[過去ﾛｸﾞ] 代数的整数論 009 (1001ﾚｽ)
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633(3): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/20(木) 13:00:14 AAS
定義
K を実数体または複素数体とする。
E, F を K 上の局所凸空間とする。
L(E, F) を E から F への連続な線形写像全体とする。
L(E, F) の部分集合 H が単純有界(>>632)であるためには
F の任意の連続な半ノルム p と任意の x ∈ E に対して
{ p(f(x)) | f ∈ H } が有界であることが必要十分である。
証明
>>15より F の 0 の近傍で樽となるもの全体は 0 の基本近傍系となる。
F の連続な半ノルム p に対して
V(p, 1) = { x ∈ F | p(x) ≦ 1 } とおく。
過去スレ008の520より V(p, 1) は樽である。
よって、>>19より V(p, 1) の全体は 0 の基本近傍系である。
F の連続な半ノルム p と E の有限部分集合 A に対して
W(A, p) = { f ∈ L(E, F) | x ∈ A のとき p(f(x)) ≦ 1 } とおく。
W(A, p) の全体は L(E, F) の単純収束に位相の 0 の基本近傍系である。
H が単純有界であるとは、FE の任意の連続な半ノルム p と
E の任意の有限部分集合 A に対して、ある λ ∈ K, λ ≠ 0 があり、
H ⊂ λW(A, p) となることである。
g ∈ λW(A, p) であることは
x ∈ A のとき p((1/λ)g(x)) ≦ 1 即ち p(g(x)) ≦ |λ| と同値である。
これから命題の主張は明らかである。
証明終
634(3): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/20(木) 13:14:28 AAS
定理(一般化されたBanach-Steinhausの定理)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の樽型空間(>>617))とし、F を K 上の局所凸空間とする。
L(E, F) を E から F への連続な線形写像全体とする。
L(E, F) の任意の単純有界(>>632)な部分集合 H は同程度連続である。
証明
F の任意の連続な半ノルム p に対して q = sup { pf | f ∈ H } とおく。
即ち、任意の x ∈ E に対して q(x) = sup { p(f(x)) | f ∈ H } である。
>>633 より、任意の x ∈ E に対して q(x) は有限である。
従って q は E の半ノルムである。
p は連続だから f ∈ H のとき pf は連続、従って下半連続
(過去スレ008の113)である。
過去スレ008の116より q も下半連続である。
>>623 より q は連続である。
>>631 より H は同程度連続である。
証明終
636(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/20(木) 14:31:17 AAS
命題(一様有界性定理(the uniform boundedness theorem))
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の Banach 空間(過去スレ008の550)とし、
F を K 上のノルム空間(過去スレ006の561)とする。
L(E, F) を E から F への連続な線形写像全体とする。
H を L(E, F) の部分集合とする。
任意の x ∈ E に対して sup{ |f(x)| | f ∈ H } が有限なら
sup{ |f| | f ∈ H } も有限である。
証明
>>633 より H は単純有界である。
>>620 より E は樽型空間である。
従って >>634 より H は同程度連続である。
>>635 より sup{ |f| | f ∈ H } は有限である。
証明終
648: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/22(土) 15:04:00 AAS
命題(Banach-Steinhaus の定理)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の樽型空間(>>617))とし、F を K 上の分離的局所凸空間とする。
L(E, F) を E から F への連続な線形写像全体とする。
(f_n), n = 1, 2, ... を L(E, F) の元からなる列とし、
f を E から F への写像とする。
各点 x ∈ E で f_n(x) は f(x) に収束するとする。
このとき f ∈ L(E, F) であり、E の任意の全有界集合(過去スレ006の302)
で (f_n) は f に一様収束する。
証明
各点 x ∈ E で f_n(x) は f(x) に収束するから
F の任意の連続な半ノルム p に対して p(f_n(x)) は p(f(x)) に収束する。
従って { p(f_n(x)) | n = 1, 2, ... } は有界である。
>>633 より H = { f_n | n = 1, 2, ... } は単純有界である。
>>634 より H は同程度連続である。
>>625 より H~ も同程度連続で H~ ⊂ L(E, F) である。
f ∈ H~ だから f ∈ L(E, F) である。
>>630 より H~ は同程度一様連続である。
>>646 より H~ の上で全有界収束の一様構造と
単純収束の一様構造は一致する。
よって E の任意の全有界集合で (f_n) は f に一様収束する。
証明終
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