[過去ﾛｸﾞ] 集合論について (615ﾚｽ)
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110(1): 2014/02/28(金) 15:41:52.96 AAS
ゲーデル数の小さい定理から順に自動生成するアルゴリズムとか？
111: 107 2014/02/28(金) 16:34:36.53 AAS
スレ違いスンマセン
論理学スレはどれも荒れていて
こちらのスレの雰囲気が良かったので
そういうようなアルゴリズムがあったら教えて
あるいは、関連する研究があったら教えて
という意図での質問でした
誰かしら研究はされてるはずと思っているのですがなかなか見つからない
ゲーデル数を使ったアルゴリズムは読んでいる教科書で軽くスケッチされているけど
細かい部分がよくわからないのでレシピがあったら読みたい
たぶん直接的に組むと指数関数的爆発だろうから
素人目には枝刈りのやり方とか研究のしがいがありそうな気が
112: 2014/03/01(土) 01:39:26.64 AAS
>>110
"順に"っていうならゲーデル数で考えたくなりますけど,ゲーデル数は理屈上の概念であって
実用上あんな巨大な数はまず計算が間に合わないでしょうから っていうのが私の印象
113: 2014/03/01(土) 01:51:08.20 AAS
変数記号を無限個 {x1、x2、x3、x4、……} 用意するんじゃなくて
{x'、x''、x'''、x''''、……} で代用してコード化すると有限文字（N文字）しか要らないから、
それぞれの文字を0〜N-1と対応させてそのまま読むと
m文字の論理式はN進法でm桁のゲーデル数を対応させられる。
つまり N^m くらいしか要らない。
スマリヤンの本にあるゲーデル数化の方法だけど
m文字以下の論理式はある定数c、kに対してc^(m/k)程度はあるから、
このコード化は割と良い線言ってると思うよ。
114: 2014/03/01(土) 02:35:52.36 AAS
それって,ｍを固定した時の議論に過ぎない気がします
115(1): 2014/03/05(水) 11:46:52.07 AAS
WangのアルゴリズムでLKの証明は作れるから
LKとヒルベルトスタイルの同等性の証明をじっと見つめれば
116(2): 107 2014/03/05(水) 20:56:52.52 AAS
Wang のほうの資料は見つかったけど
同等性のほうの参考文献みつけられません…
同等性はセマンティクスを経由せずに証明できますか？
Deduction Theorem や完全性定理を仮定せずに証明できそうですか？
３つの公理スキーマについては、どの３種類を選ぶかは固定しておりませんが
その手法はそれでも適用できそうですか？
117(4): 107 2014/03/07(金) 22:24:34.33 AAS
セマンティクスを経由しないでという意味が分かりづらかったので説明します
３つの公理スキーマ
（Ａ１） Ｂ⇒（Ｃ⇒Ｂ）
（Ａ２） （Ｂ⇒（Ｃ⇒Ｄ））⇒（（Ｂ⇒Ｃ）⇒（Ｂ⇒Ｄ））
（Ａ３） （¬Ｃ⇒¬Ｂ）⇒（（¬Ｃ⇒Ｂ）⇒Ｃ）
とＭＰからなる公理系から出発すると、Deduction定理などを経由して完全系定理を示すことができて
この公理系はトートロジーの集合と一致することが示せます
一方、ルカシーヴィッツの公理系
（Ｌ１） （¬Ｂ⇒Ｂ）⇒Ｂ
（Ｌ２） Ｂ⇒（¬Ｂ⇒Ｃ）
（Ｌ３） （Ｂ⇒Ｃ）⇒（（Ｃ⇒Ｄ）⇒（Ｂ⇒Ｄ））
も同等の性質を持つ公理系らしいので、完全性定理の証明ができるはずですが
導くのにヒラメキが必要そうで、自分では証明を構成できていません
自分の第一の動機は、ルカシーヴィッツの公理系を出発点にした
完全性定理の証明を見つけたいので、コンピュータを援用したいという動機です
そして、一般の公理系は、適当に３つの公理スキーマを指定して考えることができるので、
適当に３つの公理スキーマが与えられたときに、それが完全性定理を満足するかを
ヒラメキなして自動的に判断するアルゴリズムが必要だろう、というのが第２の動機です
よろしくお願いします
118(1): 2014/03/07(金) 22:56:10.71 AAS
二つの体系S1、S2が同等であることを確かめるには
S1の公理がS2で証明できることと、S1の推論規則がS2の推論を（何回か）使ってできること
S1とS2を入れ替えて上と同じこと
を確かめればよい
119: 107 2014/03/07(金) 23:13:42.15 AAS
(A1)〜(A3) が定理であることが示せれば
それを使って完全性定理を示せ、
逆に完全性定理を示せるなら
(A1)〜(A3) が定理であることが示せるので、
>118 の条件と >117 の条件は同じ意味になると思います
その >118 での確かめるアルゴリズムがあったらいいのですが…
120: 2014/03/08(土) 01:52:42.79 AAS
このスレはちょっと活発そうなので,ここで聞いてみたいんですけど,
公理的集合論･数理論理学･証明論･モデル理論と 代数･幾何･解析を扱う方の数学をまたぐ分野ってありますか？
そういう分野,研究にかなり興味あるんですけど。
数学基礎論の理論を代数･幾何･解析の土俵で扱うことが出来るような研究にも興味あります(逆も勿論興味あります)
何で現在,こんなにも｢情報数理と純粋数学｣って住み分けが進んでいるんだろうなっていう気分です。
121: 2014/03/08(土) 02:07:45.99 AAS
超準解析はモデル理論の応用
122: 2014/03/08(土) 02:15:11.17 AAS
その言葉聴いた事ある・・・でも知らない・
特殊な微積分を構築するんですか・・
123(1): 2014/03/08(土) 07:21:46.89 AAS
ここに行ってくるんだ
外部ﾘﾝｸ:www.math.wisc.edu
124(1): 2014/03/08(土) 11:38:23.17 AAS
外部ﾘﾝｸ[html]:library.msri.org
MSRI Publications -- Volume 39
Model Theory, Algebra, and Geometry
Edited by Deirdre Haskell, Anand Pillay, and Charles Steinhorn
125: 2014/03/08(土) 12:40:57.03 AAS
>>123,124
詳しい方々どうもです
126: 2014/03/08(土) 12:48:38.78 AAS
MSRIって凄いですな 日本で言えば,京大のリポジトリで過去のRIMS研究集会の講演内容を公開してる感じなのかな
127(1): 2014/03/08(土) 16:26:39.54 AAS
>>107と>>117でだいぶ言ってることが違ってる気がするけど。
>>116までを読む限り、公理系が完全なのは前提みたいな書き方だから
2^n通りを虱潰しに調べりゃ良いじゃないか、ということになる。
なんで命題論理の公理図式は一般に3つだと思うようになったのか知らないけど
その体系の公理図式が3つであるのは偶然で、大した意味は無いよ
メレディスの図式みたいに一個からトートロジーを全て導き出せるようなものもある
ウカシェヴィチの公理系から上の三つを頑張って示すか、
ウカシェヴィチの公理系が完全であることの証明が載ってる文献を探すのが一番近道だと思う。
＞ヒラメキなして自動的に判断するアルゴリズムが必要
そんなアルゴリズムあるのかなあ。そもそも無い可能性もある気がするけど。
128(2): 2014/03/08(土) 17:49:04.92 AAS
>>117
＞ルカシーヴィッツの公理系も同等の性質を持つ公理系らしい
違うと思う
117の公理系では重複する前提を１つにまとめられないと思う
129(1): 2014/03/08(土) 17:55:32.28 AAS
>>128のつづき
例えば(L1)〜(L3)で
（Ａ⇒（Ａ⇒Ｂ））⇒（Ａ⇒Ｂ）
を証明できる？
130: 2014/03/08(土) 20:22:17.65 AAS
>>128-129
129 の命題式は恒真なので、(L1)〜(L3) から証明できると思ってました
自分のネタ元は
Elliott Mendelson 『Introduction to Mathematical Logic, 5th ed.』
の
Exercise 1.58
で
"Prove that a wf B of L is provable in L if and only if B is a tautology."
とあります
131: 2014/03/08(土) 20:35:07.14 AAS
>>127
＞ >>107と>>117でだいぶ言ってることが違ってる気がするけど。
＞ >>116までを読む限り、公理系が完全なのは前提みたいな書き方だから
＞ 2^n通りを虱潰しに調べりゃ良いじゃないか、ということになる。
とすると、>115 のアルゴリズムはまだ自分では把握できていないのですが、
上記のような考え方でのアルゴリズムになるんですかね？
＞ ウカシェヴィチの公理系から上の三つを頑張って示すか、
＞ ウカシェヴィチの公理系が完全であることの証明が載ってる文献を探すのが一番近道だと思う。
確かに目の前のエクササイズの解答を得るにはそれが良さそうですが、それでも
別の ｎ個の公理図式を与えた場合はどうか、また別の…、というふうに
いくらでも問うことができて、そのたびに解くためにヒラメキが必要とされるのであれば
一般的に解けたといいにくいなあと思うので
＞＞ヒラメキなして自動的に判断するアルゴリズムが必要
＞ そんなアルゴリズムあるのかなあ。そもそも無い可能性もある気がするけど。
まだ誰も研究テーマにしたことないでしょうか？
132: 2014/03/09(日) 00:00:03.36 AAS
かなり踏み込んだ話題でもレスしてくださる方がいらっしゃるようですが,
じゃあ,私も山本新先生の数学基礎論についても埋めれなかった行間が沢山あるんですが・・・
133: 2014/03/09(日) 01:06:27.21 AAS
別に有名というわけでもない本の題名を挙げられても…
134: 2014/03/09(日) 03:20:02.50 AAS
あぁ・・有名じゃないのか・・・
中身は結構いいんですけどね・・・
135: 2014/03/09(日) 19:58:11.72 AAS
質問の仕方次第
136: 2014/04/01(火) 02:12:29.10 AAS
無限公理として ∃y(φ∈y∧∀x(x∈y→x∪{x}∈y)) を採用した場合、
∃y(φ∈y∧∀x(x∈y→{x}∈y)) は証明できますか？
137: 2014/04/01(火) 02:39:15.45 AAS
置換公理があれば可能、なければ
ZC（ZFC - 置換公理 + 分出公理）では不可能
138: 2014/04/01(火) 03:18:46.38 AAS
そうですか、安心しました
ありがとうございます
139: 2014/04/01(火) 15:00:34.74 AAS
可能である事を主張するのは,証明図を見つけたらいいだけいい一方,,
不可能である事を主張するのって大分困難だと思ってるんですが,
それをささっとレスして凄いですね。
140: 2014/04/01(火) 15:04:00.48 AAS
質問文を読んでから問題を検討したわけでもあるまいに
ささっとレスすることの何が凄いのだろうか
141(1): 2014/04/01(火) 21:12:47.16 AAS
最近公理的集合論の勉強を始めたばかりなのですが、
整列可能性と可算性の関係はどういう関係なのでしょうか？同じに見えるのですが。
また、選択公理の独立性は話題になるのに、置換公理や無限公理など他の公理の
独立性が話題になることが余りないのは何故なのでしょうか？
142(2): 2014/04/01(火) 23:10:36.51 AAS
割と有名な教科書にそのまま載ってます。
片方が成り立ってもう片方が成り立たないモデルを作れば良い。
>>141
可算⇒整列可能は成り立つけど
整列可能⇒可算は成り立たない。
実際、ちょっと厳密じゃない言い方になるけど
可算な整列順序の順序型の全体は整列可能だけど
ω＝aleph_0の次の基数になる。
置換公理や無限公理の独立性は選択公理より遥かに簡単に示せます。
これも丁寧に書いた教科書なら大抵載ってます。
143: 2014/04/02(水) 02:06:44.02 AAS
ZFCの各公理の独立性の証明では,ACの独立性の証明が一番難しいんですか?
144(1): 2014/04/02(水) 20:15:28.26 AAS
>>142
ありがとうございます。
可算でないのに整列可能ということがあり得るということですが、どうもよく
わかりません。非可算な集合を整列するとき、最初の可算部分を整列させた後、
残りの非可算の部分をどうやって整列させるのでしょうか？
ところで、無矛盾性や独立性を示すには、モデルの存在によって示すしか他に方法は
方法はないのでしょうか？モデルを持ち出さずに直接？示すことはできないのでしょうか？
また、モデルが矛盾するということはないのでしょうか？
145: 2014/04/02(水) 21:44:12.03 AAS
>>144
松坂の｢集合･位相入門｣の整列可能定理見ればいいと思う
146: 2014/04/02(水) 22:58:02.79 AAS
144は任意の非可算集合を整列させることを問題にしているけど
142で言っているのは非可算な整列集合が存在するということだけで、
後者を示すだけなら選択公理みたいなものは使わない。
無矛盾性について言えば、
証明を形式的に分析して0=1に至る証明が存在しないことを
何らかの方法で示すという証明論的方法もあるにはある。
正直あまり実用的な感じではないけど。
あとは教科書読んで勉強して下さい
147(1): 2014/04/03(木) 15:40:43.86 AAS
>142で言っているのは非可算な整列集合が存在するということだけで、
>後者を示すだけなら選択公理みたいなものは使わない。
実数の集合がその例ですね。非可算かつ自然な順序関係によって整列される
148(1): 2014/04/03(木) 18:28:01.78 AAS
>>147
> 実数の集合がその例ですね。非可算かつ自然な順序関係によって整列される
？
149: 2014/04/03(木) 18:48:18.89 AAS
整列の定義も知らんみたいね
150: 2014/04/03(木) 21:29:54.80 AAS
まあ取り敢えずは教科書で整列順序の定義を確認しよう
151(1): 2014/04/04(金) 20:31:23.75 AAS
>>148
そうか、０以上の実数の集合、としても駄目ですね。
じゃあ、非可算な整列集合ってどういうものだろう？
整列って変な性質ですね
152: 2014/04/04(金) 20:47:11.41 AAS
変に見えるから選択公理にいちゃもんつける人がまだまだいるんだろう
153(1): 2014/04/04(金) 22:53:16.63 AAS
選択公理はどこが変なのでしょうか？無限公理が変だと思わないように
選択公理も全然変だと思わないですけどね。
整列の方は、可算でもなく単なる全順序でもないという、なんだか変な
感じがするけど。
154: 2014/04/04(金) 23:39:15.03 AAS
147みたく教科書も読んでない人みたいなレスだな
155: 2014/04/04(金) 23:49:09.46 AAS
整列可能定理よりもZornの補題の方が遥かに「成り立ってそうな感じ」がする
156: 2014/04/05(土) 02:25:50.34 AAS
選択公理 ⇔ 整列可能定理 ⇔ ツォルンの補題
157: 2014/04/05(土) 03:07:01.43 AAS
>>153
選択公理の帰結や、選択公理と同値な命題を色々眺めてれば何か悟るんじゃね？
158: 2014/04/05(土) 04:44:42.62 AAS
選択公理が変だと思う奴はあまりいないだろ
選択公理から出る結果が変だと思うから選択公理も疑われるだけ
有名なのはバナッハ・タルスキーの定理だな
159: 2014/04/05(土) 08:26:10.40 AAS
濃度をまともに扱いたければ結局選択公理に頼るしかなくなるから大抵は悟ることになる。
160: 2014/04/05(土) 12:48:31.25 AAS
>>151
たしかに変なことが起きるのは非可算な整列集合のときだけかもしれん
可算集合の場合はいくら選択公理を適用してもおかしなことは起きんのじゃないかな
161: 2014/04/05(土) 13:38:50.39 AAS
選択公理そのものは認めずに、可算選択や従属選択に制限してADつけ加えるとかもあるけど、実数を扱うならちゃんとした選択公理が欲しい。
たとえばRを、差が有理数な時同値という同値関係〜で類別した時に、従属選択ぐらいではR/〜の濃度がRの濃度より大きくなったりしてしまう。
162: 2014/04/06(日) 00:35:26.00 AAS
＞R/〜の濃度がRの濃度より大きくなったりしてしまう
それはバナッハ・タルスキーの定理よりもよっぽど気持ち悪いですね
163: 2014/04/06(日) 00:40:03.52 AAS
ここはお前の日記帳だ
164: 2014/04/06(日) 00:41:49.70 AAS
え、何か気に障ることを書いてしまいましたか
165: 2014/04/06(日) 00:57:32.19 AAS
集合論が終わったのは全部ラッセルのせいらしいな
166: 2014/04/06(日) 02:09:43.26 AAS
虚数集合の行列演算は可能でしょうか？
167: 2014/04/06(日) 02:11:01.99 AAS
私は掛け算ができません
168: 2014/04/06(日) 10:36:34.63 AAS
ラッセルが、１足づつある靴下（左右の区別がつかない）の集合から片方を
一つづつ選んだ選択集合は作れないだろうという主旨のことを言っているが、
なんでつくれないんだっけ？
169: 2014/04/06(日) 11:08:33.83 AAS
写像というのは定義域のすべての要素に対してそれぞれ値がただひとつ決まらなければならない。重要なのは順に決めるんじゃなく、一気に全部決まる必要があること。写像は集合の一種。
脚が有限組なら、もちろん具体的に指示して前から順に靴下を選べばよい。終われば一気に決めたのと実質同じだから。しかし、無限組ある場合、このような具体的な指示ではいつまでも対応づけは終わらない。一気に決めた状態に辿り着くことはない。
無限にあっても前の組までの対応から次の組の対応が決まるならそれは具体的な指示だから値は決められるかもしれない。可算選択や従属選択が比較的嫌われないのはそのあたりにあるわけで、その意味で靴下のたとえはあまり適切ではないかも。
また、靴なら右を選ぶという具体的な指示ですべて一気に選べるだろう。
しかし、たとえば無限組の脚がぐちゃぐちゃな配置で前から並んでいない虫で、ペアとなる脚の組から靴下をひとつずつ選ぶ時、適当な指示を与える有効な手段は無いかもしれない。となると、一気に決まると断言することはできない。
選択公理はそれができると断言することにあたる。
170: 2014/04/06(日) 11:28:18.61 AAS
選択公理は、「そういう写像が在る」ということを主張しているだけで、
「そういう写像が決まる」ことを言ってるのじゃないから、ラッセルの
例は、選択公理に対する反例（というのかな）にはならないのでは？
171: 2014/04/06(日) 11:52:46.06 AAS
ラッセルのは反例というよりは、じゃあこの場合は本当に選択関数はあるの？という問いかけでしょう。あるというなら具体的に示して、と。
ヒルベルトの「神学」や、カントールの実無限に対する批判を見れば感じると思うけど、20世紀に抽象数学が発達する以前は具体的手段がないのに選択ができるというのは数学者のスタンダードから外れていた。
まだ選択公理批判が始まった頃はその感覚は相当残っていたんじゃないかと。
172: 2014/04/06(日) 11:54:36.43 AAS
互いに素な（空でない）集合からなる（空でない）集合 から代表元を選び出すことの喩え
左右の区別がつかないので、一斉に左を選ぶというような方法で代表元を指定することはできない
173: 2014/04/06(日) 11:55:55.92 AAS
急にポエム化が進んだな
174(1): 2014/04/06(日) 11:58:12.67 AAS
おまえさんにはこれがポエムに見えるのか…
175: 2014/04/06(日) 12:00:02.49 AAS
可算集合の場合はいくら選択公理を適用してもおかしなことは起きんのじゃないかな
176(1): 2014/04/06(日) 12:09:37.12 AAS
整列してあれば当然問題ないけどそのような構造を与えてない怪しい可算集合なら安心できないというのもひとつの考え方。
177: 2014/04/06(日) 12:12:04.46 AAS
>>174
完成された現代数学しか見てなきゃこんなもんだと思うよ。
178: 2014/04/06(日) 12:40:09.79 AAS
ラッセルの靴下の例は選択公理の理解に有用だけど
「虚数集合」とか良く分からない用語を勝手に自分流で使ったりするのはアレだね
しかも集合論の話っぽくないし
179: 2014/04/06(日) 12:44:05.45 AAS
行列を習ったばかりの高校生が、複素係数の行列も考えられるのでしょうか？
という趣旨の質問をしたと解釈
180: 2014/04/06(日) 14:40:40.82 AAS
>>176
自然な整列ができない可算集合があるということ？
181(1): 2014/04/06(日) 15:41:58.79 AAS
可算ということは自然数全体の集合からの1対1ontoな写像はあるはずだから、それを具体的に与えれば整列できるはず。ただ、写像がある、というだけだと、具体的には整列しようがない。
182(1): 2014/04/06(日) 18:18:59.77 AAS
全単射があれば整列順序は得られるし
具体的な全単射があれば具体的な整列順序が得られるというだけの話じゃないの
183(2): 2014/04/06(日) 18:35:34.96 AAS
>>182
>全単射があれば整列順序は得られるし
それができるというのがまさしく可算選択公理なわけで。つい当たり前と思ってしまうが、自明からはほど遠い話。
184: 2014/04/06(日) 18:59:06.26 AAS
Xが可算集合であるとは全単射f:X→Nが存在することであり、
x, y∈X に対してx≦y⇔f(x)≦f(y)と定義すると(X,≦)は順序集合となり、fは順序同型写像。
ゆえに(X,≦)は整列集合である。
これだとどこか間違ってるの？
185: 2014/04/06(日) 19:18:19.83 AAS
具体的な全単射が指定されていればそれで整列できるが、全単射があるというだけではそのように順序を与えることができない。
186: 2014/04/06(日) 19:29:17.01 AAS
んん？？
そうなのか？
Xが可算集合であるとは∃f(fはXからNへの全単射)のことであり、
x, y∈X に対してx≦y⇔f(x)≦f(y)と定義すると(X,≦)は順序集合となり、fは順序同型写像。
ゆえに(X,≦)は整列集合である。
したがってXは整列可能な集合である(変数fは消えた)。
上の論証でも、Nが整列集合であることの証明でも、選択公理を使っていない。
187: 2014/04/06(日) 19:40:29.06 AAS
非可算無限ある全単射: X→N から一個の f を取り出すのはまさに選択公理でしょう
188(1): 2014/04/06(日) 19:48:48.12 AAS
それは選択公理ではなく、ヒルベルトのchoice operatorというやつなのでは。
不定にchoiceされたfは最終的に消えるので「可算集合は整列可能である」は証明できたことになると思う。
189: 2014/04/06(日) 20:06:02.05 AAS
何度繰り返しても選択公理を使ってないと思い込んでしまうくらい勘違いしやすいということだな。
190(2): 2014/04/06(日) 20:15:35.89 AAS
>>188
fが消えるのと同時に X の順序を決める ≦ も消えてんだよ
191: 2014/04/06(日) 20:17:33.68 AAS
非常に芳しいやりとりだ。
192(2): 2014/04/06(日) 20:24:37.47 AAS
非可算集合は、選択公理のもとでも、整列可能だが、「具体的には整列
しようがない」のね？
193(1): 2014/04/06(日) 20:30:21.36 AAS
>>192 実数の全体について言えば、その種の言明は正しい。
194: 2014/04/06(日) 20:33:23.45 AAS
>>190
最終的な結論は「Xは整列可能である」、つまり∃R[ (X,R)は整列集合) ]だよ。
Rはただの束縛変数。
何の問題もないと思うけど。
195(1): 2014/04/06(日) 20:34:16.61 AAS
>>193
「実数の全体」という限定は必要ないのでは？
なお、可算集合は、選択公理がなくても、整列可能
196: 2014/04/06(日) 20:36:41.60 AAS
>>195 ω_1 のような非加算順序数の場合は？整列順序を、論理式
x∈y∨x＝y で定義できると思うけど。
197: 2014/04/06(日) 20:37:50.99 AAS
「芳しい」というより、「香ばしい」やりとりだな。
自然数の整列性は、自然数の定義にもよるだろうが、
普通の定義、例えばベアノの自然数なら、証明できる。
その上で、整列順序の存在は、
可算集合と自然数集合との全単射の存在と同値。
可算選択は、数学的帰納法に過ぎない。
198: 2014/04/06(日) 20:39:02.27 AAS
>>190
自然演繹の∃除去の規則を思い出せば分かると思うんだけど。
199: 2014/04/06(日) 20:42:57.01 AAS
＞可算選択は、数学的帰納法に過ぎない。
可算整列は、数学的帰納法に過ぎない。
の間違い？
200: 2014/04/06(日) 20:43:03.91 AAS
集合論の根幹を覆す主張がされてるなw
201: 2014/04/06(日) 20:58:40.92 AAS
190はそもそも、fが消えるとか自然演繹とか、意味わかっとらんのやろ
202: 2014/04/06(日) 21:06:39.40 AAS
>>183
可算選択公理 axiom of countable choice ってのは
A_n≠φ（n∈ω）のとき選択函数 f : N→∪A_n で f(n) ∈ A_nとなるものが存在する、
という主張のことを言うと思うんだけど。
外部ﾘﾝｸ:www.google.co.jp
可算集合が整列できないなんていう変な主張のことじゃないよ。
一個以上あるものから一個を取り出すだけなら
（具体的なものを取れるかどうかは分からないけど）選択公理は要らない。
203(1): 2014/04/06(日) 21:12:01.55 AAS
選択関数の存在に選択公理が要らないとな
204: 2014/04/06(日) 21:16:21.36 AAS
>>203
だからそれ（存在量化された命題から、一つの実例を選び出す）は選択関数じゃないっての
選択公理とは、「存在量化された命題から、一つの実例を選び出す」という操作を無限回行えることを保証する公理
205: 2014/04/06(日) 21:20:20.28 AAS
「存在量化された命題から、一つの実例を選び出す」という操作を無限回 しかも一括で 行えることを保証する公理
と言った方がいいかも
206: 2014/04/06(日) 21:21:32.37 AAS
選択函数ってのは
空でない集合の族 F = {A_i} (i∈I), A_i ≠φがあったときに
f(i)∈A_i となるような函数
（つまり A_i たちからそれぞれ要素 f(i) をチョイスする函数）
のことを言う、という風に定義されてると思うけど。
選択函数とか或る集合が可算であるとか、可算選択公理とかの
定義を確認した方が良いと思う。
207: 2014/04/06(日) 21:42:22.59 AAS
与えられた集合 X の整列順序を ZFC の具体的な論理式で書き下してくれとか、
与えられた、空でない集合族 (A_i)_{i∈I} (A_i ≠ φ)の
選択関数を具体的に構成してくれとか、そういう要求でないのかな？
208: 2014/04/06(日) 22:07:51.00 AAS
そういう具体的に〜ってできるの？
209: 2014/04/06(日) 22:13:21.67 AAS
たとえば、実数の全体の整列順序関係を、ZFC + GCH 内で具体的な論理式で
書き下すことが不可能なことは、すでに知られているよ。
210: 2014/04/06(日) 22:14:55.10 AAS
>>192
バナッハタルスキの件も、「具体的には整列しようがない」非可算集合を整列しちゃう
ところから生じているの？
211: 2014/04/06(日) 22:56:53.37 AAS
代表元が取り出せることだったような。まあ同じことか
212: 2014/04/06(日) 23:29:06.35 AAS
ZFCZFCZFC
213: 2014/04/07(月) 01:22:10.73 AAS
バナッハ・タルスキーは、体積が違う球体が作れてしまうのが
選択公理のせいではないことは分かっている
214: 2014/04/07(月) 04:03:21.91 AAS
今までの議論ざっくり見ましたが,大学2,3年生ぐらいの議論という事ですか?
曖昧な表現や思い込み･勘違いな表現が多数見受けられましたが。
215(1): 2014/04/07(月) 07:04:16.99 AAS
単に定義について勘違いをしてた人が居ただけ
まああまり高度なポイントではなくて
きちんと本に書いてある定義に則って話をするかどうかということだけど
216(1): 2014/04/07(月) 07:07:01.78 AAS
選択公理→ハーンバナッハ→バナッハタルスキ
だから、選択公理のせいではないとは言えない
217: 2014/04/07(月) 07:42:16.27 AAS
Banach-Tarskiの定理そのものはACが無いと証明できないけど
同じようにパラドクシカルな定理がAC無しに示せるので、
ACの関わっている部分はかなり微妙な部分になる
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.pnas.org
218: 2014/04/07(月) 10:22:44.34 AAS
>>215
定義の意味についての議論もあるね
219: 2014/04/07(月) 10:24:54.67 AAS
ACがあれば証明されるけどACより弱い定理から導かれるのでACが必要というわけではなくAC無しでも証明できる
220(1): 2014/04/07(月) 10:51:40.77 AAS
具体的にはどう弱い公理よ
221: 2014/04/07(月) 11:25:50.58 AAS
>>220
>>216
222: 2014/04/07(月) 11:39:57.09 AAS
サンクス
223: 2014/04/07(月) 12:21:03.28 AAS
>>183を見る限り、定義の勘違いだけではなさそうだが…
本当は必要ないのに、特別な公理が必要だと思い違いをしてて、こっちの方が深刻
224: 2014/04/07(月) 21:30:48.96 AAS
深刻にならずにやろうぜｗ
225: 2014/04/10(木) 14:04:13.78 AAS
選択公理も含めて、どの公理もその独立性は直感的に明らかだと思うんだが、
独立だと思っていたら実は独立でなかったというような公理はなにかあったの？
226: 2014/04/10(木) 19:16:43.07 AAS
ZF + not ACのモデルの存在は直感的に明らかということでOK？
というか分出公理は置換公理から出て来るとか、
公理同士の依存関係は結構あるよ
分出公理や空集合の存在を除いても確か除いて良い公理があったような
227: 2014/04/10(木) 19:30:17.10 AAS
> ZF + not ACのモデルの存在は直感的に明らかということでOK？
そのつもり。+ ACも + not ACもどちらも直感的に矛盾しそうにない。
> というか分出公理は置換公理から出て来るとか
分出公理と置換公理は、むしろ直感的に等価だと感じる方に属する。
228: 2014/04/10(木) 19:57:13.17 AAS
分出公理から置換公理は出ないから等価というのはおかしいよ。
置換公理の方が遥かに強い。
229(1): 2014/04/10(木) 20:27:58.02 AAS
不用意だった。あなたの言うとおりだ。
ただ、置換公理->分出公理であることは、直感的にもわかりやすいよね。
一方、分出公理!->置換公理であることはオレにはすぐにはわからないのだが
230: 2014/04/10(木) 20:36:40.99 AAS
> 分出公理!->置換公理であること
？
231: 2014/04/10(木) 20:41:57.10 AAS
分出公理から置換公理は出ない
232: 2014/04/10(木) 21:42:15.56 AAS
>>229
累積的階層のR(ω+ω)がZCのモデルになって
置換公理以外は分出も含めて成り立つけど置換公理は満たさない
特に順序数ω＋ωが存在しない
「明らか」という言葉は簡単に証明できると言える場合以外使わない方が無難だと思う
233(1): 2014/04/10(木) 22:18:53.70 AAS
僕は昔集合論を勉強し始まったころ、ZF から AC が証明できると思い込んで、
しかもそれが「直観的にも明らか」だと信じてしまっていた経験がある。
後でゲーデルやコーエンの理論を読んで、じっくり反省しました。
234(1): 2014/04/10(木) 22:31:37.87 AAS
ブルバキの集合論ではACを証明してあるね
235(1): 2014/04/10(木) 22:58:53.31 AAS
ちょっと初歩的な質問をさせて貰いますが,
｢ACがZFから独立である事を証明するには,ZF+¬ACのモデルの存在を言えばいい｣って言うのは何故ですか？
236: 2014/04/11(金) 09:08:21.81 AAS
それだけじゃダメだけどな
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