃ⇒Ｂ）
（Ａ２） （Ｂ⇒（Ｃ⇒Ｄ））⇒（（Ｂ⇒Ｃ）⇒（Ｂ⇒Ｄ））
（Ａ３） （¬Ｃ⇒¬Ｂ）⇒（（¬Ｃ⇒Ｂ）⇒Ｃ）
とＭＰからなる公理系から出発すると、Deduction定理などを経由して完全系定理を示すことができて
この公理系はトートロジーの集合と一致することが示せます
一方、ルカシーヴィッツの公理系
（Ｌ１） （¬Ｂ⇒Ｂ）⇒Ｂ
（Ｌ２） Ｂ⇒（¬Ｂ⇒Ｃ）
（Ｌ３） （Ｂ⇒Ｃ）⇒（（Ｃ⇒Ｄ）⇒（Ｂ⇒Ｄ））
も同等の性質を持つ公理系らしいので、完全性定理の証明ができるはずですが
導くのにヒラメキが必要そうで、自分では証明を構成できていません
自分の第一の動機は、ルカシーヴィッツの公理系を出発点にした
完全性定理の証明を見つけたいので、コンピュータを援用したいという動機です
そして、一般の公理系は、適当に３つの公理スキーマを指定して考えることができるので、
適当に３つの公理スキーマが与えられたときに、それが完全性定理を満足するかを
ヒラメキなして自動的に判断するアルゴリズムが必要だろう、というのが第２の動機です
よろしくお願いします
118(1): 2014/03/07(金) 22:56:10.71 AAS
二つの体系S1、S2が同等であることを確かめるには
S1の公理がS2で証明できることと、S1の推論規則がS2の推論を（何回か）使ってできること
S1とS2を入れ替えて上と同じこと
を確かめればよい
119: 107 2014/03/07(金) 23:13:42.15 AAS
(A1)〜(A3) が定理であることが示せれば
それを使って完全性定理を示せ、
逆に完全性定理を示せるなら
(A1)〜(A3) が定理であることが示せるので、
>118 の条件と >117 の条件は同じ意味になると思います
その >118 での確かめるアルゴリズムがあったらいいのですが…
120: 2014/03/08(土) 01:52:42.79 AAS
このスレはちょっと活発そうなので,ここで聞いてみたいんですけど,
公理的集合論･数理論理学･証明論･モデル理論と 代数･幾何･解析を扱う方の数学をまたぐ分野ってありますか？
そういう分野,研究にかなり興味あるんですけど。
数学基礎論の理論を代数･幾何･解析の土俵で扱うことが出来るような研究にも興味あります(逆も勿論興味あります)
何で現在,こんなにも｢情報数理と純粋数学｣って住み分けが進んでいるんだろうなっていう気分です。
121: 2014/03/08(土) 02:07:45.99 AAS
超準解析はモデル理論の応用
122: 2014/03/08(土) 02:15:11.17 AAS
その言葉聴いた事ある・・・でも知らない・
特殊な微積分を構築するんですか・・
123(1): 2014/03/08(土) 07:21:46.89 AAS
ここに行ってくるんだ
外部ﾘﾝｸ:www.math.wisc.edu
124(1): 2014/03/08(土) 11:38:23.17 AAS
外部ﾘﾝｸ[html]:library.msri.org
MSRI Publications -- Volume 39
Model Theory, Algebra, and Geometry
Edited by Deirdre Haskell, Anand Pillay, and Charles Steinhorn
125: 2014/03/08(土) 12:40:57.03 AAS
>>123,124
詳しい方々どうもです
126: 2014/03/08(土) 12:48:38.78 AAS
MSRIって凄いですな 日本で言えば,京大のリポジトリで過去のRIMS研究集会の講演内容を公開してる感じなのかな
127(1): 2014/03/08(土) 16:26:39.54 AAS
>>107と>>117でだいぶ言ってることが違ってる気がするけど。
>>116までを読む限り、公理系が完全なのは前提みたいな書き方だから
2^n通りを虱潰しに調べりゃ良いじゃないか、ということになる。
なんで命題論理の公理図式は一般に3つだと思うようになったのか知らないけど
その体系の公理図式が3つであるのは偶然で、大した意味は無いよ
メレディスの図式みたいに一個からトートロジーを全て導き出せるようなものもある
ウカシェヴィチの公理系から上の三つを頑張って示すか、
ウカシェヴィチの公理系が完全であることの証明が載ってる文献を探すのが一番近道だと思う。
＞ヒラメキなして自動的に判断するアルゴリズムが必要
そんなアルゴリズムあるのかなあ。そもそも無い可能性もある気がするけど。
128(2): 2014/03/08(土) 17:49:04.92 AAS
>>117
＞ルカシーヴィッツの公理系も同等の性質を持つ公理系らしい
違うと思う
117の公理系では重複する前提を１つにまとめられないと思う
129(1): 2014/03/08(土) 17:55:32.28 AAS
>>128のつづき
例えば(L1)〜(L3)で
（Ａ⇒（Ａ⇒Ｂ））⇒（Ａ⇒Ｂ）
を証明できる？
130: 2014/03/08(土) 20:22:17.65 AAS
>>128-129
129 の命題式は恒真なので、(L1)〜(L3) から証明できると思ってました
自分のネタ元は
Elliott Mendelson 『Introduction to Mathematical Logic, 5th ed.』
の
Exercise 1.58
で
"Prove that a wf B of L is provable in L if and only if B is a tautology."
とあります
131: 2014/03/08(土) 20:35:07.14 AAS
>>127
＞ >>107と>>117でだいぶ言ってることが違ってる気がするけど。
＞ >>116までを読む限り、公理系が完全なのは前提みたいな書き方だから
＞ 2^n通りを虱潰しに調べりゃ良いじゃないか、ということになる。
とすると、>115 のアルゴリズムはまだ自分では把握できていないのですが、
上記のような考え方でのアルゴリズムになるんですかね？
＞ ウカシェヴィチの公理系から上の三つを頑張って示すか、
＞ ウカシェヴィチの公理系が完全であることの証明が載ってる文献を探すのが一番近道だと思う。
確かに目の前のエクササイズの解答を得るにはそれが良さそうですが、それでも
別の ｎ個の公理図式を与えた場合はどうか、また別の…、というふうに
いくらでも問うことができて、そのたびに解くためにヒラメキが必要とされるのであれば
一般的に解けたといいにくいなあと思うので
＞＞ヒラメキなして自動的に判断するアルゴリズムが必要
＞ そんなアルゴリズムあるのかなあ。そもそも無い可能性もある気がするけど。
まだ誰も研究テーマにしたことないでしょうか？
132: 2014/03/09(日) 00:00:03.36 AAS
かなり踏み込んだ話題でもレスしてくださる方がいらっしゃるようですが,
じゃあ,私も山本新先生の数学基礎論についても埋めれなかった行間が沢山あるんですが・・・
133: 2014/03/09(日) 01:06:27.21 AAS
別に有名というわけでもない本の題名を挙げられても…
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