[過去ﾛｸﾞ] 代数的整数論 009 (1001ﾚｽ)
上下前次1-新
抽出解除 ﾚｽ栞
このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索 歴削→次ｽﾚ 栞削→次ｽﾚ 過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ
363(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/04(月) 21:59:41 AAS
命題
X を位相空間、Y を一様空間(過去スレ006の194)とし、
F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。
C(X, Y) を X から Y への連続写像全体とする。
H を F(X, Y) の部分集合で同程度連続(>>315)とする。
F(X, Y) における単純収束の位相(過去スレ007の154)による H の閉包 H~ は
C(X, Y) におけるコンパクト収束の位相(過去スレ007の168)による
H の閉包と一致する。
証明
>>326 より H~ は同程度連続である。
よって H~ ⊂ C(X, Y) である。
C(X, Y) におけるコンパクト収束の位相による H の閉包を H' とする。
コンパクト収束の位相は単純収束の位相より細かいから H~ は
コンパクト収束の位相でも閉である。
よって H' ⊂ H~ である。
>>351 より H~ の上でコンパクト収束の一様構造と単純収束の一様構造は
一致する。
よって H' は H~ において単純収束の位相で閉である。
よって H' = H~ である。
証明終
494(7): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/11(月) 05:45:47 AAS
定理(Ascoli)
X を位相空間、Y を分離一様空間とし、
C(X, Y) を X から Y への連続写像全体とする。
H を C(X, Y) の部分集合で同程度連続(>>315)とする。
各 x ∈ X において H(x) = { f(x) | f ∈ H } が Y で相対コンパクト
(>>364)とする。
このとき H はコンパクト収束の位相(過去スレ007の168)で
C(X, Y) において相対コンパクトである。
証明
H(x) の Y における閉包 H(x)~ は >>365 よりコンパクトである。
Tychonoffの定理(>>432)より K = Π{ H(x)~ | x ∈ X } はコンパクト
である(Y は分離的だから K はハウスドルフである)。
F(X, Y) を X から Y への写像全体とすると、K ⊂ F(X, Y) とみなせる。
F(X, Y) に単純収束の位相(過去スレ007の161)を入れたとき、
T の位相はその部分空間としての位相に一致する。
H ⊂ K であるから H は単純収束の位相で F(X, Y) において
相対コンパクトである。
Y は分離的だから F(X, Y) は単純収束の位相でハウスドルフである。
よって、>>365 より H の閉包 H~ はコンパクトである。
>>363 より H~ は C(X, Y) におけるコンパクト収束の位相による
H の閉包と一致する。
よって H はコンパクト収束の位相で C(X, Y) において相対コンパクト
である。
証明終
上下前次1-新書関写板覧索設栞歴
ｽﾚ情報 赤ﾚｽ抽出 画像ﾚｽ抽出 歴の未読ｽﾚ
ぬこの手 ぬこTOP 0.088s*