[過去ﾛｸﾞ] Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 64 (1002ﾚｽ)
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528(5): 2022/01/24(月) 10:29:46 ID:4aFH85My(1/5)調 AAS
>>527 補足
スレ主です
選択公理と同値な[ツェルメロの整列可能性定理]によって、任意の集合E上に整列順序が存在する（下記）
整列可能性定理の示すところ、任意の（お好みの）順序で、任意の集合E上に整列順序を構築できる
例えば、実数Rで、好きなr1を取る。残りの集合R＼r1に対して、好きなr2を取る。繰り返すと
抽象的な整列順序列 r1,r2,・・ができる
それ以外の列も可能
例えば、下記の整列集合wikipediaの例と反例をご参照
初項r1が欲しければ、
上記の通り、先にr1を取り出して、後はr1抜きの部分集合で列を考えれば良いだけのこと
逆に、自然数Nとωを加えたN*=N∪{ω}は、整列集合で
1,2,・・,ωとできる。この順序は、通常の不等号<と考えてよいから
1<2<・・<ωとできる。整列可能性定理、即ち選択公理を認めるならば（*）、この順序列の存在は否定できない
(つまり>>7は否定される)
（ *）選択公理は、必要ないと思うが、分かり易く表現した）
（参考）
外部ﾘﾝｸ[html]:ysserve.wakasato.jp
整列可能定理
[ツェルメロの整列可能性定理] 任意の集合E上に整列順序が存在する。
以下に証明を述べます
略
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
整列集合
整列順序付けられた集合または整列集合（せいれつしゅうごう、英: well-ordered set）とは、整列順序を備えた集合のことをいう。ここで、集合 S 上の整列順序関係 (well-order) とは、S 上の全順序関係 "≦" であって、S の空でない任意の部分集合が必ず ≦ に関する最小元をもつものをいう。あるいは同じことだが、整列順序とは整礎な全順序関係のことである。整列集合 (S, ≦) を慣例に従ってしばしば単純に S で表す。
例と反例
自然数の全体 N
（0 を含む）自然数全体の成す集合 N は通常の大小関係 ≦ が整列順序を与える。この整列集合の順序型は ω で表される。さらに、0 でない任意の自然数は唯一の直前元を持つ。
つづく
529(1): 2022/01/24(月) 10:31:44 ID:4aFH85My(2/5)調 AAS
>>528
つづき
N における別な整列順序としては、例えば、どの偶数もどんな奇数よりも小さいものとし、偶数同士あるいは奇数同士では通常の大小関係を適用することで得られる順序
0, 2, 4, 6, 8, …, 1, 3, 5, 7, 9, …
が挙げられる。この順序に関する整列集合の順序型は ω + ω である。任意の元が直後の元を持つ（したがって最大元は存在しない）が、直前の元を持たない元が 0 と 1 の二つ存在する。
整数の全体 Z
自然数の全体に通常の大小関係を考えたものとは異なり、整数全体の成す集合 Z に通常の大小関係 ≦ を考えたものは整列集合ではない。たとえば、負の整数全体の成す集合には最小元が存在しない。
次のような二項関係 R を考えれば、Z を整列集合にすることができる。
ふたつの整数 x, y に対して、xRy となるための必要十分条件は
x = 0;
x が正で y が負;
x, y がともに正で、x ≦ y;
x, y がともに負で |x| ≦ |y|
のうちのいずれか一つが成立することと定める。この関係 R は要するに
0, 1, 2, 3, 4, …, -1, -2, -3, …
となる順序として表すことができる。この整列順序 R に関する整列集合 Z の順序型は順序数 ω + ω に順序同型である。
Z の別な整列順序の例としては、x ≦Z y ⇔ |x| < |y| または [|x| = |y| かつ x ≦ y] として定まる順序 ≦Z が挙げられる。図示すれば
0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, …
である。これは ω を順序型とする整列順序である。
つづく
530: 2022/01/24(月) 10:32:25 ID:4aFH85My(3/5)調 AAS
>>529
つづき
実数からなる集合
正の実数全体の成す集合 R+ に通常の大小関係 ≦ を考えたものは整列順序ではない。
一方、選択公理を含む集合論の ZFC 公理系からは、実数全体の成す集合 R 上の整列順序が存在することが示せる。しかし、ZFC や、一般連続体仮説を加えた体系 ZFC+GCH においては、R 上の整列順序を定義する論理式は存在しない[1]。ただし、R 上の定義可能な整列順序の存在は ZFC と(相対的に)無矛盾である。例えば V=L は ZFC と(相対的に)無矛盾であり、ZFC+V=L ではある特定の論理式が R（実際には任意の集合）を整列順序付けることが従う。
R の非可算部分集合に通常の大小関係を入れたものが整列集合にならないことは、実数直線 R を互いに交わりを持たない区間の和に分割するとき、そのような区間の数が高々可算であることからわかる。
可算無限集合ならば、通常の大小関係 ≦ が整列順序となることも、ならないこともありうる。
(引用終り)
以上
533(1): 2022/01/24(月) 12:05:30 ID:4aFH85My(4/5)調 AAS
>>532
どうもです。スレ主です
＞> 1<2<・・<ωとできる。
＞>この順序列の存在は否定できない
＞だれも否定してないが？
なに食言してんだ？ おサルさんよ！>>7
（>>7より）
”（スレ55 2chｽﾚ:mathより）
＜上昇列 ０＜・・・＜ω が有限列にしかなり得ない
ことも分からん「考えなしの素人」に数学はムリ”
などという
これじゃ。三歳児レベルの知能じゃんかｗ
このおサルには、IUTは百年早いぜｗ（＾＾；
(引用終り) 以上
539: 2022/01/24(月) 18:28:48 ID:4aFH85My(5/5)調 AAS
>>517 補足
>これ、綺麗に解説している人が居る
>必要十分の証明で、前半が背理法、後半が（対偶）なんやね。松坂の巻末に略解があり、同じことを書いているが、下記は丁寧で分かり易い。お見事です
松坂和夫「集合・位相入門」（岩波 1968） 第三章
P105 問題の2 の巻末
P307 略解 より
2. Aに降鎖(an) n∈N が存在すれば，｛an}n∈N は最小元を持たないから、Aは整列集合でない。
逆に、Aが整列集合でなければ、Aの空でない部分集合Mで最小元をもたないものが存在する，
そのとき、任意のa∈Mに対し、Ma={x|x∈M,x<a}≠Φ（空集合でない）。
よって、Mで定義された写像φで、すべてのa∈Mに対しφ(a)∈Maとなるものがある。
そこで,Mの元a1を任意に1つとり、φ(a1)＝a2,・・・,φ(an-1)＝an,・・・として(an) n∈N
を定めれば，これはAの降鎖となる．
QED (引用終り)
ここ、佐々木数学塾の先生の証明>>517は、きちんと、前半が背理法、後半が対偶証明と、誘導を付けてくれているから分かり易い
上記の松坂の巻末略解を読んで、すーと分かる人は、相当レベル高いだろう
「Mで定義された写像φで」などと 出てくるのだが、
ここ ”§3 Zornの補題、整列定理”の問題なので、この問題の前に類似の考えが出ているのでしょうね、きっと（私は見てないがｗ）
望月IUTの証明も、これかなと思う
論文だから、ページ数を減らすべく できるだけ 簡素に圧縮して書いてあるのだろう
だから、誘導などもあまりないだろうから、遠アーベル専門外の人には、読みにくいのでしょうね
ここら、望月IUTの証明のポケットガイドブック（観光案内みたいな）がいると思う
あまり細かいと、ダメ
大まかな ポケットガイドブックで、それを参照しながら、IUT論文を読むようなものがね
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