[過去ﾛｸﾞ] 代数的整数論 009 (1001ﾚｽ)
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53(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2007/11/25(日) 12:40:35 AAS
命題
K を実数体または複素数体とする。
E, F を K 上の位相線形空間とする。
L(E, F) を E から F への連続な線形写像全体とする。
Σを E の部分集合の集合で Σ の元はすべて有界(>>35)とする。
Σ-収束の位相(>>37)により L(E, F) は K 上の位相線形空間となる。
さらに F が局所凸(過去スレ008の513と593)であれば L(E, F) も
局所凸である。
証明
Σ の元はすべて有界であるから、
>>52 より、任意の M ∈ Σ と任意の f ∈ L(E, F) に対して
f(M) は有界(>>35)である。
よって、>>49 より本命題の主張が得られる。
証明終
56: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2007/11/25(日) 17:53:33 AAS
命題
K を実数体または複素数体とする。
E, F を K 上の位相線形空間で、F は 局所凸(過去スレ008の513と593)
とする。
L(E, F) を E から F への連続な線形写像全体とする。
Σを E の部分集合の集合で Σ の元はすべて有界(>>35)とする。
>>53 より Σ-収束の位相により L(E, F) は K 上の局所凸な位相線形空間
となる。
過去スレ008の519およびそれを複素数体上に拡張した結果(>>20)から
F の位相は半ノルムの集合 Γ により定義される(過去スレ008の469)。
Σ_1 を Σ に属す集合の有限個の和集合全体とする。
p ∈ Γ, M ∈ Σ_1 と f ∈ L(E, F) に対して
p_M(f) = sup{ p(f(x)) | x ∈ M } とおく。
p_M は L(E, F) 上の半ノルムである。
Ω = { p_M | p ∈ Γ, M ∈ Σ_1 } とおく。
L(E, F) の位相は Ω により定義される。
証明
Σ の元はすべて有界であるから、
>>52 より、任意の M ∈ Σ と任意の f ∈ L(E, F) に対して
f(M) は有界である。
よって、>>54 より本命題の主張が得られる。
証明終
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