[過去ﾛｸﾞ] 小中学校範囲の算数・数学の問題のスレ　Part 45 (993ﾚｽ)
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554: 2012/08/26(日) 20:41:53.26 AA×
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554: [] 2012/08/26(日) 20:41:53.26 >>543 >>545 >>547 結論は30度．三角関数を用いると sin 18°sin 54°=1/4 に帰着する． これを用いずに（というか，これの初等幾何による証明を実質的に含む形で）中学生向きに解答してみよう． （図を丁寧に描いてフォローしてください．） ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 直線BDに関して点Cと同じ側に点Eをとって，△BCE≡△DABとなるようにすると，△BDEは BD=BE の二等辺三角形で， ∠B=36°, ∠D=∠E=72°となるので，B,D,Eを頂点とする正五角形が描ける． その正五角形の，BとEの間にある頂点をFとし，BFの中点をGとすると，∠BDC=∠BDG=18°により，3点D,C,Gは同一直線上にある． DGとBEの交点をHとする．このとき，△BCH ∽ △BEC となることを示そう． △BCH が∠G=90°, ∠C=60°, ∠B=60°の直角三角形であることに注意して BH/BC=(BH/BG)(BG/BC)=(BH/BG)(1/2)=BH/BF, BC/BE=(BC/BG)(BG/BE)=(2/1)(BG/BE)=BF/BE を導く．ここで，△BFH ∽ △BEF により BH:BF=BF:BE であるので，めでたく △BCH ∽ △BEC が示された． だから，∠BEC=∠BCH=30°. 即ち，∠DBA=30°. --------------------------------------------------------------------- この問題は，η=exp(2πi/30) とおくとき，ガウス平面上で，次の3直線 〈実軸，η^(7)とη^(24)を結ぶ直線，η^(12)とη^(28)を結ぶ直線〉 が1点で交わることと関わります．「ラングレイの問題・円分多項式」で検索すると手がかりがつかめるかも． http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1336793762/554
結論は度三角関数を用いると に帰着する これを用いずにというかこれの初等幾何による証明を実質的に含む形で中学生向きに解答してみよう 図を丁寧に描いてフォローしてください 直線に関して点と同じ側に点をとってとなるようにするとは の二等辺三角形で となるのでを頂点とする正五角形が描ける その正五角形のとの間にある頂点をとしの中点をとするとにより点は同一直線上にある との交点をとするこのとき となることを示そう が の直角三角形であることに注意して を導くここで により であるのでめでたく が示された だから 即ち この問題は とおくときガウス平面上で次の直線 実軸とを結ぶ直線とを結ぶ直線 が点で交わることと関わりますラングレイの問題円分多項式で検索すると手がかりがつかめるかも

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