[過去ﾛｸﾞ] 代数的整数論 009 (1001ﾚｽ)
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315(20): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/03(日) 15:30:37 AAS
定義
X を位相空間、Y を一様空間(過去スレ006の194)とし、
F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。
H を F(X, Y) の部分集合とする。
x_0 を X の点とする。
Y の任意の近縁 V に対して x_0 の近傍 U があり、
任意の x ∈ U と f ∈ H について (f(x_0)､ f(x)) ∈ V のとき
H は x_0 で同程度連続(equicontinuous)であると言う。
H が X の各点で同程度連続のとき、H は同程度連続であると言う。
326(5): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/03(日) 17:10:31 AAS
命題
X を位相空間、Y を一様空間(過去スレ006の194)とし、
F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。
H を F(X, Y) の部分集合とする。
F(X, Y) には単純収束の位相(過去スレ007の154)を入れる。
x_0 を X の点とする。
H が x_0 で同程度連続(>>315)でれば H の閉包 H~ も
x_0 で同程度連続である。
証明
V を Y の任意の閉近縁とする。
H は x_0 で同程度連続だから x_0 の近傍 U があり、
任意の x ∈ U と f ∈ H について (f(x_0)､ f(x)) ∈ V となる。
x ∈ X に対して (f(x_0)､ f(x)) ∈ V となる f ∈ F(X, Y) の
全体を M(x) と書く。>>321 より M(x) は閉集合である。
従って M = ∩{M(x) | x ∈ U} も閉集合である。
H ⊂ M だから H~ ⊂ M である。
過去スレ006の205より Y の閉近縁全体は Y の基本近縁系
(過去スレ006の195)である。
よって H~ は x_0 で同程度連続である。
証明
334(6): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/03(日) 19:54:52 AAS
命題
X と Y を一様空間(過去スレ006の194)とし、
F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。
H を F(X, Y) の部分集合で同程度連続(>>315)とする。
D を X の稠密な部分集合とする。
このとき、H の上でコンパクト収束の一様構造(過去スレ007の168)と
単純収束の一様構造(過去スレ007の154)と
D での単純収束の一様構造(過去スレ007の161)はすべて一致する。
証明
それぞれの一様収束の定義から、
コンパクト収束の一様構造は単純収束の一様構造より細かく、
単純収束収束の一様構造は D での単純収束の一様構造より細かい。
従って、H の上で D での単純収束の一様構造がコンパクト収束の一様構造
より細かいことを示せばよい。
すなわち、Y の近縁 V と X のコンパクト集合 A が与えられたとき
Y の近縁 W と D の有限集合 F があり、
f ∈ H, g ∈ H で任意の x ∈ F に対して (f(x), g(x)) ∈ W
のとき
任意の x ∈ A に対して (f(x), g(x)) ∈ V となることを示せばよい。
W^5 ⊂ V となる Y の対称近縁 W をとる。
各 x ∈ X に対して x の近傍 U(x) があり y ∈ U(x) なら
任意の f ∈ H に対して (f(x), f(y)) ∈ W となる。
A はコンパクトだから A の有限個の点 x_i, i = 1, ...,n があり
A ⊂ ∪{ U(x_i) | i = 1, ...,n } となる。
x ∈ U(x_i), y ∈ U(x_i) なら (f(x), f(x_i)) ∈ W
(f(x_i), f(y)) ∈ W だから (f(x), f(y)) ∈ W^2 である。
(続く)
350(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/04(月) 21:07:49 AAS
命題
X を位相空間、Y を一様空間(過去スレ006の194)とし、
F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。
H を F(X, Y) の部分集合で同程度連続(>>315)とする。
D を X の稠密な部分集合とする。
このとき、H の上でコンパクト収束の一様構造(過去スレ007の168)と
単純収束の一様構造(過去スレ007の154)と
D での単純収束の一様構造(過去スレ007の161)はすべて一致する。
証明
それぞれの一様収束の定義から、
コンパクト収束の一様構造は単純収束の一様構造より細かく、
単純収束収束の一様構造は D での単純収束の一様構造より細かい。
従って、H の上で D での単純収束の一様構造がコンパクト収束の一様構造
より細かいことを示せばよい。
すなわち、Y の近縁 V と X のコンパクト集合 A が与えられたとき
Y の近縁 W と D の有限集合 F があり、
f ∈ H, g ∈ H で任意の x ∈ F に対して (f(x), g(x)) ∈ W
のとき
任意の x ∈ A に対して (f(x), g(x)) ∈ V となることを示せばよい。
W^5 ⊂ V となる Y の対称近縁 W をとる。
各 x ∈ X に対して x の近傍 U(x) があり y ∈ U(x) なら
任意の f ∈ H に対して (f(x), f(y)) ∈ W となる。
A はコンパクトだから A の有限個の点 x_i, i = 1, ...,n があり
A ⊂ ∪{ U(x_i) | i = 1, ...,n } となる。
x ∈ U(x_i), y ∈ U(x_i) なら (f(x), f(x_i)) ∈ W
(f(x_i), f(y)) ∈ W だから (f(x), f(y)) ∈ W^2 である。
(続く)
351(5): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/04(月) 21:10:40 AAS
命題
X を位相空間、Y を一様空間(過去スレ006の194)とし、
F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。
H を F(X, Y) の部分集合で同程度連続(>>315)とする。
D を X の稠密な部分集合とする。
このとき、H の上でコンパクト収束の一様構造(過去スレ007の168)と
単純収束の一様構造(過去スレ007の154)と
D での単純収束の一様構造(過去スレ007の161)はすべて一致する。
証明
それぞれの一様収束の定義から、
コンパクト収束の一様構造は単純収束の一様構造より細かく、
単純収束収束の一様構造は D での単純収束の一様構造より細かい。
従って、H の上で D での単純収束の一様構造がコンパクト収束の一様構造
より細かいことを示せばよい。
すなわち、Y の近縁 V と X のコンパクト集合 A が与えられたとき
Y の近縁 W と D の有限集合 F があり、
f ∈ H, g ∈ H で任意の x ∈ F に対して (f(x), g(x)) ∈ W
のとき
任意の x ∈ A に対して (f(x), g(x)) ∈ V となることを示せばよい。
W^5 ⊂ V となる Y の対称近縁 W をとる。
各 x ∈ X に対して x の近傍 U(x) があり y ∈ U(x) なら
任意の f ∈ H に対して (f(x), f(y)) ∈ W となる。
A はコンパクトだから A の有限個の点 x_i, i = 1, ...,n があり
A ⊂ ∪{ U(x_i) | i = 1, ...,n } となる。
x ∈ U(x_i), y ∈ U(x_i) なら (f(x), f(x_i)) ∈ W
(f(x_i), f(y)) ∈ W だから (f(x), f(y)) ∈ W^2 である。
(続く)
363(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/04(月) 21:59:41 AAS
命題
X を位相空間、Y を一様空間(過去スレ006の194)とし、
F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。
C(X, Y) を X から Y への連続写像全体とする。
H を F(X, Y) の部分集合で同程度連続(>>315)とする。
F(X, Y) における単純収束の位相(過去スレ007の154)による H の閉包 H~ は
C(X, Y) におけるコンパクト収束の位相(過去スレ007の168)による
H の閉包と一致する。
証明
>>326 より H~ は同程度連続である。
よって H~ ⊂ C(X, Y) である。
C(X, Y) におけるコンパクト収束の位相による H の閉包を H' とする。
コンパクト収束の位相は単純収束の位相より細かいから H~ は
コンパクト収束の位相でも閉である。
よって H' ⊂ H~ である。
>>351 より H~ の上でコンパクト収束の一様構造と単純収束の一様構造は
一致する。
よって H' は H~ において単純収束の位相で閉である。
よって H' = H~ である。
証明終
494(7): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/11(月) 05:45:47 AAS
定理(Ascoli)
X を位相空間、Y を分離一様空間とし、
C(X, Y) を X から Y への連続写像全体とする。
H を C(X, Y) の部分集合で同程度連続(>>315)とする。
各 x ∈ X において H(x) = { f(x) | f ∈ H } が Y で相対コンパクト
(>>364)とする。
このとき H はコンパクト収束の位相(過去スレ007の168)で
C(X, Y) において相対コンパクトである。
証明
H(x) の Y における閉包 H(x)~ は >>365 よりコンパクトである。
Tychonoffの定理(>>432)より K = Π{ H(x)~ | x ∈ X } はコンパクト
である(Y は分離的だから K はハウスドルフである)。
F(X, Y) を X から Y への写像全体とすると、K ⊂ F(X, Y) とみなせる。
F(X, Y) に単純収束の位相(過去スレ007の161)を入れたとき、
T の位相はその部分空間としての位相に一致する。
H ⊂ K であるから H は単純収束の位相で F(X, Y) において
相対コンパクトである。
Y は分離的だから F(X, Y) は単純収束の位相でハウスドルフである。
よって、>>365 より H の閉包 H~ はコンパクトである。
>>363 より H~ は C(X, Y) におけるコンパクト収束の位相による
H の閉包と一致する。
よって H はコンパクト収束の位相で C(X, Y) において相対コンパクト
である。
証明終
496(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/11(月) 12:32:29 AAS
命題(>>494の制限つきの逆)
X を局所コンパクト空間、Y を分離一様空間とし、
C(X, Y) を X から Y への連続写像全体とする。
H を C(X, Y) の部分集合でコンパクト収束の位相(過去スレ007の168)で
相対コンパクトであるとする。
このとき、H は同程度連続(>>315)であり、
各 x ∈ X において H(x) = { f(x) | f ∈ H } は
Y で相対コンパクト(>>364)である。
証明
H~ を C(X, Y) におけるコンパクト収束の位相での閉包とする。
x ∈ X を固定したとき、f ∈ C(X, Y) に f(x) を対応させる写像 Φ_x
を考える。
一点からなる集合 {x} はコンパクトであるから、
W({x}, V) = {(f, g) ∈ C(X,Y)×C(X,Y) | (f(x),g(x)) ∈ V }
は C(X, Y) の近縁である。
よって、Φ_x : C(X, Y) → Y は一様連続である。
C(X, Y) はハウスドルフであるから >>365 より H~ はコンパクトである。
よって、H~(x) = Φ_x(H~) もコンパクトである。
H(x) ⊂ H~(x) であるから H(x) は相対コンパクトである。
(続く)
508(3): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/23(土) 04:47:54 AAS
命題
X を位相空間、Y を一様空間(過去スレ006の194)とし、
F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。
C(X, Y) を X から Y への連続写像全体とする。
H を F(X, Y) の部分集合で同程度連続(>>315)であるとする。
Φ を H のフィルター(過去スレ006の75)とする。
Φ が f ∈ F(X, Y) に単純収束の位相(過去スレ007の154)で収束
するなら f ∈ C(X, Y) であり、Φ は f にコンパクト収束の位相
(過去スレ007の168)で収束する。
証明
>>326 より F(X, Y) における単純収束の位相による H の閉包 H~ は
同程度連続である。
よって、H~ ⊂ C(X, Y) である。
よって、f ∈ H~ だから f ∈ C(X, Y) である。
>>334 より H~ において単純収束の位相とコンパクト収束の位相は
一致する。
従って、Φ は f にコンパクト収束の位相で収束する。
証明終
510(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/23(土) 05:38:44 AAS
命題
X を位相空間、Y を一様空間(過去スレ006の194)とし、
F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。
C(X, Y) を X から Y への連続写像全体とする。
H を F(X, Y) の部分集合で同程度連続(>>315)であるとする。
X の任意の点 x に対して H(x) は Y の完備な部分集合に含まれる
とする（特に Y が完備ならこの条件は満たされる）。
Φ を H のフィルター(過去スレ006の75)とする。
M ⊂ F(X, Y) と x ∈ X に対して M(x) = { f(x) | f ∈ M } と書く。
Φ(x) = { M(x) | M ∈ Φ } とおく。
Φ(x) は Y のフィルター基底(過去スレ006の77)である。
D を X の稠密な部分集合とする。
D の任意の点 x において Φ(x) が f_0(x) に収束するとする。
ここで f_0 は D から Y への写像である。
このとき f_0 は f ∈ C(X, Y) に拡張され、
Φ は f にコンパクト収束の位相(過去スレ007の168)で収束する。
証明
仮定より Φ は D における単純収束の一様構造(過去スレ007の161)で
Cauchy フィルターである。
>>334 より Φ は単純収束の一様構造(過去スレ007の154)で
Cauchy フィルターである。
即ち X の任意の点 x に対して Φ(x) は Y のCauchy フィルターである。
仮定より X の任意の点 x に対して H(x) は Y の完備な部分集合に
含まれるから Φ(x) は Y の点に収束する。
よって、f_0 の拡張 f ∈ F(X, Y) で Φ(x) は f(x) に収束
するようなものがある（Y が分離でないときは選択公理による）。
即ち、Φ は単純収束の位相で、f に収束する。
>>508 より f ∈ C(X, Y) で Φ は f にコンパクト収束の位相
(過去スレ007の168)で収束する。
証明終
523(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/23(土) 11:28:42 AAS
命題(>>494の弱形の別証)
X を稠密な可算部分集合 D を持つ位相空間、Y を可算な基本近縁系を持つ
分離一様空間とする。
C(X, Y) を X から Y への連続写像全体とする。
H を C(X, Y) の部分集合で同程度連続(>>315)とする。
各 x ∈ X において H(x) = { f(x) | f ∈ H } が Y で相対コンパクト
(>>364)とする。
(f_n), n ≧ 1 を H の要素からなる関数列とする。
このとき (f_n) はコンパクト収束の位相(過去スレ007の168)で
C(X, Y) の元に収束する部分列を持つ。
証明
>>521 より (f_n) の部分列 (f_n_k), k ≧ 1 で D の各点で収束するものが
存在する。
各 x ∈ X において H(x) = { f(x) | f ∈ H } は Y で相対コンパクト
であるから Y においてな部分集合に含まれる。
>>510 より (f_n_k), k ≧ 1 はコンパクト収束の位相で
C(X, Y) の元に収束する。
証明終
525: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/23(土) 13:22:06 AAS
命題(>>523の言い換え)
X を稠密な可算部分集合 D を持つ位相空間、Y を可算な基本近縁系を持つ
分離一様空間とする。
C(X, Y) を X から Y への連続写像全体とする。
H を C(X, Y) の部分集合で同程度連続(>>315)とする。
各 x ∈ X において H(x) = { f(x) | f ∈ H } が Y で相対コンパクト
(>>364)とする。
このとき H はコンパクト収束の位相(過去スレ007の168)で
C(X, Y) において相対コンパクトである。
証明
V_1 ⊃ V_2 ⊃ . . . を Y の基本近縁系とする。
F(X, Y) に D における単純収束の一様構造(過去スレ007の161)を
入れたものは、F を D の有限部分集合として
W(F, V_n) =
{(f, g) ∈ F(X,Y)×F(X,Y) | 任意の x ∈ F に対して (f(x),g(x)) ∈ V_n}
の形の近縁を基本近縁系にもつ。
D は可算だからその有限部分集合全体も可算である。
よって、D における単純収束の一様構造により F(X, Y) は
可算な基本近縁系を持つ。
>>327より F(X, Y) における単純収束の位相(過去スレ007の154)による
H の閉包 H~ は同程度一様連続である。
>>350より H~ の上でコンパクト収束の一様構造(過去スレ007の168)と
D での単純収束の一様構造は一致する。
よって、上で述べたことにより H~ におけるコンパクト収束の一様構造
は可算な基本近縁系を持つ。
>>523より (f_n), n ≧ 1 を H~ の要素からなる関数列は、
コンパクト収束の位相で C(X, Y) の元、従って H~ の元に収束する
部分列を持つ。>>519より H~ は準コンパクトである。
Y は分離だから H~ も分離であり、H~ はコンパクトである。
証明終
534(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/24(日) 07:07:16 AAS
命題
K を可換とは限らない体とする。
| | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。
E と F を K 上の位相線形空間とする。
H を E から F への線形写像の集合とする。
H が同程度連続(>>315)であるためには H が 0 で同程度連続であることが
十分である。
証明
H が 0 で同程度連続であるとする。
F の 0 の任意の近傍 V に対して E の 0 の近傍 W があり、
f(W) ⊂ V が任意の f ∈ H に対して成り立つ。
a を E の任意の点とする。
x - a ∈ W なら f(x - a) = f(x) - f(a) ∈ V が任意の
f ∈ H に対して成り立つ。
これは H が a で同程度連続であることを意味する。
証明終
537(4): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/24(日) 08:01:21 AAS
命題
K を可換とは限らない体とする。
| | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。
E と F を K 上の位相線形空間とする。
E と F の位相はそれぞれ半ノルムの集合Γと Γ' により定義される
(過去スレ008の469)とする。
H を E から F への線形写像の集合とする。
H が同程度連続(>>315)であるためには次が成り立つことが必要十分である。
任意の q ∈ Γ' に対して p_i ∈ Γ, i = 1, . . . , n と
a ＞ 0 があり、任意の x と 任意の f ∈ H に対して
q(f(x)) ≦ a sup{ p_i(x) | i = 1, . . ., n }
となる。
証明
条件が成り立てば H は 0 で同程度連続であるから >>534 より
H は同程度連続である。
条件が必要なことを示す。
H は同程度連続であるから、任意の q ∈ Γ' と β ＞ 0 に対して
p_i ∈ Γ, i = 1, . . . , n と α ＞ 0 があり、
sup{p_i(x) | i = 1, ..., n} ≦ α なら
任意の f ∈ H に対して q(f(x)) ≦ β となる。
p(x) = sup{p_i(x) | i = 1, ..., n} とおく。
（続く）
540(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/24(日) 08:19:22 AAS
命題
K を可換とは限らない体とする。
| | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。
E と F を K 上の位相線形空間とする。
E と F の位相はそれぞれ半ノルムの集合Γと Γ' により定義される
(過去スレ008の469)とする。
H を E から F への線形写像の集合とする。
以下の条件はすべて同値である。
(1) H は同程度連続(>>315)である。
(2)
任意の q ∈ Γ' に対して p_i ∈ Γ, i = 1, . . . , n と
a ＞ 0 があり、任意の x と 任意の f ∈ H に対して
q(f(x)) ≦ a sup{ p_i(x) | i = 1, . . ., n }
となる。
(3) 任意の q ∈ Γ' に対して E の 0 の近傍 W があり、
関数の集合 { qf | f ∈ H } は W において一様に有界である。
即ち β ＞ 0 があり任意の x ∈ W と任意の f ∈ H に対して
q(f(x)) ≦ β となる。
(4) sup {qf | f ∈ H } は連続な半ノルムである。
証明
(1) と (2) の同値は >>537 で証明されている。
(2) ⇒ (3) は明らかである。
(3) ⇒ (2) は >>537 の証明から分かる。
(2) ⇒ (4) は明らかである。
(4) ⇒ (3) は明らかである。
証明終
548(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/24(日) 13:01:35 AAS
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の局所凸位相線形空間とする。
E' を E の双対(>>65)とする。
M を E' の部分集合で同程度連続(>>315)とする。
>>11 より E の 0 の凸近傍で平衡的(過去スレ006の630)なもの V があり
任意の x ∈ V と任意の f ∈ M に対して |f(x)| ≦ 1 となる。
V は平衡的だから絶対値１の任意の複素数 ζ と
任意の x ∈ V と任意の f ∈ M に対して |f(ζx)| = |ζf(x)| ≦ 1
となる。
>>546 より、これは Re(f(x)) ≧ -1 と同値である。
625(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/16(日) 20:06:39 AAS
命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の位相線形空間とする。
F を K 上の分離的な位相線形空間とする。
F(E, F) を E から F への写像全体とする。
F(E, F) には単純収束の位相(過去スレ007の154)を入れる。
L(E, F) を E から F への連続な線形写像全体とする。
H を L(E, F) の同程度連続(>>315)な部分集合とする。
H の F(E, F) における閉包 H~ は L(E, F) に含まれ同程度連続である。
証明
>>624 より H~ の各元は線形写像である。
>>326 より H~ は同程度連続である。
よって H~ ⊂ L(E, F) である。
証明終
630(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/20(木) 10:36:52 AAS
命題
E と F を位相アーベル群とする。
H を E から F への連続準同型写像からなる集合とする。
このとき次の条件は同値である。
(1) H は 0 で同程度連続(>>315)である。
(2) H は同程度連続(>>315)である。
(3) H は同程度一様連続(>>316)である。
証明
(3) ⇒ (2) ⇒ (1) は明らかであるから、
(1) ⇒ (3) を証明すればよい。
仮定から F の 0 の任意の近傍 V に対して E の 0 の近傍 W が存在し、
x ∈ W, f ∈ H に対して f(x) ∈ V となる。
よって、x - y ∈ W のとき f(x - y) = f(x) - f(y) ∈ V となる。
よって、H は同程度一様連続である。
証明終
631(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/20(木) 11:37:47 AAS
命題
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上の局所凸空間とする。
L(E, F) を E から F への連続な線形写像全体とする。
L(E, F) の部分集合 H が同程度連続(>>315)であるためには
F の任意の連続な半ノルム p に対して sup { pf | f ∈ H } が
E の任意の連続な半ノルムであることが必要十分である。
証明
>>540より明らかである。
635(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/20(木) 14:04:56 AAS
命題
K を実数体または複素数体とする。
E, F を K 上のノルム空間(過去スレ006の561)とする。
L(E, F) を E から F への連続な線形写像全体とする。
H を L(E, F) の部分集合とする。
H が同程度連続(>>315)であるためには
sup{ |f| | f ∈ H } が有限であることが必要十分である。
ここで |f| は f のノルム(過去スレ006の690)である。
即ち |f| = sup { |f(x)| | x ∈ E, |x| ≦ 1 }
証明
過去スレ006の692 より
f ∈ H と実数 a ＞ 0 に対して |f| ≦ a となることと
x ∈ E のとき |f(x)| ≦ a|x| となることは同値である。
よって >>540 より本命題の主張が得られる。
証明終
654: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/23(日) 15:02:10 AAS
命題
K を実数体または複素数体とする。
E, F を K 上の位相線形空間とする。
L(E, F) を E から F への連続な線形写像全体とする。
H を L(E, F) の同程度連続(>>315)な部分集合する。
H は L(E, F) の有界収束の位相(>>57)で有界(>>35)である。
証明
V を F の 0 の近傍とし B を E の有界集合としたとき
U(B, V) = { f ∈ L(E, F) | f(B) ⊂ V } とおく。
B と V を動かしたとき U(B, V) の全体は L(E, F) の有界収束の位相の
0 の基本近傍系である。
H は同程度連続だから F の 0 の近傍 V に対して E の 0 の近傍 W で
H(W) ⊂ V となるものがある。
ここで H(W) = { f(x) | f ∈ H, x ∈ W } である。
B を E の有界集合としたとき K の元 λ≠ 0 で B ⊂ λW となるものがある。
(1/λ)B ⊂ W だから (1/λ)H(B) ⊂ H(W) ⊂ V
即ち (1/λ)H ⊂ U(B, V)
よって H ⊂ λU(B, V)
よって H は有界収束の位相で有界である。
証明終
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