[過去ﾛｸﾞ] 代数的整数論 009 (1001ﾚｽ)
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685(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/04/06(日) 11:36:51 AAS
X を局所コンパクト空間とする。
E を実数体または複素数体上の局所凸空間とする。
X のコンパクト集合 K に K(X, K, E) (>>662) を対応させる。
C(X, E) に一様収束の位相(過去スレ007の150)を与え、
K(X, K, E) にはその部分位相を与える。
>>672 と >>684 より K(X, K, E) は局所凸空間である。
K と L が X のコンパクト集合で K ⊂ L のときは
K(X, K, E) の位相は K(X, L, E) の位相の部分位相である。
明らかに K(X, E) は K(X, K, E) 全体の和集合である。
従って K(X, E) (>>662) に K(X, L, E) の位相の狭義帰納的極限(>>681)
を与えることが出来る。
今後特に断らない限り K(X, E) にはこの位相を入れることにする。
693(3): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/04/06(日) 17:48:36 AAS
命題
X を局所コンパクト空間とする。
E を実数体または複素数体上の局所凸空間とする。
K(X, E) (>>662) に >>685 の位相 Ω をいれる。
X の任意のコンパクト集合 K に対して K(X, K, E) (>>662) の
K(X, E) の部分空間としての位相は K(X, K, E) の一様収束の位相
(過去スレ007の150)と一致する。
証明
K(X, K, E) への K(X, E) の部分空間としての位相を Ω(K) とする。
K(X, E) の一様収束の位相を Ω_u とする。
K(X, K, E) の一様収束の位相を Ω_u(K) とする。
K(X, K, E) に Ω_u(K) を入れると、
標準単射 K(X, K, E) → K(X, E) は連続である。
よって Ω(K) ⊂ Ω_u(K) である。
一方、>>692 より Ω_u は局所凸である。
Ω_u の K(X, K, E) への制限は Ω_u(K) であるから
Ωが K(X, K, E) の帰納極限であることから Ω_u ⊂ Ω である。
これから Ω_u(K) ⊂ Ω(K) である。
よって、Ω(K) = Ω_u(K) である。
証明終
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