[過去ﾛｸﾞ] 代数的整数論 009 (1001ﾚｽ)
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551(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/24(日) 18:16:21 AAS
命題
E と F を複素数体上の線形空間とする。
E と F は双線形形式 B に関して対(>>527)をなすとする。
E_0 と F_0 をそれぞれ E と F を実数体上の線形空間と
見なしたものとする。
E_0 と F_0 は Re(B) に関して対をなす。
このとき弱位相(>>529) σ(E, F) と σ(E_0, F_0) は一致する。
証明
z = a + bi を複素数としたとき Re(iz) = -b である。
よって z = Re(z) - iRe(iz)
よって、
<x, y> = Re(<x, y>) - iRe(i<x, y>) = Re(<x, y>) - iRe(<ix, y>)
よって x → <x, y> が連続なことと
x → Re(<x, y>) が連続なことは同値である。
証明終
566(3): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/02(日) 18:01:34 AAS
命題
E を 複素数体上の局所凸線形空間とする。
E' を E の双対(>>65)とする。
E と E' は対をなす(>>559)。
A を E の凸な部分集合とする。
E の通常の位相で A が閉であることと E の弱位相 σ(E, E') (>>529) で
閉であることは同値である。
証明
E_0 と E'_0 をそれぞれ E と E' を実数体上の線形空間と
見なしたものとする。
E_0 と E'_0 は実双線形形式 (x, f) → Re(<x, f>) により対をなす。
>>551 より σ(E, E') と σ(E_0, E'_0) は一致する。
>>545 より σ(E_0, E'_0) に関して連続な E_0 の実線形形式 g に
対して f ∈ E' が存在し、任意の x ∈ E に対して g(x) = Re(<x, f>)
となる。従って、g は E_0 の通常の位相でも連続である。
逆に E_0 の通常の位相で連続な E_0 の実線形形式 g に対して
>>102 より 任意の x ∈ E に対して g(x) = Re(<x, f>) となる
E 上の複素線形形式 f が一意に存在する。
>>102 の証明から、任意の x ∈ E に対して f(x) = g(x) - ig(ix)
であるから f は E の通常の位相で連続である。即ち、f ∈ E' である。
よって、g は σ(E_0, E'_0) に関して連続である。
以上から E_0 の通常の位相で閉な E_0 の超平面全体と
σ(E_0, E'_0) に関して閉な E_0 の超平面全体は一致する。
よって、>>164 より本命題の主張が得られる。
証明終
613(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/16(日) 14:15:28 AAS
命題
E を複素数体上の局所凸線形空間とする。
E' を E の双対(>>65)とする。
E と E' は対をなす(>>559)。
M を E の部分集合とする。
M の凸包の閉包と M の凸包の弱位相σ(E, E')による閉包は一致する。
証明
E_0 と E'_0 をそれぞれ E と E' を実数体上の線形空間と
見なしたものとする。
E_0 と E'_0 は実双線形形式 (x, f) → Re(<x, f>) により対をなす。
>>551 より σ(E, E') と σ(E_0, E'_0) は一致する。
>>545 より σ(E_0, E'_0) に関して連続な E_0 の実線形形式 g に
対して f ∈ E' が存在し、任意の x ∈ E に対して g(x) = Re(<x, f>)
となる。従って、g は E_0 の通常の位相でも連続である。
逆に E_0 の通常の位相で連続な E_0 の実線形形式 g に対して
>>102 より 任意の x ∈ E に対して g(x) = Re(<x, f>) となる
E 上の複素線形形式 f が一意に存在する。
>>102 の証明から、任意の x ∈ E に対して f(x) = g(x) - ig(ix)
であるから f は E の通常の位相で連続である。即ち、f ∈ E' である。
よって、g は σ(E_0, E'_0) に関して連続である。
以上から E_0 の通常の位相で閉な E_0 の超平面全体と
σ(E_0, E'_0) に関して閉な E_0 の超平面全体は一致する。
よって >>611 の証明と同様にして本命題が得られる。
証明終
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