[過去ﾛｸﾞ] 代数的整数論 009 (1001ﾚｽ)
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562(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/02(日) 11:59:21 AAS
命題(Hahn-Banachの定理(>>104)の系)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の局所凸線形空間とする。
x_0 ∈ E - {0}~ とする。
ここで {0}~ は 0 の閉包である。
このとき E 上の連続な線形形式 f で f(x_0) ≠ 0 となるものが
存在する。
証明
過去スレ008の535より E 上の連続な半ノルム p で p(x_0) ≠ 0 と
なるものが存在する。
>>561 より E 上の線形形式 f で
f(x_0) = p(x_0) となり任意の x ∈ E に対して |f(x)| ≦ p(x) と
なるものが存在する。
p は連続だから f も連続である。
証明終
563: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/02(日) 12:16:01 AAS
命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の分離的な局所凸線形空間とする。
対 (E, E') (>>559) は E に関して分離的である。
証明
E は分離的だから {0} は閉集合である。
よって >>562 より E の元 x_0 ≠ 0 に対して E 上の連続な線形形式 f で
f(x_0) ≠ 0 となるものが存在する。
即ち、対 (E, E') は E に関して分離的である。
証明終
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