[過去ﾛｸﾞ] 集合論について (615ﾚｽ)
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51: 2013/11/30(土) 13:10:05.34 AAS
集合論とか意味不だわ
後期も単位落としそうでつらい
52: 2013/11/30(土) 17:20:38.34 AAS
単位とか言ってる時点でだめだ
死んだほうがいいよ
53(1): 2013/11/30(土) 19:16:04.59 AAS
>>46
助かります！
便利な情報はもっと目立って存在してくれればいいのにと思う
54: 2013/11/30(土) 19:32:58.91 AAS
>>49
数学の体系を「この公理を採用したらこれが演繹できる」っていうペアの平等な寄せ集め
と見るならばそうかもしれないけれども、
現実の"数"の性質をどれだけ忠実に表現しているかっていう視点で
公理系を見ることには意味があると思うんです
55: 2013/11/30(土) 19:35:46.55 AAS
そういうことは「公理を定めてどんどん演繹して」いかないとわからないよ
もちろん、現実の"数"の性質について知るためには、現実の数学について知らなければならないし
56: 2013/11/30(土) 20:03:26.49 AAS
>>53
基礎論は無料でテキストが公開されている場合が多いから
洋書なんかは購入前に調べたほうがいいよ
57: 2013/11/30(土) 20:05:23.45 AAS
外部ﾘﾝｸ[html]:klapaucius.web.fc2.com
こういうサイトって他にもあるんですか？
58(1): 2013/11/30(土) 20:32:09.82 AAS
基礎論やるんだったら以下のページはおさえとくべき
集合論の公理詳細
外部ﾘﾝｸ[html]:us.metamath.org
論理体系のリスト
外部ﾘﾝｸ[html]:home.utah.edu
計算量クラスのリストとその図
外部ﾘﾝｸ[html]:www.math.ucdavis.edu
外部ﾘﾝｸ[xml]:www.math.ucdavis.edu
逆数学とかの小型の数学体系とか
外部ﾘﾝｸ[html]:rmzoo.uconn.edu
59: 2013/11/30(土) 21:17:47.76 AAS
>>58さん
ありがとうございますm(_ _)m
60: 2013/12/05(木) 00:19:36.84 AAS
色んな集合論があるもんだなと
外部ﾘﾝｸ:stanford.library.usyd.edu.au
61: 2013/12/08(日) 00:10:18.08 AAS
2chｽﾚ:math
62(1): 2013/12/16(月) 21:15:09.09 AAS
Complexity Zoo とか、種類が多すぎてとても追っかけきれそうもない
どういう態度で臨めばいいんだろう…？
63: 2013/12/27(金) 05:54:12.77 AAS
a?aa?aaaaaaaaa
64: 2013/12/28(土) 11:03:16.00 AAS
>>62
文字通り動物図鑑とか昆虫図鑑を見るような態度ではないですか？
動物や昆虫と違うのは、いくらでも人工的に新種を作り出せることですが。
65: 裁判負一声会さくら接骨院親分歌代英二 2013/12/28(土) 12:52:09.17 AAS
qaz
66(1): 2014/01/05(日) 06:40:16.83 AAS
素人なんだけど純粋な疑問がある
空集合って「任意の集合の部分集合」なんだろ？
それで居て空集合は「内部に何も含まない」だろ？
?∋?なのか？ ???なの？
どっちなのか分からない
67: 2014/01/05(日) 06:46:52.30 AAS
空集合は空集合を「含む」のか「含まない」のか
68(1): 2014/01/05(日) 06:53:32.25 AAS
空集合は元を含まないので、空集合が空集合の部分集合であっても矛盾しない。
69(1): 2014/01/05(日) 06:57:37.64 AAS
|A|=|B|=0 のとき、A=B だから、A⊆B、B⊆A はどちらも真
70(1): 2014/01/05(日) 15:20:39.47 AAS
>>66 集合をビニール袋だと思え。
空集合は何も中身が入っていないビニール袋だ。
x∈A はAという集合にxが含まれている。
A⊂B は集合Bが集合Aを覆う。（含む含まないという言葉を使わない方が理解しやすい）
BがAを覆うというのは、Bの袋から要素を取り除くという操作をしたかもしくは何も操作しないときに
Aにできるということ。
空集合は空集合を覆う。（φ⊂φ）
これは、何もないビニール袋に何も操作しなければなにもないビニール袋のままであるということ。
71: 2014/01/05(日) 16:23:23.73 AAS
>>68-70
ここまで丁寧に答えていただけるとは
脳みそのムズムズが取れてスッキリしました
72: 2014/01/30(木) 10:57:19.45 AAS
初コメです。
集合論・数理論理学ガチでやりたいんですけど,不完全性定理終えた今からどの分野やったらいいんですかね?
キューネンの独立性証明の集合論にも興味ありますし,様相論理にも興味あるし,・・・
山本新の｢数学基礎論｣は最後までやったほうがいいのかな
73: 2014/01/30(木) 19:05:06.45 AAS
自分の好きな分野をやればいいんじゃないの
74: 2014/01/30(木) 21:58:43.73 AAS
やりたい分野を片っ端からやるしかないでしょ
75: 2014/01/30(木) 23:25:46.85 AAS
自分がやりたいと思うものをやれば善し
それを人に聞くのはナンセンス
76(1): 2014/01/31(金) 01:50:36.01 AAS
了解
今一番興味あるのは,｢巨大基数の集合論｣ですけど,結構なハイレベルな気がします。
前提知識はどの位いるのかな？
77(1): 2014/01/31(金) 03:18:57.97 AAS
最低ラインは田中の公理的集合論をソラで再現できること
78(2): 2014/01/31(金) 16:20:35.11 AAS
とある場所で
「対角線論法は間違ってる！
なぜなら実数は無限小数ではないからだ
無限小数は全ての桁が確定しないから数ではない
自然数と実数は１対１対応”し続けられる”」
と吠えてるヤツがいるんだが
実数の完備性（コーシー列の収束）は否定してないらしいが
完備性から非可算性も導かれることが全然分かってない
どうにかならんかね？
79: 2014/01/31(金) 16:26:50.41 AAS
害がないなら珍獣の生態観察をして楽しむのがよろし
80(1): 2014/01/31(金) 19:31:49.39 AAS
>>76
二回の反復強制法と多少のモデル理論が分かってれば良い
KunenじゃなくてJechで勉強した、というパターン以外は
キューネンより先にその本読むのはほぼ無理だと思うよ
81: 2014/02/01(土) 00:01:01.59 AAS
0.999・・・≠1 のやつだろ
82: 2014/02/01(土) 00:15:08.43 AAS
>>78
クロネッカー？
83: 2014/02/01(土) 00:45:47.75 AAS
直観主義の解析学でしょ
84: 2014/02/01(土) 01:15:55.15 AAS
>>77,80
あざっす
それにしても,公理的集合論,数理論理学を自主勉強でやってきた物だから,
自分がどの程度出来ているor出来ていないのかがわからない
85: 2014/02/01(土) 18:03:01.22 AAS
自主勉強の教材の命題を自力で証明できたらその教材は修了
でいいんじゃない？
86: 2014/02/04(火) 16:49:16.95 AAS
>>78
非主流だけど、何人も指摘しているがそういう考えもあるからどうしようもないｗ
87: 2014/02/04(火) 17:16:47.27 AAS
直観主義解析学でいうところの「実数」は通常の意味での実数とはまったく別物だから注意してね
88: 2014/02/04(火) 20:45:56.80 AAS
√2やπが実数であることも認めないのかな？
89: 2014/02/04(火) 21:50:50.40 AAS
直観主義なら認めるだろ
90: 2014/02/05(水) 14:33:13.85 AAS
「πなどという数は存在しない」と言った数学者がいたとか
91: 2014/02/05(水) 22:06:12.48 AAS
クロネッカーの主張は直観主義というよりはもっと過激な有限主義に近い
92: 2014/02/06(木) 00:30:44.88 AAS
自然数は存在するけど負の数や有理数は存在しない、というのは
ちょっと過激すぎるよねえ
まあ、体をなさずモノイドにしかならない自然数は軽視されがちだから
その点はありがたいけど
93: 2014/02/08(土) 19:06:33.73 AAS
田中の公理的集合論をそらで復唱できるぐらいになるっていうのは修士レベル?
公理的集合論辺りでは,
どの程度出来て学部4年・修士・博士レベルっていうか知りたいんですけど・・・
94(1): 2014/02/08(土) 19:13:02.30 AAS
1回述語論理の完全性定理の証明抑えて学部3年ぐらい,不完全性定理の証明まで
そらで言えるようになって学部4年or修士1年じゃないのかなぁって
個人的には思ってるんですが。
それと,公理的集合論を深くやる人は,数理論理学は
どの程度抑えておいたほうがいいのかも教えて欲しいです
自然数論の無矛盾性の証明は是非抑えておきたいと思いつつも
全然手を付けていないっていう事もあります・・
95: 2014/02/08(土) 19:14:54.74 AAS
がんばれ
96: 2014/02/08(土) 20:09:17.48 AAS
素早いレスちょっとワロタ
このスレ逐一見てる人いるんですな
97: 2014/02/08(土) 21:06:53.43 AAS
>>94
証明は覚えるもんじゃないけどなｗ
あと「抑える」じゃなく「押さえる」な
98: 2014/02/10(月) 02:00:20.42 AAS
急にレスがなくなりましたね
99: 2014/02/15(土) 00:23:06.79 AAS
何か急にレスがなくなりましたね
2月8日まではあったのに
100: 2014/02/16(日) 16:52:56.34 AAS
形式主義を意識しながら圏論を勉強していきたいのですけど,
BGの公理系を学んだ後に圏論やったら見方がどういう風に変わりますかね？
BGの集合論やBGとZFCの関係について学べる本・論文あれば教えてください。
101: 2014/02/21(金) 01:23:04.67 AAS
おーい
誰か〜
コメントしてよぅ〜
102(1): 2014/02/22(土) 09:10:34.22 AAS
BGの一般存在定理あたりかな。
変数は全て束縛、クラス束縛変数は含まない式Aならクラスとして存在。
系として、任意のZFCの式についてそれを充たすクラスの存在がBGで言える。
公理に関する簡単な議論でZFCで証明できるならBGで証明できる。
でも、ZFCに関するかぎり強さは同等。
BGが書いてある本ならほとんど書いているはず。
倉田令二朗、篠田寿一公理的集合論の初めの方など
圏論の見方がどう変わるかはわからない。
クラスに意識はすると思うが。
103(1): 2014/02/22(土) 23:08:24.51 AAS
別に大して見方は変わらず、圏論を集合論的に定式化する方法の
一つを学べるだけだよ
104: 2014/02/22(土) 23:48:42.15 AAS
>>102,103
あざっす 近いうちにBG集合論勉強します
105: 2014/02/23(日) 14:48:40.14 AAS
クラスなんて大したもんじゃないよ
集合全体の集まりをＳとすると
クラスというのは２＾Ｓの要素
そのうちもとのＳに対応するものを
除いたのが集合以外の固有クラス
クラスの要素は集合だから
クラスを要素とする集まりは
クラスですらない
106: 2014/02/25(火) 23:27:59.31 AAS
明日の16時39分頃に気をつけて下さい。
日本にも世界にも巨大地震が起きませんように。
皆さんも一緒に祈って下さい。
太陽フレアのＸが発生したそうです。
太陽黒点数の100越えが24日間継続しているようです。
107(6): 2014/02/28(金) 02:35:59.16 AAS
セマンティクスを使わずに
３つの公理スキーマとＭＰだけを使って
命題論理式の証明を自動で導く
アルゴリズムの名前を教えてください
108: 2014/02/28(金) 14:34:21.97 AAS
そんなのあるんだ
っていうか その質問スレ違いでは？
109: 2014/02/28(金) 14:36:25.68 AAS
命題論理が完全であり決定可能であるという証明で使われている手法で定理を生み出していくアルゴリズムとはまた違うアルゴリズムなんですか？
110(1): 2014/02/28(金) 15:41:52.96 AAS
ゲーデル数の小さい定理から順に自動生成するアルゴリズムとか？
111: 107 2014/02/28(金) 16:34:36.53 AAS
スレ違いスンマセン
論理学スレはどれも荒れていて
こちらのスレの雰囲気が良かったので
そういうようなアルゴリズムがあったら教えて
あるいは、関連する研究があったら教えて
という意図での質問でした
誰かしら研究はされてるはずと思っているのですがなかなか見つからない
ゲーデル数を使ったアルゴリズムは読んでいる教科書で軽くスケッチされているけど
細かい部分がよくわからないのでレシピがあったら読みたい
たぶん直接的に組むと指数関数的爆発だろうから
素人目には枝刈りのやり方とか研究のしがいがありそうな気が
112: 2014/03/01(土) 01:39:26.64 AAS
>>110
"順に"っていうならゲーデル数で考えたくなりますけど,ゲーデル数は理屈上の概念であって
実用上あんな巨大な数はまず計算が間に合わないでしょうから っていうのが私の印象
113: 2014/03/01(土) 01:51:08.20 AAS
変数記号を無限個 {x1、x2、x3、x4、……} 用意するんじゃなくて
{x'、x''、x'''、x''''、……} で代用してコード化すると有限文字（N文字）しか要らないから、
それぞれの文字を0〜N-1と対応させてそのまま読むと
m文字の論理式はN進法でm桁のゲーデル数を対応させられる。
つまり N^m くらいしか要らない。
スマリヤンの本にあるゲーデル数化の方法だけど
m文字以下の論理式はある定数c、kに対してc^(m/k)程度はあるから、
このコード化は割と良い線言ってると思うよ。
114: 2014/03/01(土) 02:35:52.36 AAS
それって,ｍを固定した時の議論に過ぎない気がします
115(1): 2014/03/05(水) 11:46:52.07 AAS
WangのアルゴリズムでLKの証明は作れるから
LKとヒルベルトスタイルの同等性の証明をじっと見つめれば
116(2): 107 2014/03/05(水) 20:56:52.52 AAS
Wang のほうの資料は見つかったけど
同等性のほうの参考文献みつけられません…
同等性はセマンティクスを経由せずに証明できますか？
Deduction Theorem や完全性定理を仮定せずに証明できそうですか？
３つの公理スキーマについては、どの３種類を選ぶかは固定しておりませんが
その手法はそれでも適用できそうですか？
117(4): 107 2014/03/07(金) 22:24:34.33 AAS
セマンティクスを経由しないでという意味が分かりづらかったので説明します
３つの公理スキーマ
（Ａ１） Ｂ⇒（Ｃ⇒Ｂ）
（Ａ２） （Ｂ⇒（Ｃ⇒Ｄ））⇒（（Ｂ⇒Ｃ）⇒（Ｂ⇒Ｄ））
（Ａ３） （¬Ｃ⇒¬Ｂ）⇒（（¬Ｃ⇒Ｂ）⇒Ｃ）
とＭＰからなる公理系から出発すると、Deduction定理などを経由して完全系定理を示すことができて
この公理系はトートロジーの集合と一致することが示せます
一方、ルカシーヴィッツの公理系
（Ｌ１） （¬Ｂ⇒Ｂ）⇒Ｂ
（Ｌ２） Ｂ⇒（¬Ｂ⇒Ｃ）
（Ｌ３） （Ｂ⇒Ｃ）⇒（（Ｃ⇒Ｄ）⇒（Ｂ⇒Ｄ））
も同等の性質を持つ公理系らしいので、完全性定理の証明ができるはずですが
導くのにヒラメキが必要そうで、自分では証明を構成できていません
自分の第一の動機は、ルカシーヴィッツの公理系を出発点にした
完全性定理の証明を見つけたいので、コンピュータを援用したいという動機です
そして、一般の公理系は、適当に３つの公理スキーマを指定して考えることができるので、
適当に３つの公理スキーマが与えられたときに、それが完全性定理を満足するかを
ヒラメキなして自動的に判断するアルゴリズムが必要だろう、というのが第２の動機です
よろしくお願いします
118(1): 2014/03/07(金) 22:56:10.71 AAS
二つの体系S1、S2が同等であることを確かめるには
S1の公理がS2で証明できることと、S1の推論規則がS2の推論を（何回か）使ってできること
S1とS2を入れ替えて上と同じこと
を確かめればよい
119: 107 2014/03/07(金) 23:13:42.15 AAS
(A1)〜(A3) が定理であることが示せれば
それを使って完全性定理を示せ、
逆に完全性定理を示せるなら
(A1)〜(A3) が定理であることが示せるので、
>118 の条件と >117 の条件は同じ意味になると思います
その >118 での確かめるアルゴリズムがあったらいいのですが…
120: 2014/03/08(土) 01:52:42.79 AAS
このスレはちょっと活発そうなので,ここで聞いてみたいんですけど,
公理的集合論･数理論理学･証明論･モデル理論と 代数･幾何･解析を扱う方の数学をまたぐ分野ってありますか？
そういう分野,研究にかなり興味あるんですけど。
数学基礎論の理論を代数･幾何･解析の土俵で扱うことが出来るような研究にも興味あります(逆も勿論興味あります)
何で現在,こんなにも｢情報数理と純粋数学｣って住み分けが進んでいるんだろうなっていう気分です。
121: 2014/03/08(土) 02:07:45.99 AAS
超準解析はモデル理論の応用
122: 2014/03/08(土) 02:15:11.17 AAS
その言葉聴いた事ある・・・でも知らない・
特殊な微積分を構築するんですか・・
123(1): 2014/03/08(土) 07:21:46.89 AAS
ここに行ってくるんだ
外部ﾘﾝｸ:www.math.wisc.edu
124(1): 2014/03/08(土) 11:38:23.17 AAS
外部ﾘﾝｸ[html]:library.msri.org
MSRI Publications -- Volume 39
Model Theory, Algebra, and Geometry
Edited by Deirdre Haskell, Anand Pillay, and Charles Steinhorn
125: 2014/03/08(土) 12:40:57.03 AAS
>>123,124
詳しい方々どうもです
126: 2014/03/08(土) 12:48:38.78 AAS
MSRIって凄いですな 日本で言えば,京大のリポジトリで過去のRIMS研究集会の講演内容を公開してる感じなのかな
127(1): 2014/03/08(土) 16:26:39.54 AAS
>>107と>>117でだいぶ言ってることが違ってる気がするけど。
>>116までを読む限り、公理系が完全なのは前提みたいな書き方だから
2^n通りを虱潰しに調べりゃ良いじゃないか、ということになる。
なんで命題論理の公理図式は一般に3つだと思うようになったのか知らないけど
その体系の公理図式が3つであるのは偶然で、大した意味は無いよ
メレディスの図式みたいに一個からトートロジーを全て導き出せるようなものもある
ウカシェヴィチの公理系から上の三つを頑張って示すか、
ウカシェヴィチの公理系が完全であることの証明が載ってる文献を探すのが一番近道だと思う。
＞ヒラメキなして自動的に判断するアルゴリズムが必要
そんなアルゴリズムあるのかなあ。そもそも無い可能性もある気がするけど。
128(2): 2014/03/08(土) 17:49:04.92 AAS
>>117
＞ルカシーヴィッツの公理系も同等の性質を持つ公理系らしい
違うと思う
117の公理系では重複する前提を１つにまとめられないと思う
129(1): 2014/03/08(土) 17:55:32.28 AAS
>>128のつづき
例えば(L1)〜(L3)で
（Ａ⇒（Ａ⇒Ｂ））⇒（Ａ⇒Ｂ）
を証明できる？
130: 2014/03/08(土) 20:22:17.65 AAS
>>128-129
129 の命題式は恒真なので、(L1)〜(L3) から証明できると思ってました
自分のネタ元は
Elliott Mendelson 『Introduction to Mathematical Logic, 5th ed.』
の
Exercise 1.58
で
"Prove that a wf B of L is provable in L if and only if B is a tautology."
とあります
131: 2014/03/08(土) 20:35:07.14 AAS
>>127
＞ >>107と>>117でだいぶ言ってることが違ってる気がするけど。
＞ >>116までを読む限り、公理系が完全なのは前提みたいな書き方だから
＞ 2^n通りを虱潰しに調べりゃ良いじゃないか、ということになる。
とすると、>115 のアルゴリズムはまだ自分では把握できていないのですが、
上記のような考え方でのアルゴリズムになるんですかね？
＞ ウカシェヴィチの公理系から上の三つを頑張って示すか、
＞ ウカシェヴィチの公理系が完全であることの証明が載ってる文献を探すのが一番近道だと思う。
確かに目の前のエクササイズの解答を得るにはそれが良さそうですが、それでも
別の ｎ個の公理図式を与えた場合はどうか、また別の…、というふうに
いくらでも問うことができて、そのたびに解くためにヒラメキが必要とされるのであれば
一般的に解けたといいにくいなあと思うので
＞＞ヒラメキなして自動的に判断するアルゴリズムが必要
＞ そんなアルゴリズムあるのかなあ。そもそも無い可能性もある気がするけど。
まだ誰も研究テーマにしたことないでしょうか？
132: 2014/03/09(日) 00:00:03.36 AAS
かなり踏み込んだ話題でもレスしてくださる方がいらっしゃるようですが,
じゃあ,私も山本新先生の数学基礎論についても埋めれなかった行間が沢山あるんですが・・・
133: 2014/03/09(日) 01:06:27.21 AAS
別に有名というわけでもない本の題名を挙げられても…
134: 2014/03/09(日) 03:20:02.50 AAS
あぁ・・有名じゃないのか・・・
中身は結構いいんですけどね・・・
135: 2014/03/09(日) 19:58:11.72 AAS
質問の仕方次第
136: 2014/04/01(火) 02:12:29.10 AAS
無限公理として ∃y(φ∈y∧∀x(x∈y→x∪{x}∈y)) を採用した場合、
∃y(φ∈y∧∀x(x∈y→{x}∈y)) は証明できますか？
137: 2014/04/01(火) 02:39:15.45 AAS
置換公理があれば可能、なければ
ZC（ZFC - 置換公理 + 分出公理）では不可能
138: 2014/04/01(火) 03:18:46.38 AAS
そうですか、安心しました
ありがとうございます
139: 2014/04/01(火) 15:00:34.74 AAS
可能である事を主張するのは,証明図を見つけたらいいだけいい一方,,
不可能である事を主張するのって大分困難だと思ってるんですが,
それをささっとレスして凄いですね。
140: 2014/04/01(火) 15:04:00.48 AAS
質問文を読んでから問題を検討したわけでもあるまいに
ささっとレスすることの何が凄いのだろうか
141(1): 2014/04/01(火) 21:12:47.16 AAS
最近公理的集合論の勉強を始めたばかりなのですが、
整列可能性と可算性の関係はどういう関係なのでしょうか？同じに見えるのですが。
また、選択公理の独立性は話題になるのに、置換公理や無限公理など他の公理の
独立性が話題になることが余りないのは何故なのでしょうか？
142(2): 2014/04/01(火) 23:10:36.51 AAS
割と有名な教科書にそのまま載ってます。
片方が成り立ってもう片方が成り立たないモデルを作れば良い。
>>141
可算⇒整列可能は成り立つけど
整列可能⇒可算は成り立たない。
実際、ちょっと厳密じゃない言い方になるけど
可算な整列順序の順序型の全体は整列可能だけど
ω＝aleph_0の次の基数になる。
置換公理や無限公理の独立性は選択公理より遥かに簡単に示せます。
これも丁寧に書いた教科書なら大抵載ってます。
143: 2014/04/02(水) 02:06:44.02 AAS
ZFCの各公理の独立性の証明では,ACの独立性の証明が一番難しいんですか?
144(1): 2014/04/02(水) 20:15:28.26 AAS
>>142
ありがとうございます。
可算でないのに整列可能ということがあり得るということですが、どうもよく
わかりません。非可算な集合を整列するとき、最初の可算部分を整列させた後、
残りの非可算の部分をどうやって整列させるのでしょうか？
ところで、無矛盾性や独立性を示すには、モデルの存在によって示すしか他に方法は
方法はないのでしょうか？モデルを持ち出さずに直接？示すことはできないのでしょうか？
また、モデルが矛盾するということはないのでしょうか？
145: 2014/04/02(水) 21:44:12.03 AAS
>>144
松坂の｢集合･位相入門｣の整列可能定理見ればいいと思う
146: 2014/04/02(水) 22:58:02.79 AAS
144は任意の非可算集合を整列させることを問題にしているけど
142で言っているのは非可算な整列集合が存在するということだけで、
後者を示すだけなら選択公理みたいなものは使わない。
無矛盾性について言えば、
証明を形式的に分析して0=1に至る証明が存在しないことを
何らかの方法で示すという証明論的方法もあるにはある。
正直あまり実用的な感じではないけど。
あとは教科書読んで勉強して下さい
147(1): 2014/04/03(木) 15:40:43.86 AAS
>142で言っているのは非可算な整列集合が存在するということだけで、
>後者を示すだけなら選択公理みたいなものは使わない。
実数の集合がその例ですね。非可算かつ自然な順序関係によって整列される
148(1): 2014/04/03(木) 18:28:01.78 AAS
>>147
> 実数の集合がその例ですね。非可算かつ自然な順序関係によって整列される
？
149: 2014/04/03(木) 18:48:18.89 AAS
整列の定義も知らんみたいね
150: 2014/04/03(木) 21:29:54.80 AAS
まあ取り敢えずは教科書で整列順序の定義を確認しよう
151(1): 2014/04/04(金) 20:31:23.75 AAS
>>148
そうか、０以上の実数の集合、としても駄目ですね。
じゃあ、非可算な整列集合ってどういうものだろう？
整列って変な性質ですね
152: 2014/04/04(金) 20:47:11.41 AAS
変に見えるから選択公理にいちゃもんつける人がまだまだいるんだろう
153(1): 2014/04/04(金) 22:53:16.63 AAS
選択公理はどこが変なのでしょうか？無限公理が変だと思わないように
選択公理も全然変だと思わないですけどね。
整列の方は、可算でもなく単なる全順序でもないという、なんだか変な
感じがするけど。
154: 2014/04/04(金) 23:39:15.03 AAS
147みたく教科書も読んでない人みたいなレスだな
155: 2014/04/04(金) 23:49:09.46 AAS
整列可能定理よりもZornの補題の方が遥かに「成り立ってそうな感じ」がする
156: 2014/04/05(土) 02:25:50.34 AAS
選択公理 ⇔ 整列可能定理 ⇔ ツォルンの補題
157: 2014/04/05(土) 03:07:01.43 AAS
>>153
選択公理の帰結や、選択公理と同値な命題を色々眺めてれば何か悟るんじゃね？
158: 2014/04/05(土) 04:44:42.62 AAS
選択公理が変だと思う奴はあまりいないだろ
選択公理から出る結果が変だと思うから選択公理も疑われるだけ
有名なのはバナッハ・タルスキーの定理だな
159: 2014/04/05(土) 08:26:10.40 AAS
濃度をまともに扱いたければ結局選択公理に頼るしかなくなるから大抵は悟ることになる。
160: 2014/04/05(土) 12:48:31.25 AAS
>>151
たしかに変なことが起きるのは非可算な整列集合のときだけかもしれん
可算集合の場合はいくら選択公理を適用してもおかしなことは起きんのじゃないかな
161: 2014/04/05(土) 13:38:50.39 AAS
選択公理そのものは認めずに、可算選択や従属選択に制限してADつけ加えるとかもあるけど、実数を扱うならちゃんとした選択公理が欲しい。
たとえばRを、差が有理数な時同値という同値関係〜で類別した時に、従属選択ぐらいではR/〜の濃度がRの濃度より大きくなったりしてしまう。
162: 2014/04/06(日) 00:35:26.00 AAS
＞R/〜の濃度がRの濃度より大きくなったりしてしまう
それはバナッハ・タルスキーの定理よりもよっぽど気持ち悪いですね
163: 2014/04/06(日) 00:40:03.52 AAS
ここはお前の日記帳だ
164: 2014/04/06(日) 00:41:49.70 AAS
え、何か気に障ることを書いてしまいましたか
165: 2014/04/06(日) 00:57:32.19 AAS
集合論が終わったのは全部ラッセルのせいらしいな
166: 2014/04/06(日) 02:09:43.26 AAS
虚数集合の行列演算は可能でしょうか？
167: 2014/04/06(日) 02:11:01.99 AAS
私は掛け算ができません
168: 2014/04/06(日) 10:36:34.63 AAS
ラッセルが、１足づつある靴下（左右の区別がつかない）の集合から片方を
一つづつ選んだ選択集合は作れないだろうという主旨のことを言っているが、
なんでつくれないんだっけ？
169: 2014/04/06(日) 11:08:33.83 AAS
写像というのは定義域のすべての要素に対してそれぞれ値がただひとつ決まらなければならない。重要なのは順に決めるんじゃなく、一気に全部決まる必要があること。写像は集合の一種。
脚が有限組なら、もちろん具体的に指示して前から順に靴下を選べばよい。終われば一気に決めたのと実質同じだから。しかし、無限組ある場合、このような具体的な指示ではいつまでも対応づけは終わらない。一気に決めた状態に辿り着くことはない。
無限にあっても前の組までの対応から次の組の対応が決まるならそれは具体的な指示だから値は決められるかもしれない。可算選択や従属選択が比較的嫌われないのはそのあたりにあるわけで、その意味で靴下のたとえはあまり適切ではないかも。
また、靴なら右を選ぶという具体的な指示ですべて一気に選べるだろう。
しかし、たとえば無限組の脚がぐちゃぐちゃな配置で前から並んでいない虫で、ペアとなる脚の組から靴下をひとつずつ選ぶ時、適当な指示を与える有効な手段は無いかもしれない。となると、一気に決まると断言することはできない。
選択公理はそれができると断言することにあたる。
170: 2014/04/06(日) 11:28:18.61 AAS
選択公理は、「そういう写像が在る」ということを主張しているだけで、
「そういう写像が決まる」ことを言ってるのじゃないから、ラッセルの
例は、選択公理に対する反例（というのかな）にはならないのでは？
171: 2014/04/06(日) 11:52:46.06 AAS
ラッセルのは反例というよりは、じゃあこの場合は本当に選択関数はあるの？という問いかけでしょう。あるというなら具体的に示して、と。
ヒルベルトの「神学」や、カントールの実無限に対する批判を見れば感じると思うけど、20世紀に抽象数学が発達する以前は具体的手段がないのに選択ができるというのは数学者のスタンダードから外れていた。
まだ選択公理批判が始まった頃はその感覚は相当残っていたんじゃないかと。
172: 2014/04/06(日) 11:54:36.43 AAS
互いに素な（空でない）集合からなる（空でない）集合 から代表元を選び出すことの喩え
左右の区別がつかないので、一斉に左を選ぶというような方法で代表元を指定することはできない
173: 2014/04/06(日) 11:55:55.92 AAS
急にポエム化が進んだな
174(1): 2014/04/06(日) 11:58:12.67 AAS
おまえさんにはこれがポエムに見えるのか…
175: 2014/04/06(日) 12:00:02.49 AAS
可算集合の場合はいくら選択公理を適用してもおかしなことは起きんのじゃないかな
176(1): 2014/04/06(日) 12:09:37.12 AAS
整列してあれば当然問題ないけどそのような構造を与えてない怪しい可算集合なら安心できないというのもひとつの考え方。
177: 2014/04/06(日) 12:12:04.46 AAS
>>174
完成された現代数学しか見てなきゃこんなもんだと思うよ。
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