集合論について

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195(1): 2014/04/06(日) 20:34:16.61 AAS
>>193
「実数の全体」という限定は必要ないのでは？

なお、可算集合は、選択公理がなくても、整列可能

196: 2014/04/06(日) 20:36:41.60 AAS
>>195 ω_1 のような非加算順序数の場合は？整列順序を、論理式
x∈y∨x＝y で定義できると思うけど。

197: 2014/04/06(日) 20:37:50.99 AAS
「芳しい」というより、「香ばしい」やりとりだな。
自然数の整列性は、自然数の定義にもよるだろうが、
普通の定義、例えばベアノの自然数なら、証明できる。
その上で、整列順序の存在は、
可算集合と自然数集合との全単射の存在と同値。
可算選択は、数学的帰納法に過ぎない。

198: 2014/04/06(日) 20:39:02.27 AAS
>>190
自然演繹の∃除去の規則を思い出せば分かると思うんだけど。

199: 2014/04/06(日) 20:42:57.01 AAS
＞可算選択は、数学的帰納法に過ぎない。
可算整列は、数学的帰納法に過ぎない。
の間違い？

200: 2014/04/06(日) 20:43:03.91 AAS
集合論の根幹を覆す主張がされてるなw

201: 2014/04/06(日) 20:58:40.92 AAS
190はそもそも、fが消えるとか自然演繹とか、意味わかっとらんのやろ

202: 2014/04/06(日) 21:06:39.40 AAS
>>183
可算選択公理 axiom of countable choice ってのは
A_n≠φ（n∈ω）のとき選択函数 f : N→∪A_n で f(n) ∈ A_nとなるものが存在する、
という主張のことを言うと思うんだけど。

外部ﾘﾝｸ:www.google.co.jp

可算集合が整列できないなんていう変な主張のことじゃないよ。

一個以上あるものから一個を取り出すだけなら
（具体的なものを取れるかどうかは分からないけど）選択公理は要らない。

203(1): 2014/04/06(日) 21:12:01.55 AAS
選択関数の存在に選択公理が要らないとな

204: 2014/04/06(日) 21:16:21.36 AAS
>>203
だからそれ（存在量化された命題から、一つの実例を選び出す）は選択関数じゃないっての
選択公理とは、「存在量化された命題から、一つの実例を選び出す」という操作を無限回行えることを保証する公理

205: 2014/04/06(日) 21:20:20.28 AAS
「存在量化された命題から、一つの実例を選び出す」という操作を無限回　　しかも一括で　　行えることを保証する公理

と言った方がいいかも

206: 2014/04/06(日) 21:21:32.37 AAS
選択函数ってのは
空でない集合の族 F = {A_i} (i∈I), A_i ≠φがあったときに
f(i)∈A_i となるような函数
（つまり A_i たちからそれぞれ要素 f(i) をチョイスする函数）
のことを言う、という風に定義されてると思うけど。

選択函数とか或る集合が可算であるとか、可算選択公理とかの
定義を確認した方が良いと思う。

207: 2014/04/06(日) 21:42:22.59 AAS
与えられた集合 X の整列順序を ZFC の具体的な論理式で書き下してくれとか、
与えられた、空でない集合族 (A_i)_{i∈I} (A_i ≠ φ)の
選択関数を具体的に構成してくれとか、そういう要求でないのかな？

208: 2014/04/06(日) 22:07:51.00 AAS
そういう具体的に～ってできるの？

209: 2014/04/06(日) 22:13:21.67 AAS
たとえば、実数の全体の整列順序関係を、ZFC + GCH 内で具体的な論理式で
書き下すことが不可能なことは、すでに知られているよ。

210: 2014/04/06(日) 22:14:55.10 AAS
>>192
バナッハタルスキの件も、「具体的には整列しようがない」非可算集合を整列しちゃう
ところから生じているの？

211: 2014/04/06(日) 22:56:53.37 AAS
代表元が取り出せることだったような。まあ同じことか

212: 2014/04/06(日) 23:29:06.35 AAS
ZFCZFCZFC

213: 2014/04/07(月) 01:22:10.73 AAS
バナッハ・タルスキーは、体積が違う球体が作れてしまうのが
選択公理のせいではないことは分かっている

214: 2014/04/07(月) 04:03:21.91 AAS
今までの議論ざっくり見ましたが,大学2,3年生ぐらいの議論という事ですか?
曖昧な表現や思い込み･勘違いな表現が多数見受けられましたが。

215(1): 2014/04/07(月) 07:04:16.99 AAS
単に定義について勘違いをしてた人が居ただけ
まああまり高度なポイントではなくて
きちんと本に書いてある定義に則って話をするかどうかということだけど

216(1): 2014/04/07(月) 07:07:01.78 AAS
選択公理→ハーンバナッハ→バナッハタルスキ
だから、選択公理のせいではないとは言えない

217: 2014/04/07(月) 07:42:16.27 AAS
Banach-Tarskiの定理そのものはACが無いと証明できないけど
同じようにパラドクシカルな定理がAC無しに示せるので、
ACの関わっている部分はかなり微妙な部分になる
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.pnas.org

218: 2014/04/07(月) 10:22:44.34 AAS
>>215
定義の意味についての議論もあるね

219: 2014/04/07(月) 10:24:54.67 AAS
ACがあれば証明されるけどACより弱い定理から導かれるのでACが必要というわけではなくAC無しでも証明できる

220(1): 2014/04/07(月) 10:51:40.77 AAS
具体的にはどう弱い公理よ

221: 2014/04/07(月) 11:25:50.58 AAS
>>220
>>216

222: 2014/04/07(月) 11:39:57.09 AAS
サンクス

223: 2014/04/07(月) 12:21:03.28 AAS
>>183を見る限り、定義の勘違いだけではなさそうだが…
本当は必要ないのに、特別な公理が必要だと思い違いをしてて、こっちの方が深刻

224: 2014/04/07(月) 21:30:48.96 AAS
深刻にならずにやろうぜｗ

225: 2014/04/10(木) 14:04:13.78 AAS
選択公理も含めて、どの公理もその独立性は直感的に明らかだと思うんだが、
独立だと思っていたら実は独立でなかったというような公理はなにかあったの？

226: 2014/04/10(木) 19:16:43.07 AAS
ZF + not ACのモデルの存在は直感的に明らかということでOK？

というか分出公理は置換公理から出て来るとか、
公理同士の依存関係は結構あるよ
分出公理や空集合の存在を除いても確か除いて良い公理があったような

227: 2014/04/10(木) 19:30:17.10 AAS
> ZF + not ACのモデルの存在は直感的に明らかということでOK？
そのつもり。+ ACも + not ACもどちらも直感的に矛盾しそうにない。
> というか分出公理は置換公理から出て来るとか
分出公理と置換公理は、むしろ直感的に等価だと感じる方に属する。

228: 2014/04/10(木) 19:57:13.17 AAS
分出公理から置換公理は出ないから等価というのはおかしいよ。
置換公理の方が遥かに強い。

229(1): 2014/04/10(木) 20:27:58.02 AAS
不用意だった。あなたの言うとおりだ。
ただ、置換公理->分出公理であることは、直感的にもわかりやすいよね。
一方、分出公理!->置換公理であることはオレにはすぐにはわからないのだが

230: 2014/04/10(木) 20:36:40.99 AAS
> 分出公理!->置換公理であること

？

231: 2014/04/10(木) 20:41:57.10 AAS
分出公理から置換公理は出ない

232: 2014/04/10(木) 21:42:15.56 AAS
>>229
累積的階層のR(ω+ω)がZCのモデルになって
置換公理以外は分出も含めて成り立つけど置換公理は満たさない
特に順序数ω＋ωが存在しない

「明らか」という言葉は簡単に証明できると言える場合以外使わない方が無難だと思う

233(1): 2014/04/10(木) 22:18:53.70 AAS
僕は昔集合論を勉強し始まったころ、ZF から AC が証明できると思い込んで、
しかもそれが「直観的にも明らか」だと信じてしまっていた経験がある。

後でゲーデルやコーエンの理論を読んで、じっくり反省しました。

234(1): 2014/04/10(木) 22:31:37.87 AAS
ブルバキの集合論ではACを証明してあるね

235(1): 2014/04/10(木) 22:58:53.31 AAS
ちょっと初歩的な質問をさせて貰いますが,
｢ACがZFから独立である事を証明するには,ZF+￢ACのモデルの存在を言えばいい｣って言うのは何故ですか？

236: 2014/04/11(金) 09:08:21.81 AAS
それだけじゃダメだけどな

237(1): 2014/04/11(金) 09:15:05.52 AAS
>>233
それがあなたなりの根拠があってそう直感したということだったとしたら
おもしろいね。どういう根拠だったか知りたい。少なくとも、￢ACの独立性は
正しく直感していたということなわけだし。

>>234
なにか代わりの公理を入れて？

>>235
完全性定理

238: 2014/04/11(金) 09:48:54.27 AAS
ブルバキのは確かR(x)を満たすxが存在するならその存在するもののうちひとつを表す記号(なければなんでもよい)
τ_xR(x)
があるので、これを用いれば選択関数が簡単に作れてしまうという、半ば反則的な方法をとっていたと思う。

239: 2014/04/11(金) 10:34:19.41 AAS
それは選択関数そのものじゃないの？

240: 2014/04/11(金) 10:57:11.65 AAS
そのものじゃないでしょ。でもすべてのx∈Xについてf(x)≠φならば、選択関数gが
g(x)=τ_y(y∈f(x))
で定義できる。

241(1): 2014/04/11(金) 22:24:32.26 AAS
数理論理学的にはちょっと違うけどね。
たとえば選択公理を認めても選択函数はdefinableなもの
（上で言うところの「具体的」な函数）になるとは
限らないけど、ブルバキのτ（ι記号とも言う）を使。うなら
必ず論理式で具体的に書けるような関数になる

集合論は「明らか」だと思われるようなことに
実は数学的・論理学的にすごく微妙subtleな点があるのが面白さの一つだと思う

242: [0] 2014/04/12(土) 07:59:17.41 AAS
キューネン『集合論』は、集合論の入門書ですか？それとももっとレベルが高いですか？

243: 2014/04/12(土) 08:33:51.39 AAS
レベルが高い入門書です。
何年か前に30年近くぶりに新版が出て内容が一変してます。

244(1): 2014/04/12(土) 09:08:55.59 AAS
ある程度集合論について知識持った方に聞きたいんですけど,
どの学年でどの程度の知識を持っているのが大体の相場なんでしょうか？
例えば, 学部○年で,松坂の集合位相入門の,濃度･順序数をほぼ完璧に理解。○年で,不完全性定理を理解。
修士or博士○年で強制法理解････とか･･

245: 2014/04/12(土) 09:57:40.99 AAS
位相もちゃんとやれよ

246: 2014/04/12(土) 12:19:39.02 AAS
>>241
>集合論は「明らか」だと思われるようなことに
>実は数学的・論理学的にすごく微妙subtleな点があるのが面白さの一つだと思う
それは集合論に限ったことではないと思うのだが、どう？
それに、（これも一般に）微妙な点というのは弱みであることも多い
（むしろふつううはそう）と思うが、どう？

247: 2014/04/14(月) 00:34:27.71 AAS
しかし研究対象がそもそもsubtleに出来ているのなら
それをそのままsubtleに（霊妙に、とでも訳せば良いのか）理解しないといけない。

Einstein曰く、"Subtle is the Lord, but malicious He is not."
神は霊妙ではかりがたい。だが悪意は持たない。

248(4): 2014/04/14(月) 07:56:26.63 AAS
>>237
根拠となったのは、以下の主張です。

ZF の任意の可算モデルを M とします。以下、ZF の論理式A(x_1, ... , x_n)
は M に変数を持つものとして解釈します。M は可算だから、整列可能。従って、
任意の論理式 A(y, x_1, ... , x_n) と M の元の列 a_1, ... , a_n に対し、
A(y, a_1, ... , a_n) なる y∈M が存在すれば、そのような y の最小限を
f(a_1, ... , a_n) とおき、A(y, a_1, ... , a_n) なる y∈M が存在しなければ、
M の最小元を f(a_1, ... , a_n) とおきます。

こうすることによって、M 上の論理式には全てスコーレム関数が定義できるわけで、
M は ZFC のモデルとなります。

従って、M 内で AC は真。したがって、完全性定理より、ZF から AC は証明可能。

この論証の間違いを理解するのに、数ヶ月かかりました（笑）

249: 2014/04/14(月) 17:37:54.29 AAS
様相論理って面白いんですか？
結構体系が別れていて,研究分野としての整理があんまり出来ていない感じがしてるんですけど

250: 2014/04/14(月) 20:18:07.65 AAS
体系に番号や記号もそれぞれ振られているし整理はそれなりにされてると思う。。
ただ一言で様相と言っても我々の言語にはいろいろな種類の様相
（証明可能性、義務、知識、信念、……）があり得るので
そういったことに応じていろんな体系があるという感じに理解すると良いと思う。
唯一のthe 必然性がある訳じゃない。

251: 2014/04/14(月) 21:07:35.27 AAS
>>248
ACを証明するのにACを使ってしまった、ということでしょ？
ここに書かれたことは、あなたにとってACは、それ自身他の論証の根拠として
つい使ってしまうほど自明のことであったということではないの？あなたが
ACを導いた根拠なのではないよね？

252: 2014/04/14(月) 21:26:23.17 AAS
＞ACを証明するのにACを使ってしまった、ということでしょ？
違うような。

ZFの可算モデルを取るときにACを使ってるけど、
「ZFの任意のモデルで～～が成り立つ。よってZF |- ～～」
を示す時にACを使うのは（あまり）問題が無い。

問題なのはMの住人が「Vは可算」だと信じていないといけないような証明になっているということ。

253: 2014/04/14(月) 22:05:53.55 AAS
数か月考えてみるわ

254: 2014/04/23(水) 10:24:05.52 AAS
V=L |- CH は、まあそうだろなと思うが、V=L |- ACの方は、なんでこの二つが
関係するのかと思ってしまうのだが、みなさんはどう？

255: [age] 2014/04/23(水) 14:16:15.81 AA×

256(1): 2014/04/23(水) 21:38:36.54 AAS
論理式を使って定義できるような対象しか存在しないなら
その定義のされ方に着目することで整列順序付けができてもおかしくは無いのかな、
というイメージはあるけど。

257: 2014/04/24(木) 13:53:42.75 AAS
>>256
あっ、そうだね。
私がわからないのは、整列可能性 <-> AC　の方かな？
これもそんなにおかしいことではない？

258: 2014/04/24(木) 19:55:50.83 AAS
→は、考えている集合たちの要素たち全体を整列する。
あとはただ整列順序に関する a の最小要素を選べば（choiceすれば）良い。

←は、まず全体から一つ要素を選んで一番小さい 0 番目の要素とする。
次に残りから一つ要素を選んで（choiceして）その次に小さい 1 番目の要素とする。
次に残りから……
次に残りから一つ要素を選んで ω 番目の要素とする。
次に残りから一つ要素を選んで ω + 1 番目の要素とする。 ……
というのを残りが尽きるまでひたすら繰り返す。アイデアは簡単だが厳密に書くと結構分かりにくくなる。

259(1): 2014/04/24(木) 20:52:34.66 AAS
>←は、まず全体から一つ要素を選んで一番小さい 0 番目の要素とする。
>次に残りから…
こう言うと、これらの操作を順々にやるように聞こえるが、ACではもちろん、
これらの操作を一気に（同時に）やるんだよね。
たしかにアイデアは簡単だ。
なのにその独立性を示すのになんで強制法もようなテクニックがいるの？

260: 2014/04/24(木) 21:02:21.77 AAS
>>259
整列可能性 <-> ACの証明と、ACの独立性証明に、何か関係が？

261: 2014/04/24(木) 23:24:20.17 AAS
うん、それは関係ないとは思うが、
V=Lが独立なら、CHもACも独立なのじゃなかった？
そして、V=Lが独立なのは明らかだろうと思うのだが。

262: 2014/04/25(金) 00:21:26.05 AAS
怪しい表現

264: 2014/04/25(金) 09:33:35.56 AAS
数学において「明らか」とか「自明」という表現は
「あまりにも簡単に証明できるのでバカバカしくて書いてられない」という
意味です。

265: 2014/04/25(金) 11:43:07.77 AAS
「同語反復レベルの簡単」から「天才には簡単」まで

266: 2014/04/25(金) 12:07:12.74 AAS
文脈に応じていろんな明らかがあるよ

267: 2014/04/25(金) 12:16:17.22 AAS
～セミナーにて～
優秀なA君「明らかです」
馬鹿なB君「明らかです」

意味が違う

268: 2014/04/25(金) 14:38:57.25 AAS
日本語を理解できない馬鹿ばっかりなのかな？

269: 2014/04/25(金) 20:19:13.41 AAS
ACの独立性などに比べると不完全性定理は自明な定理だと言っても264には注意されるのかな？

270(1): 2014/04/25(金) 21:05:27.46 AAS
V=L → GCH → ACなので、
ZFからACが導けないなら当然V=Lも導けないが
逆を言うのはかなり困難だと思う。
＞V=Lが独立なら、CHもACも独立なのじゃなかった？
これは何情報？

そもそもACを認めない時点で基数の一般論が
ちょっと工夫しないといけなくなるのでその時点で自明とは言い難い

271(1): 2014/04/27(日) 13:47:36.65 AAS
松坂和雄の整列定理から選択公理を導くところだけど、整列集合にする順序関係
があるとしても、そのうちどれを選ぶのかということを指定するルールを明示しない
限り証明になっていない気がするんだけどあれでいいの？

272(1): 2014/04/27(日) 13:57:37.42 AAS
>>181あたりからの書き込みを追ってみよう
彼と同じ勘違いをしてるみたいだから

273: 2014/04/27(日) 13:59:12.71 AAS
同一人物だろ

274(1): 2014/04/27(日) 14:41:00.77 AAS
Xを集合とし、X上の整列順序全体の集合を X’とする。
整列可能定理とは、任意の集合Xに対してX’≠φが成り立つということ。

選択公理とは、添え字付けられた空でない集合の族(A_λ｜λ∈∧)に対して
Π_λ A_λ ≠ φが成り立つということ。

選択公理を証明するとはすなわち、単にΠ_λ A_λ ≠ φを示すことに他ならない。
Π_λ A_λ ≠ φを示すには、空でない集合YであってY⊂Π_λ A_λを満たすものを
1つ作れば十分である。

添え字付けられた空でない集合の族(A_λ｜λ∈∧)は(∪_λ A_λ)’≠φを満たすとする。
写像 F：(∪_λ A_λ)’→ Π_λ A_λを以下のように定める。
まず、ρ∈(∪_λ A_λ)’を任意に取る。このとき、(∪_λ A_λ, ρ)は整列集合である。
各λ∈∧に対して、f(λ)：＝min A_λとして写像 f ：∧→∪_λ A_λを定める。
ただし、右辺のminは(∪_λ A_λ, ρ)におけるminとする。従って、このfはρごとに定まる。
F(ρ)：＝f として F(ρ) を定義すれば F(ρ)：∧→∪_λ A_λである。
特にF(ρ)∈Π_λ A_λである。ρ∈(∪_λ A_λ)’だったから、以上より
写像 F：(∪_λ A_λ)’→ Π_λ A_λが定義できた。
Y＝{ F(ρ)｜ρ∈(∪_λ A_λ)’}と置けば、(∪_λ A_λ)’≠φにより Y ≠ φ である。
また、F：(∪_λ A_λ)’→ Π_λ A_λにより Y ⊂ Π_λ A_λ である。
従って φ ≠ Y ⊂ Π_λ A_λ となったので、Π_λ A_λ≠φである。以上より、次が言えた。

・添え字付けられた空でない集合の族 (A_λ｜λ∈∧) が (∪_λ A_λ)’≠φを満たすならば、
　Π_λ A_λ ≠ φである。

系：整列可能定理が成り立てば選択公理も成り立つ。

275(1): 271 2014/04/27(日) 14:45:43.56 AAS
>>272
いや、>>270の人が言っている疑問とは違くて、ある集合に適切な順序関係を加えれば整列集合とすることができるので
個々の部分集合から最小値を取り出せる、よってその最小値を取り出す操作を選択関数
とするって証明に書いてある。だけどその際適切な順序関係がたくさんある中からひとつを
選ぶ操作を指定しない限り選択関数を指定していることにならないと思うんだけどどうなんだろ。

276: 275 2014/04/27(日) 14:49:19.48 AAS
>>274
あ、分かった。ありがとう。そうか空でないと言えればそれでいいのか。

277: 2014/04/27(日) 20:05:45.29 AAS
教科書にはそうとしか書いてないはずだけど、
整列可能の定義を何だと思ってたの？

278(2): 2014/04/28(月) 01:29:11.69 AAS
公理論的集合論について予備知識なしで読める本を教えてください。
赤攝也『集合論入門』(ちくま学芸文庫)は古すぎるでしょうか？

279: 2014/04/28(月) 02:04:42.24 AAS
>>278
共立『Q&A数学基礎論入門』
文系学生対象の講義を元にした本らしい
一応ZFの公理系は書いてある

280(2): 2014/04/28(月) 05:14:45.43 AAS
『復刊公理論的集合論』西村敏男・難波完爾 (2013/4/2) 共立出版
この本はどうですか？

281: 2014/04/28(月) 10:23:25.13 AAS
ZF+V=Lの無矛盾性の証明よりZF+not{V=L}の無矛盾性の証明の方がずっと
難しいのね？なぜ？

282: 2014/04/28(月) 11:36:45.33 AAS
それぞれどうやって証明するのか考えたら、難易度の差は歴然だろう

283(1): 2014/04/28(月) 14:36:22.88 AAS
どこが違うからなの？
歴史的には、ZF+not{V=L}の無矛盾性の証明はできることはわかっていたが、
どのように証明するかに手間取ったの？
人間版不完全性定理っていうのはないの？

284: 2014/04/28(月) 16:22:19.89 AAS
「『数学上の問題を解くには方程式書いてコツコツやってもはじまらない。仏の境地に
達すれば何だってスラスラ解けるものだ』。こういう表現だったかどうか正確ではないが
確か（岡潔）先生はそういう意味のことをおっしゃったと思う」

--- 広中平祐

285: [age] 2014/04/28(月) 17:44:21.52 AA×

286(1): 2014/04/28(月) 21:48:52.72 AAS
>>280 283
赤さんの本は公理的集合論の本ではないけど、
公理的な集合論を勉強する前に学部レベルの
素朴集合論の本の内容を身につけた方が効率が良いと思う
（ついでに言うと一階述語論理は先に勉強するに越した事は無い）。

難波完爾先生の本は独特な味がある本だけど、初学者には難しい。

正直な所、Kunenを読む一歩手前の人に適当だと言えるような
水準の本は日本語ではなかなか無い。
「ゲーデルと20世紀の論理学」シリーズの四巻第一章が割とそれに近いか。

287(1): 2014/04/28(月) 21:52:44.05 AAS
上のレスのアンカーは>>278 >>280の間違い

>>283
具体的に構成したり定義したり出来るような対象は
必ずLに含まれるので、V=Lとその否定のどちらが正しそうかと
集合論の知識の無い非専門家の数学者に聞くと、
V=Lが成り立つ方が尤もらしいと答える人が多い。

V=Lの無矛盾性は、実際にLの要素の集まりを考えて
それがZF+V=Lのモデルになっていることを示すだけで良いけど、
その否定の無矛盾性はその種のVを削るような方法では示せず、
モデルを拡大する操作が必要になる。

288: 2014/04/29(火) 01:43:02.27 AAS
>>286
>赤さんの本は公理的集合論の本ではないけど、
>公理的な集合論を勉強する前に学部レベルの
>素朴集合論の本の内容を身につけた方が効率が良いと思う
>（ついでに言うと一階述語論理は先に勉強するに越した事は無い）。

えっと、よくわからないですが、赤さんの文庫本は「学部レベルの素朴集合論の本」ではないんですね？
別の本で「学部レベルの素朴集合論」をやるべきということですね？具体的な書名をおしえてください。

289: 2014/04/29(火) 12:53:55.74 AAS
公理論的集合論の本じゃないけど
学部レベルの素朴集合論の本だとは言っても良いんじゃないの？
このレベルの本はどれも大して優劣は無いからどれでも気にいった本で良いよ。

日本語の本で
諸定義、集合に関するブール演算、選択公理、濃度、順序数、
という順序で基本的なことを解説するパターンの本はどれでもほぼ同じ。

290: 2014/04/29(火) 20:12:32.06 AAS
>>287の前半
>集合論の知識の無い非専門家の数学者に聞くと、
>V=Lが成り立つ方が尤もらしいと答える人が多い。
それは違うのじゃないかな？一般人（非専門家）はむしろ「世界は具体的
に構成したり定義したり出来るような対象だけとは限らないだろう」と
考えて、not{V=L}はあり得ることと考えるのではないか？「V=Lだ！」
とも言わないだろうが。つまり、一般人は、V=Lとnot(V=L)のどちらも
あり得ることだと直感しているのじゃないかな？

291: 2014/04/30(水) 11:57:41.41 AAS
無矛盾性（独立性）を示すのに、モデルの存在を示すという方法でなく、
syntacticalにやる方法を書いたものってなにかありますか？

292(1): 2014/04/30(水) 20:56:21.74 AAS
証明論の順序数解析の本とかにはそういう証明があるよ
たとえば新井敏康の数学基礎論の第八章（証明論の章）には
集合論KPの無矛盾性の統語論的証明がある

293: 2014/04/30(水) 21:06:35.91 AAS
>>292
ありがとうございます。見てみます。（モデルの有無だけでは、なぜ無矛盾
なのかはわかりにくいと思ったので）

294(1): 2014/05/01(木) 00:23:17.13 AAS
モデルが存在するならば無矛盾というのは
健全性定理という一つの定理

295: 2014/05/01(木) 07:58:11.74 AAS
>>294
完全性定理ですね。それはわかっているのですが、
私が「なぜ」と言ったのは、「どういうしくみ・理由で」無矛盾なのかを知りたい
という意味でした。モデルの存在からは、「とにかく無矛盾」としかわからないと
思うので。

296: 2014/05/01(木) 08:07:27.46 AAS
間違えました。健全性でした。

297: 2014/05/01(木) 21:07:07.92 AAS
どういうも何も、定義上
M |- not φ は M |- φの否定と同値だから
矛盾した理論を解釈するモデルがあったら
意味論のレベルで矛盾律（Aかつnot Aとはならない）が
破綻してしまう。だから
矛盾律 ⇒ 矛盾した理論にはモデルは無い i.e. モデルがあるなら無矛盾
としか言いようがない気がする。

298(1): 2014/05/01(木) 22:24:07.38 AAS
集合論の公理系に限らず、およそ公理系を設定する人は、まあ間違うこと
なく無矛盾で独立な公理系を設定するものだ。
そのとき彼らは必ずしもモデルの存在を確認してそれらの公理系を設定する
わけではないだろう（たとえばユークリッドも）。
ということは、モデルの存在というのは力ずくの最終確認手段に過ぎず、
無矛盾性や独立性を察知するもっと早い方法があるということなのじゃ
ないかな？

299: 2014/05/01(木) 23:00:16.90 AAS
集合論の公理が独立？

300(2): 2014/05/02(金) 01:05:46.05 AAS
フレーゲが最初に定義した述語論理の体系は矛盾していた。
チャーチの論理定数を含むラムダ計算の体系も矛盾していたため
数学の基礎付けに使おうという元の目的は達しなかった。
ラインハルト基数も矛盾していることが分かった対象の例。
およそ公理系を設定する人は～というのは何を根拠に言ってるのか。

証明論的に無矛盾を示すためには、可算順序数で整列順序が複雑なものを
表記法を工夫して相当テクニカルに示さないといけないので
モデルを構成するよりも難しくて面倒で「もっと早い方法」とは到底言えない。

301: 2014/05/02(金) 01:53:49.43 AAS
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302(1): 2014/05/02(金) 09:17:05.88 AAS
>>300
まあ間違わないと言っただけで、間違う場合もあるでしょう。
それに、フレーゲ、チャーチの場合は（ラインハルトは知らないが）、
公理系の矛盾と言うより、言語そのものに内在したパラドクスと言うべきと
思うのだが。
3次元空間で4つの基底を指定されたときにはすぐに独立でないと察知できる
わけだが、公理系の場合も或る程度それに似たことができるのではないかな？
少し前に議論されていたACなんかも、ACを一見しただけで、ZFからはそれ
（あるいはその否定）が出てくるはずはないと察知できるよね？

303: 2014/05/02(金) 12:34:04.31 AAS
独りよがりの暴走が始まる

304: 2014/05/02(金) 12:55:03.74 AAS
哲厨はこれだから

305: 2014/05/02(金) 12:58:00.50 AAS
>3次元空間で4つの基底を指定されたときにはすぐに独立でないと察知できる
さすがクズ哲はあたまいいねー

306: 2014/05/02(金) 13:11:47.00 AAS
数学を学ばないやつってある意味無敵

307: 2014/05/02(金) 13:32:33.95 AAS
なんかウヨウヨわいてきたな

308: 2014/05/02(金) 14:29:42.87 AAS
2chｽﾚ:math

309: 2014/05/02(金) 15:56:03.76 AAS
集合論を勉強しようというわけでもないのに集合論のテクニカルな部分を知りたがる

まともではない

310: 2014/05/02(金) 21:31:12.78 AAS
＞公理系の矛盾と言うより、言語そのものに内在したパラドクス
述語論理のような論理学や言語の部分も公理や推論規則を立てて
形式的に扱うべきだ、というのがツェルメロ・フレンケル・スコーレムや
ゲーデル・ノイマン以後の集合論の考え方。
そうしないと、「きっと独立に違いない」とただ信じることは出来ても独立性を証明することはできない。

＞公理系の場合も或る程度それに似たことができるのではないかな？
「或る程度」、多少はね。ただモデルがあるかどうかはっきりせず、
意味論を後から考えないといけないような場合には一般には難しい。

311(3): 2014/05/02(金) 21:32:44.59 AAS
＞ACを一見しただけで、ZFからはそれ
＞（あるいはその否定）が出てくるはずはないと察知できるよね？
じゃあ例えば>>248や
2chｽﾚ:math の疑問にすぐに答えられる？
ここは集合論を勉強する上で初学者がかなり引っ掛かりやすいポイントで、
でも個人的にはかなり微妙で面白い部分だと思う。

実際にそういう察知が出来てればカントルはあんなに苦労してなかったはずだし、
（カントルやツェルメロの時代の数学者は>>>302に比べてバカばかりだったとでも言わない限り）
ツェルメロの公理系の選択公理に対する否定的反応も起こらなかったはず。
それにヒルベルトの23問題の第1問題は連続体仮説だけど、彼や当時のその他大勢の数学者は
連続体仮説が集合論の公理系から証明も否定もできない、という可能性は
あまり深刻に考えてなかったはずだよ。
それとも連続体仮説は証明できそうに思えても仕方ないが選択公理はそうではない、
と言えるに足る理由が何かある？

歴史をあまり知らないと後知恵で当然だと思ってしまうことも、
知識が無い段階でいざ証明しようとすると全く自明でないことがしばしばある。

ニュートン曰く、" If I have seen further it is by standing on ye sholders of Giants."
私がより遠くまで見渡せたとするならば、それは巨人の肩の上に乗っていたからだ。
"Dicebat Bernardus Carnotensis nos esse quasi nanos, gigantium humeris insidentes,
ut possimus plura eis et remotiora videre, non utique proprii visus acumine,
aut eminentia corporis, sed quia in altum subvenimur et extollimur magnitudine gigantea."
Bernard de Chartres(12C)

312: 2014/05/06(火) 08:17:04.64 AAS
>>248
>ZF の任意の可算モデルを M とします。...
>従って、M 内で AC は真。したがって、完全性定理より、ZF から AC は証明可能。
ここは単に、Mが「任意のモデル」でないので完全性定理を適用できないだけではないの？

313(1): 2014/05/06(火) 11:51:04.33 AAS
そこはレーヴェンハイム・スコーレムの下降定理から
非可算でACが成立しないモデルがあったら
可算でACが成立しないモデルも取れるから良いんじゃないの？

314(2): 2014/05/06(火) 17:59:38.53 AAS
>>313
ゆっくり言ってくれる？

315: 2014/05/06(火) 21:02:01.43 AAS
>>314
日本語はまだ苦手なの？

316(1): 2014/05/06(火) 21:42:40.15 AAS
>>314
L-S-下降定理:
　言語 L 上の理論 T の任意のモデル M は
　濃度κ = max(|L|, ω)の初等部分構造 N ＜ M を持つ。
　（とくにNとMは全ての閉論理式の真偽が同じになる。）

ZFの言語は可算だからκはアレフ0になる。

だから>>248の最初の文は
「ZFの任意のモデルをM'とし、その可算な初等部分構造を M とします。」
とすれば、最後の部分も
「したがって M 内でACは真、したがって M' 内でACは真、したがって、完全性定理より」
とすれば通用する。
まあその間の部分に間違いがあるから結局ダメなんだけど。

317: 2014/05/06(火) 22:12:52.18 AAS
モデルの濃度については、可算モデルの範囲でのみ考えていいんだよ。
完全性定理の証明を読んだことがあるならば、判るはずだ。

318: 2014/05/06(火) 22:21:02.71 AAS
あ、ZF について言えばね。

319: 2014/05/07(水) 23:53:49.21 AAS
わしらスコーレムのパラドックスからしてよう分からん
モデルの内外って分かりにくいわ

320: 2014/05/08(木) 12:45:18.95 AAS
モデルの内外なんて難しいことを考えるとわからなくなるよ（教科書には
そう書いてあるものが多いが）。
無限公理とベキ集合公理を満足するモデルを空集合から始めて地道に構成
して行ってみればわかるよ。

321: 2014/05/08(木) 12:56:17.36 AAS
>>316
>「ZFの任意のモデルをM'とし、その可算な初等部分構造を M とします。」
ここでACを使っていないの？

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