[過去ﾛｸﾞ] 代数的整数論 009 (1001ﾚｽ)
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396(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/06(水) 21:38:35 AAS
命題
X を集合とする。
X の部分集合の集合 Γ を含むフィルター(過去スレ006の75)が存在する
ためには Γ が有限交差性(>>395)を持つことが必要十分である。
証明
必要性は明らか。
Γ が有限交差性を持つとする。
Γ の任意の有限個の共通部分全体はフィルター基底(過去スレ006の77)
である。
このフィルター基底から生成されたフィルター(過去スレ006の78)は
Γ を含む。
証明終
398(3): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/06(水) 21:56:31 AAS
命題
X を位相空間とする。
X が準コンパクト(過去スレ006の104)であるためには X の任意の
フィルター(過去スレ006の75)が接触点(過去スレ006の132)を持つことが
必要十分である。
証明
必要性：
X が準コンパクトであるとし、Ψ を X のフィルターとする。
{ M~ | M ∈ Ψ } は有限交差性(>>395)をもつから >>397 より
Ψ は接触点を持つ。
十分性：
X の任意のフィルターが接触点を持つとする。
X の閉集合からなる集合 Γ が有限交差性を持つとする。
>>396 より Γ を含むフィルター Ψ が存在する。
Ψ は接触点を持つから Γ に属す全ての集合の共通部分は空でない。
>>397 より X は準コンパクトである。
証明終
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