[過去ﾛｸﾞ] 代数的整数論 009 (1001ﾚｽ)
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54(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2007/11/25(日) 17:28:24 AAS
命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の局所凸(過去スレ008の513と593)な位相線形空間とする。
X を集合、F(X, E) を X から E への写像全体とする。
F(X, E) は K 上の線形空間である。
H を F(X, E) の線形部分空間とする。
Σ を X の部分集合の集合とする。
任意の M ∈ Σ と任意の f ∈ H に対して f(M) が有界(>>35)である
とする。
>>49 より Σ-収束の位相により H は K 上の局所凸な位相線形空間
となる。
過去スレ008の519およびそれを複素数体上に拡張した結果(>>20)から
E の位相は半ノルムの集合 Γ により定義される(過去スレ008の469)。
Σ_1 を Σ に属す集合の有限個の和集合全体とする。
p ∈ Γ, M ∈ Σ_1 と f ∈ H に対して
p_M(f) = sup{ p(f(x)) | x ∈ M } とおく。
p_M は H 上の半ノルムである。
Ω = { p_M | p ∈ Γ, M ∈ Σ_1 } とおく。
H の位相は Ω により定義される。
証明
p_M が半ノルムであることは明らかである。
E の部分集合 M と F の 0 の近傍 V に対して
T(M, V) = { f ∈ H | f(M) ⊂ V } とおく。
(続く)
55: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2007/11/25(日) 17:29:09 AAS
>>54 の続き。
任意の α ＞ 0 と p ∈ Γ に対して、
V(p, α) = { x ∈ E | p(x) ≦ α } とおく。
M ∈ Σ_1 に対して
T(M, V(p, α)) = { f ∈ H | p_M(f) ≦ α } である。
過去スレ008の471 より p_1, . . ., p_n を Γ の有限列、
α_i ＞ 0, i = 1, . . . , n としたとき、
∩V(p_i, α_i) 全体は Γ により定義される位相に関して
0 の基本近傍系である。
明らかに ∩V(p_i, α_i) は平衡的である。
M ∈ Σ_1, N ∈ Σ_1 に対して
T(M, ∩V(p_i, α_i)) = ∩T(M, V(p_i, α_i))
T(M, V(p_i, α_i)) ∩ T(N, V(p_i, α_i)) = T(M ∪ N, V(p_i, α_i))
である。
従って、H の位相は Ω により定義される。
証明終
56: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2007/11/25(日) 17:53:33 AAS
命題
K を実数体または複素数体とする。
E, F を K 上の位相線形空間で、F は 局所凸(過去スレ008の513と593)
とする。
L(E, F) を E から F への連続な線形写像全体とする。
Σを E の部分集合の集合で Σ の元はすべて有界(>>35)とする。
>>53 より Σ-収束の位相により L(E, F) は K 上の局所凸な位相線形空間
となる。
過去スレ008の519およびそれを複素数体上に拡張した結果(>>20)から
F の位相は半ノルムの集合 Γ により定義される(過去スレ008の469)。
Σ_1 を Σ に属す集合の有限個の和集合全体とする。
p ∈ Γ, M ∈ Σ_1 と f ∈ L(E, F) に対して
p_M(f) = sup{ p(f(x)) | x ∈ M } とおく。
p_M は L(E, F) 上の半ノルムである。
Ω = { p_M | p ∈ Γ, M ∈ Σ_1 } とおく。
L(E, F) の位相は Ω により定義される。
証明
Σ の元はすべて有界であるから、
>>52 より、任意の M ∈ Σ と任意の f ∈ L(E, F) に対して
f(M) は有界である。
よって、>>54 より本命題の主張が得られる。
証明終
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