[過去ﾛｸﾞ] 代数的整数論 009 (1001ﾚｽ)
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710(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/04/07(月) 22:06:28 AAS
Radon 測度(>>701)の例２
R を実数体とする。
f ∈ K(R, C) に対して Supp(f) ⊂ [a, b] となる有限区間 [a, b] がある。
Riemann積分 ∫[a, b] f(x) dx は [a, b] の取り方によらない。
これを I(f) とおく。
|∫[a, b] f(x) dx| ≦ (b - a) |f| であるから f → I(f) は
R 上の Radon 測度である。
これを Lebesgue 測度と言う。
715(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/04/08(火) 20:43:55 AAS
例
R を実数体とする。
>>693 の証明より K(R, R) の位相は一様収束の位相より細かい。
これが真に細かいことを証明する。
各整数 n ≧ 1 に対して
K_n = [n + 1/3, n + 2/3], U_n = (n, n + 1) とおく。
過去スレ007の706を K_n ⊂ U_n に適用すると、
連続関数 g_n : R → [0, 1] で
K の上で 1 で Supp(g_n) ⊂ [n, n + 1]となるものが存在する。
f_n = (g_n)/n とおく。
|f_n| ≦ 1/n であるから n → ∞ のとき f_n は一様に 0 に収束する。
μを Lebesgue 測度(>>710)とする。
μ と R 上の連続関数 x → x^2 の積(>>713)をνとする。
もし、K(R, R) の位相が一様収束の位相と同じであれば、
n → ∞ のとき ν(f_n) → 0 となるはずである。
g ∈ K(R, R) のとき ν(g) = ∫[-∞, +∞] (x^2)g(x) dx である。
ν(f_n) ≧ ∫[n + 1/3, n + 2/3] x^2/n dx
この右辺 = [(n + 2/3)^3 - (n + 1/3)^3]/3n
= [n^3 + 2n^2 + 4n/3 + 4/9 - (n^3 + n^2 + n/3 + 1/9)]/3n
= (n^2 + n + 1/3)/3n
= (n + 1 + 1/3n)/3
よって n → ∞ のとき ν(f_n) → ∞ である。
以上から K(R, R) の位相は一様収束の位相より真に細かい。
717(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/04/08(火) 21:23:45 AAS
命題
μを Lebesgue 測度(>>710)とする。
f と g を R から C への連続写像とする。
f ≠ g なら fμ ≠ gμ である。
証明
fμ - gμ = (f - g)μ であるから f ≠ 0 のとき fμ ≠ 0 を示せばよい。
f を実部と虚部にわけて f = g + ih とする。
ここで g と h は実数値関数である。
fμ = gμ + ihμ である。
fμ = 0 なら p を任意の実数値関数としたとき、
gμ(p) + ihμ(p) = 0 である。
gμ(p) と hμ(p) は実数だから
gμ(p) = 0
hμ(p) = 0
である。
これから
gμ = 0
hμ = 0
となる。
よって f は初めから実数値関数と仮定してよい。
f ≠ 0 だから f(c) ≠ 0 となる c ∈ R がある。
ε を十分小さくとれば、|x - c| ≦ ε のとき f(x) ＞ 0 または f(x) ＜ 0
となる。
ψを K(R, C) の元で ψ(R) = [0, 1] で |x - c| ≦ ε のとき
ψ(x) = 1 となるものとする。
fμ(ψ) = ∫fψdμ ≠ 0 である。
よって、fμ ≠ 0 である。
証明終
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