数学の原理を発見した (19ﾚｽ)
数学の原理を発見した http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1749452582/
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1: １３２人目の素数さん [] 2025/06/09(月) 16:03:02.27 ID:1rvvZppX 以下、nは自然数の値を取るとする。 (1) P: ∀n, p(n)は、Pが正しいなら、n=1, 2, ...の場合を試しても永久に証明できない (2) P: ∃n, p(n)は、Pが正しいなら、有限回で証明が終わる 数学の証明で非自明なものは、大別すればこの2パターンしかない。 (1)を証明するには、無限回の証明を有限回で行う道具が必要になる。たとえば、数学的帰納法など。 (2)を証明するには、問題から一部の情報を取り出す必要がある。たとえば、剰余をとるなど。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1749452582/1
2: １３２人目の素数さん [] 2025/06/09(月) 16:20:52.19 ID:eNAFN9sl (1) たとえば、1 + 2 + ... + n = n (n + 1)/2 を証明したいとする。 n = 1, 2, ... の場合をすべて確かめても証明できないが、数学的帰納法を使うと、有限のステップで無限個のケースを証明できる。 極限に関する定理や、コンパクト性などの有限性に帰着させるもの、普遍性を用いるものなどはこのパターン。 (2) たとえば、a^2 - 3b^2 = 2を満たす整数の組(a, b)が存在しないことを示したいとする。 これも、(a, b)の組を全部試すわけにはいかない。しかし、両辺を3で割ったあまりを考えれば解ける。 このほか、二つの対象が同型でないことを示すのに不変量を比較したり、別の対象への射を考えてみるなども、このパターン。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1749452582/2
3: １３２人目の素数さん [] 2025/06/09(月) 16:25:58.71 ID:BG1OKxio 数学の証明で「気付き」や「テクニック」が必要なのは、この2パターンしかない。 あとの部分は、定義や仮定を自明に変形しているだけ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1749452582/3
4: １３２人目の素数さん [sage] 2025/06/09(月) 16:32:09.82 ID:kXRlqM7x ど素人か http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1749452582/4
5: １３２人目の素数さん [] 2025/06/09(月) 17:24:04.22 ID:qBe5NCNE ためしに、ヒルベルトの基底定理を見てみる。 以下の補題を使う。 Lemma1: ネーター環R上の有限生成加群はネーター加群 これの証明には以下の補題を使う。 Lemma2: R加群の列 0 → M' → M → M'' → 0 が完全とすると、Mがネーター加群⇔M', M''がネーター加群。 これは簡単に示せる。 Lemma1の証明: M = Σ_{i=1}^n R mi とする。nに関する機能法で示す。 n = 1のときは、M ～ R/ann(m1)なのでネーター。 n-1まで正しいと仮定する。 N = Σ_{i=1}^{n-1} R miとおくと、完全列 0 → N → M → M/N → 0 を得る。Nと、M/N ～ Rmn/N∩Rmnは仮定よりネーターなので、Lemma1よりMもネーター。□ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1749452582/5
6: １３２人目の素数さん [] 2025/06/09(月) 17:27:52.68 ID:qBe5NCNE Theorem: Rがネーター環⇒R[X]はネーター環 証明: I⊂R[X]をイデアルとする。IがR[X]上有限生成であることを示す。 J⊂Rを、Iの多項式の最高次の係数になる元全体とする。JはRのイデアルになる。 Rはネーター環なので、Jはa1, ..., an∈Rで生成される。各i = 1, 2, ..., nに対して、aiを最高次の係数に持つIの元が存在するので、それをfi∈Iとおく。また、d = max{deg(fi)}とする。 f = bX^m + (低次の項)∈Iを任意の多項式とする。もし、m > dなら、b = Σri ai (ri∈R)の形だから、f - Σrifi X^(m-d)の次数はdより小さくなり、しかもIに入る。 つまり、R加群として I = (R + RX + ... + RX^(d-1))∩I + ΣR[X] fi 。 (R + RX + ... + RX^(d-1))はネーター環R上有限生成なので、Lemma1よりネーター加群。よって、そのR部分化群(R + RX + ... + RX^(d-1))∩IもR上有限生成。その生成元とf1, ..., fnを合わせると、IのR[X]上の生成元になる。□ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1749452582/6
7: １３２人目の素数さん [sage] 2025/06/09(月) 17:28:04.10 ID:kXRlqM7x 岡の定理は http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1749452582/7
8: １３２人目の素数さん [] 2025/06/09(月) 17:36:03.42 ID:4zUAdjzJ ヒルベルトの基底定理の非自明な箇所は (1) Lemma1 (2) RのイデアルJの構成 (3) Iをd次未満の部分と、fiで生成される部分の分ける部分 あたりだろう (1)はパターン1, (2), (3)はパターン2だと思う http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1749452582/8
9: １３２人目の素数さん [] 2025/06/09(月) 17:42:22.44 ID:AQZHlnBK 試験問題なんかで出た場合は、たいていパターン2のほうが難しい パターン1は使える道具が限られているから、それで解けるなら数撃てば当たる http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1749452582/9
10: １３２人目の素数さん [] 2025/06/09(月) 17:59:54.52 ID:zpqzNYH0 これなどは典型的なパターン2だと言える。 問題: Gを群とする。Gの指数有限の部分群は指数有限の正規部分群を持つことを示せ。 回答: H⊂Gを指数有限の部分群とする。 GのHによる剰余類の集合 G/H = {H = g1H, g2H, ..., gnH} へのGの作用を (g, giH) = ggiH で定めると、n次対称群Snへの群準同型 φ: G → Sn が得られる。 KerφはGの正規部分群で、準同型定理より、G/Kerφ～Imφ⊂SnなのでKerφは正規部分群。 g∈Kerφなら、gg1H = gH = Hなので、g∈H。よって、Kerφ⊂H。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1749452582/10
11: １３２人目の素数さん [] 2025/06/09(月) 21:59:48.09 ID:nbNzdC9z ああああ 死ねえええええええええええ！！！ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1749452582/11
12: 死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ [] 2025/06/09(月) 22:11:12.09 ID:QMzp+CZ6 死ぬ瞬間 キュブラーロス 死ぬ回数 ソフィーダンテ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1749452582/12
13: １３２人目の素数さん [] 2025/06/09(月) 22:13:42.62 ID:iAMIrvzJ >>3 数学の量化子は∀と∃だけですって話では http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1749452582/13
14: １３２人目の素数さん [] 2025/06/09(月) 22:44:59.02 ID:dJdpB+iF >>13 違う たとえば中間値の定理は、∃だがパターン1 連続体濃度だから http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1749452582/14
15: １３２人目の素数さん [] 2025/06/09(月) 22:49:23.67 ID:DSuothyw だけじゃないけどな http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1749452582/15
16: １３２人目の素数さん [] 2025/06/09(月) 23:01:44.99 ID:qfFxbK2c >>14 ネタ半分に見てたけど このレスで、こいつちゃんと考えてると分かった 旧帝修士くらいの実力はあると見た http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1749452582/16
17: １３２人目の素数さん [sage] 2025/06/09(月) 23:33:40.68 ID:kXRlqM7x 馬鹿 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1749452582/17
18: １３２人目の素数さん [] 2025/06/10(火) 00:20:55.34 ID:QnvT4UmL 憐れだ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1749452582/18
19: １３２人目の素数さん [] 2025/06/10(火) 00:29:39.14 ID:hRIVmbfA Sylowの定理の証明を読んだが、これも群論一般で使える道具が、群作用くらいしかないから、まあべつに空でも思いつけるな http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1749452582/19
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