[過去ﾛｸﾞ] 代数的整数論 009 (1001ﾚｽ)
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672(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/31(月) 01:59:39 AAS
>>667 の前に次の命題を述べたほうが良かった。
命題
X をコンパクト空間とする。
E を実数体または複素数体上の局所凸空間とする。
C(X, E) を X から E への連続写像全体とする。
C(X, E) に一様収束の位相(過去スレ007の150)を与えると
C(X, E) は局所凸空間である。
証明
過去スレ008の519およびそれを複素数体上に拡張した結果(>>20)から
E の位相は半ノルムの集合 Γ により定義される(過去スレ008の469)。
p ∈ Γ と f ∈ C(X, E) に対して
φ(p)(f) = sup{ p(f(x)) | x ∈ X } とおく。
p は連続であるから pf も連続である。
X はコンパクトだから φ(p)(f) は有限である。
明らかに φ(p) は C(X, E) の半ノルムである。
p ∈ Γ と ε ＞ 0 に対して
W(p, ε) = { x ∈ E | p(x) ≦ ε } とおく。
{ f ∈ C(X, E) | φ(p)(f) ≦ ε }
= { f ∈ C(X, E) | p(f(x)) ≦ ε, 任意の x ∈ X }
= { f ∈ C(X, E) | f(X) ⊂ W(p, ε) }
これから C(X, E) の位相は { φ(p) | p ∈ Γ } で定義される。
証明終
685(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/04/06(日) 11:36:51 AAS
X を局所コンパクト空間とする。
E を実数体または複素数体上の局所凸空間とする。
X のコンパクト集合 K に K(X, K, E) (>>662) を対応させる。
C(X, E) に一様収束の位相(過去スレ007の150)を与え、
K(X, K, E) にはその部分位相を与える。
>>672 と >>684 より K(X, K, E) は局所凸空間である。
K と L が X のコンパクト集合で K ⊂ L のときは
K(X, K, E) の位相は K(X, L, E) の位相の部分位相である。
明らかに K(X, E) は K(X, K, E) 全体の和集合である。
従って K(X, E) (>>662) に K(X, L, E) の位相の狭義帰納的極限(>>681)
を与えることが出来る。
今後特に断らない限り K(X, E) にはこの位相を入れることにする。
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