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255(1): prime_132 2024/01/14(日) 17:55:09.25 ID:CqEp4LUI(1/3)調 AAS
>>234
∫ (1+tan x) dx = x - log(cos x),
∫ 1/(1+tan x) dx = ∫ cos x /(cos x + sin x) dx
　= (1/2)∫ {1 + (-sin x + cos x)/(cos x + sin x) } dx
　= (1/2) (x + log(cos x + sin x) )

>>235
∫ 1/(1+e^x) dx = ∫ {1 - e^x /(1+e^x)} dx
　= x - log(1+e^x),
∫ x^2 / (1+e^x) dx = ∫ x^2*e^(-x) /(1+e^(-x)) dx
　= - x^2 log(1+e^(-x)) + 2 x Li_2{-e^(-x)} + 2 Li_3{-e^(-x)},
　　　↑部分積分を繰り返す
>>237
∫^{1}_^{a} 1/sqrt{|x(2-x)|} dx
　= arcsin(a-1)　　　　1≦a≦2,
　= (π/2) + 2*log(sqrt{a}+sqrt{a-2}) - log(2),　a≧2,

>>242
1/[2*9^(1/3) + 3^(1/3) + 5] = [19 + 7*3^(1/3) - 9*3^(2/3)] /110,
1/[2*9^(1/3) + 3^(1/2) + 5] = [1109 + 222*3^(1/6) + 726*3^(1/3) + 59*3^(1/2) - 488*3^(2/3) - 234*3^(5/6)] /10078,

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256: prime_132 2024/01/14(日) 19:34:41.47 ID:CqEp4LUI(2/3)調 AAS
>>241
　√３ または i√3 が出た回数をx,
　1+i√3 または √3 + i が出た回数をy
とすると、求める条件は
　log(√3)*x + log(2)*y < log(5) または 9*log(5).
　log(√3) = 0.549306…
　log(2) = 0.693147…
　log(5) =1.609438…
5 については、合計2回以下となる。　x + y ≦ 2,
　(1/3)^{n} + C[n,1](1/3)^{n-1}*(2/3) + C[n,2](1/3)^{n-2}*(2/3)^{2}

5^9 については、各yに対してxの上限が与えられる。
　y : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20.
　x : 26,25,23,22,21,20,18,17,16,15, 13, 12, 11, 9, 8, 7, 6, 4, 3, 2, 1.

>>244
　y = log(x) は上に凸だから x=1 で接線を曳くと
　log(x) < x-1,
　0 < x < e^(x-1),
これより
　∫_0 ^a 1/(x+e^x) dx < ∫_0 ^a e^(-x) dx = 1 - e^(-a) < 1,
　∫_0 ^a 2/(x+e^x) dx > (2/(1+1/e))∫_0 ^a e^(-x) dx
　　= 1.4621…{1 - e^(-a)} > 1,
ここで
　e^(-2023) = 2.644…*10^(-879)　<< 1

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257: prime_132 2024/01/14(日) 20:11:12.44 ID:CqEp4LUI(3/3)調 AAS
>>233
(x^2 +x+1)*(x^12 -x^11 +x^9 -x^8 +x^6 -x^4 +x^3 -x+1),

x^7 + 1 + x^(-7) = (x + 1 + 1/x)*{x^6 -x^5 +x^3 -x^2 +1 -x^(-2) +x^(-3) -x^(-5) +x^(-6)}
= (t+1)*(t^6 - t^5 - 6t^4 + 6t^3 + 8t^2 - 8t + 1)
= (t+1) {(t-2)(t-1)t(t+2)(t^2 -2) + 1},
t = x + 1/x.

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