[過去ﾛｸﾞ] Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 64 (1002ﾚｽ)
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86(6): 2022/01/13(木) 11:18:45 ID:0h1VRMgw(5/7)調 AAS
>>84 追加
>the very small sub-theory of Z^{-} with axioms given by Extensionality, Empty Set and Adjunction.
さらに、ここ原文には、Z^{-}にはリンクが張ってあって、>>77の
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Zermelo set theory (sometimes denoted by Z-)
にとぶ
で、誤解なきよう念のために書くが
”the very small sub-theory of Z^{-}”なので、
上記は Zermelo set theoryの一部ってことですよ
で、ついでに書くと
上記 Zermelo set theoryでは、
”AXIOM VII. Axiom of infinity (Axiom des Unendlichen)
"There exists in the domain at least one set Z that contains the null set as an element and is so constituted that to each of its elements a there corresponds a further element of the form {a}, in other words, that with each of its elements a it also contains the corresponding set {a} as element."”
とあって、無限公理（Axiom of infinity）で、集合Zが存在すると言葉で書かれている
この集合Zは、ドイツ語で数Zahlからで（下記）、自然数の意味ですね
で、Zermeloは、シングルトン{a}を使って、自然数Nができると Axiom des Unendlichenを書いた
これにいろいろ批判があることも、上記リンク内に書いてある
（さらに付言すると、上記Zermeloでは、ω重シングルトン自身は使っていないのです。
その一歩手前で、有限シングルトンを全部集めて自然数Nができるという議論だ
だけど、ω重シングルトンを否定しているわけでもない）
で、”Zermelo allowed for the existence of urelements that are not sets and contain no elements; these are now usually omitted from set theories.”
なんて文もある
おれも最後は、ω重シングルトンで”existence of urelements”かもしれないが、まだそこまで行ってないよね
参考
外部ﾘﾝｸ:de.wikipedia.org
Zahl
(引用終り)
以上
87: 2022/01/13(木) 11:26:06 ID:0h1VRMgw(6/7)調 AAS
>>86 追加
独語の自然数の.wikipedia.があったので、参考に貼っておく
外部ﾘﾝｸ:de.wikipedia.org
Naturliche Zahl
Inhaltsverzeichnis
1 Bezeichnungskonventionen
2 Axiomatisierung
3 Von Neumanns Modell der naturlichen Zahlen
4 Die naturlichen Zahlen als Teilmenge der reellen Zahlen
5 Siehe auch
6 Literatur
(引用終り)
以上
92: 2022/01/13(木) 13:23:52 ID:Q7w9Eui5(6/7)調 AAS
>>86
>and contain no elements
じゃあ1重シングルトンじゃん
{x}のxは元を持たないんでしょ？
93: 2022/01/13(木) 13:30:48 ID:Q7w9Eui5(7/7)調 AAS
>>86
>だけど、ω重シングルトンを否定しているわけでもない
誤 否定していない
正 言及すらしていない
当たり前だよ、自明に非存在だから
君がバカで理解出来ないだけ
103: 2022/01/13(木) 19:47:58 ID:VN40DQWB(6/12)調 AAS
>>86
>ω重シングルトンを否定しているわけでもない
SET Aはω重シングルトンが集合として構成できない
ということが全く理解できないニホンザル
>ω重シングルトンで”existence of urelements”
>かもしれないが、まだそこまで行ってないよね
SET Aは、urelementはω重シングルトンではない、
という初歩的なことが全く理解できないニホンザル
158(5): 2022/01/15(土) 11:27:09 ID:E0wCw7+f(4/17)調 AAS
>>142
>＜双対定理＞
>そう思うのは勝手だがそれで「ω重シングルトン」を否定することは
>できないだろ
>>86 Zermelo set theory (sometimes denoted by Z-) 外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
ここで、Zermelo set theoryで批判されているのは、ノイマン構成に比べてのこと
Zermeloでは、空集合Φ={}から始まって、Φ={},{{}},{{{}}},・・と全ての自然数が出来て
ω(=N)＝{0,1,2,・・}ができるとする（Φ={}→0,{{}}→1,{{{}}}→2,など）
ここから、{ω},{{ω}},{{{ω}}},・・とできるけど、
”In the usual cumulative hierarchy Vα of ZFC set theory (for ordinals α), any one of the sets Vα for α a limit ordinal larger than the first infinite ordinal ω (such as Vω・2) forms a model of Zermelo set theory. So the consistency of Zermelo set theory is a theorem of ZFC set theory. Zermelo's axioms do not imply the existence of ｱﾚﾌω or larger infinite cardinals, as the model Vω・2 does not contain such cardinals. (Cardinals have to be defined differently in Zermelo set theory, as the usual definition of cardinals and ordinals does not work very well: with the usual definition it is not even possible to prove the existence of the ordinal ω2.)”
などと批判されているよね
けれども、「ω重シングルトン」を考えるとき、二つの立場がある
1）公理的に、順次集合を構築して、「ω重シングルトン」に至る
2）公理的に、全ての集合や順序数が構築され、いろんな定義、定理（それは通常の数学の定義や定理も含む）を使って、「ω重シングルトン」をどう理解するか？
この二つは、区別しようね
そして、上記2）の立場だと、
1）に比べて自由度が上がっていることにも注意しようね
314(3): 2022/01/16(日) 23:10:00 ID:e5xijWkZ(20/23)調 AAS
>>304 補足
>>86より 再録(参考)
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Zermelo set theory (sometimes denoted by Z-)
”AXIOM VII. Axiom of infinity (Axiom des Unendlichen)
"There exists in the domain at least one set Z that contains the null set as an element and is so constituted that to each of its elements a there corresponds a further element of the form {a}, in other words, that with each of its elements a it also contains the corresponding set {a} as element."”
とあって、無限公理（Axiom of infinity）で、集合Zが存在すると言葉で書かれている
この集合Zは、ドイツ語で数Zahlからで（下記）、自然数の意味ですね
参考
外部ﾘﾝｸ:de.wikipedia.org
Zahl
(引用終り)
つまり、>>246に書いたが
添え字 n∈N で、
後者関数 suc(an)＝{an}n+1 (つまり、添え字nやn+1は残す)として
0,1,2,・・n,n+1,・・→ω(極限)
0→{}0
1→{{}0}1
2→{{{}0}1}2
・
・
n→{・・{{{}0}1}2・・}n
n+1→{{・・{{{}0}1}2・・}n}n+1
・
・
↓
ω→{・・{{・・{{{}0}1}2・・}n}n+1・・}ω(極限)
という対応になる（一番外にカッコ{}あり）
外のカッコを外すと
・・{{・・{{{}0}1}2・・}n}n+1・・ n∈N（添え字）となる
これが、存在すること、つまり、nが全ての自然数を尽くすことは、ZermeloのAXIOM VII. Axiom of infinity (Axiom des Unendlichen) で認められているのです
だから、これが、Zermelo set theory (sometimes denoted by Z-)の中には、存在するのです
そして、ZFCがZermelo set theoryを包含することを認めるならば、ZFC中にも ・・{{・・{{{}0}1}2・・}n}n+1・・ n∈N（添え字）が存在します
QEDｗ
以上
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