[過去ﾛｸﾞ] 代数的整数論 009 (1001ﾚｽ)
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148(3): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/01/19(土) 13:16:24 AAS
命題
K を可換とは限らない体とする。
| | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。
E を K 上の位相線形空間とする。
H を E の超平面(>>130)で方程式 f(x) = α で定義されるものとする。
ここで f : E → K は恒等的に 0 でない線形形式である。
H が閉なら f は連続である。
証明
p を H の任意の点とする。
超平面 H - p は 方程式 f(x) = 0 で定義される。
H - p は閉であるから初めから α = 0 と仮定してよい。
このとき H は E の閉な線形部分空間である。
f = gφ とかける。
ここで φ : E → E/H は標準写像であり、g : E/H → K は
線形写像である。
H は閉だから E/H は分離的である。
よって過去スレ006の648より g は連続である。
よって f も連続である。
証明終
149(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/01/19(土) 13:21:37 AAS
命題
E を実数体 R 上の位相線形空間とする。
A を E の空でない開凸集合とする。
M を E の部分線形空間で A と交わらないとする。
このとき連続な線形形式 f : E → R で M において f(x) = 0 となり
A において f(x) ＞ 0 となるものがある。
証明
>>137 より M ⊂ H となる閉超平面(>>130)で A と交わらないものが
存在する。
H を定義する線形形式を f とする。
H は閉だから >>148 より f は連続である。
>>147 より A において常に f(x) ＞ 0 または常に f(x) ＜ 0 である。
f(x) ＜ 0 のときは -f を f の代わりにとればよい。
証明終
150(3): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/01/19(土) 13:49:08 AAS
定義
E を実数体 R 上の位相線形空間とする。
H を E の閉超平面(>>130)とする。
>>148 より連続な線形形式 f : E → R が存在し、
H は方程式 f(x) = α で定義される。
{ x ∈ E | f(x) ≧ α } 及び { x ∈ E | f(x) ≦ α } を
H で定義される閉半空間と言う。
{ x ∈ E | f(x) ＞ α } 及び { x ∈ E | f(x) ＜ α } を
H で定義される開半空間と言う。
553(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/02/24(日) 19:44:55 AAS
補題
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上の線形空間とする。
E と F は双線形形式 B に関して対(>>527)をなすとする。
H をσ(E, F) (>>529) に関して閉な E の超平面(>>130)で
0 を含まないとする。
このとき y ∈ F があり、H = { x ∈ E | <x, y> = -1 } となる。
証明
H は 0 を含まない E の超平面だから E の線形形式 f と a ∈ K, a ≠ 0
があり、H = { x ∈ E | f(x) = a } となる。
f を -(1/a)f で置き換えて a = -1 としてよい。
H は閉だから >>148 より f は連続である。
>>545 より f は x → <x, y y ∈ F の形に書ける。
よって、H = { x ∈ E | <x, y> = -1 } となる。
証明終
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