[過去ﾛｸﾞ] Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 64 (1002ﾚｽ)
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464(3): 江戸前寿司 (もんじゃ) 2022/01/23(日) 07:26:53 AAS
おやおや、馴れ寿司SET Aは、>>457も解けないのかい？
じゃ、半分だけ教えてやるよ
(1)任意の有理数cを係数とする直線y=cxについて
その傾斜角の二倍の角を持つ直線と円x^2+y^2=1の交点は有理点
1+ciを考える
その共役1-ciは1+ciと同じ絶対値、同じ角度で回転方向が逆 したがって
(1+ci)/(1-ci)=((1-c^2)+2ci)/(1+c^2)
は1+ciの二倍の角度をもち、絶対値１となる ゆえに
((1-c^2)/(1+c^2),2c/(1+c^2))
は円x^2+y^2=1の有理点
さて、(1)の逆、(2)は成り立つかな？
(1)円x^2+y^2=1の有理点(a,b)について
その角度の半分の傾斜角をもつ直線y=cxの係数cは必ず有理数
465(1): 江戸前寿司 (もんじゃ) 2022/01/23(日) 07:36:50 AAS
>>464 の一部訂正
「さて、(1)の逆、(2)は成り立つかな？
(2)円x^2+y^2=1の有理点(a,b)について
その角度の半分の傾斜角をもつ直線y=cxの係数cは必ず有理数」
ま、どうせ、わかんねぇだろぉから、もう半分も教えるか
a=cosθ,b=sinθ,c=tan(θ/2)とすると、半角の公式から
c^2=(1-a)/(1+a)=(1-a^2)/(1+a)^2
ここで、a^2+b^2=1を使うと
c^2=(1-a^2)/(1+a)^2=b^2/(1+a)^2
したがって
c=b/(1+a)
と表せて、a,bが有理数ならcも有理数
つまり(2)も成り立つ ゆえに
「円x^2+y^2=1の有理点と、
cが有理数の場合の直線y=cxの傾斜角」
は1対1対応する
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